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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文卷）文一、选择题：每小题 5 分,共 60 分1、已知集合，则集合中的元素个数为32,6,8,10,12,14Ax xnnNBABI （A）5 （B）4 （C）3 （D）22、已知点，向量，则向量(0,1),(3,2)AB(4,3)AC uuu rBC uuu r（A）（B）（C）（D）(7,4)(7,4)(1,4)(1,4)3、已知复数满足，则（）z(1)1zii z（A）（B）（C）（D）2i 2i 2i2i4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，
2、从中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）1,2,3,4,5（A）（B）（C）（D）310151101205、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，122:8C yx是 C 的准线与 E 的两个交点，则,A BAB（A）（B）（C）（D）369126、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为
3、1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛142236667、已知是公差为 1 的等差数列，为的前项和，若，则（）nanSnan844SS10a （A）（B）（C）（D）17219210128、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）()cos()f xx()f x （A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）0.01t n （A）（B）（C）7 （D）85610、已知函数，1222,1()log(1),1
4、xxf xxx且，则()3f a (6)fa （A）74（B）54（C）34（D）1411、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视r图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则()1620r（A）1（B）2（C）4（D）812、设函数的图像与的图像关于直线对称，且()yf x2x ayyx，则()(2)(4)1ffa（A）（B）（C）（D）1124二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分13、数列中为的前 n 项和，若，则 .na112,2,nnnaaa S na126nS n 14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .31f xaxx 1
5、,1f2,7a 15.若 x,y 满足约束条件,则 z=3x+y 的最大值为 20210220 xyxyxy 16.已知是双曲线的右焦点，P 是 C 左支上一点，当周长最小F22:18yC x 0,6 6AAPF时，该三角形的面积为 三、解答题17.（本小题满分 12 分）已知分别是内角的对边，.,a b cABC,A B C2sin2sinsinBAC（I）若，求 abcos;B（II）若，且 求的面积.90B o2,a ABC18.（本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BEABCD 平平（I）证明：平面平面；AEC BED（II）若，三棱锥的体
6、积为，求该三棱锥的侧面积.120ABCo,AEECEACD6319.（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费和年销售量ix数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.1,2,8iy i L（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的yabxycdx回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为，根
7、据（II）的结果回答下列问题：0.2zyx（i）当年宣传费=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？x（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？x20.（本小题满分 12 分）已知过点且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：交于1,0A22231xyM，N 两点.（I）求 k 的取值范围；（II）若，其中 O 为坐标原点，求.12OM ONuuuu r uuu rMN21.（本小题满分 12 分）设函数.2lnxf xeax（I）讨论的导函数的零点的个数；f x fx（II）证明：当时.0a 22lnf xaaa请考生在请考生在 22、23、24 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做
8、如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,做答时请写清题号做答时请写清题号22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点 E.eee（I）若 D 为 AC 中点，证明：DE 是O 切线；e（II）若，求的大小.3OACEACB23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x 轴正xOy1:2Cx 222:121Cxy半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程.12,C C（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.3CR423,C C,M N2C
9、 MN24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数.12,0f xxxa a（I）当 时求不等式 的解集；1a 1f x（II）若的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.f x2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文卷）文答案答案一、选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）12 6三、解答题17、解：（I）由题设及正弦定理可得=2ac.2b又 a=b，可得
10、 cosB=6 分2222acbac14（II）由（I）知=2ac.2b因为 B=，由勾股定理得.o90222ac=b故，的 c=a=.22ac=2ac2所以ABC 的面积为 1.12 分18、解：（I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD,所以 ACBE,故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC,所以平面 AEC平面 BED.5 分 （II）设 AB=，在菱形 ABCD 中，又ABC=，可得xo120AG=GC=，GB=GD=.32x2x因为 AEEC,所以在 RtAEC 中，可的 EG=.32x由 BE平面 ABCD,知EBG 为直角三角形，可得 BE=
11、.22x由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积=ACGDBE=.E ACDV1312366243x 故=2 9 分 x从而可得 AE=EC=ED=.6所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与 ECD 的面积均为.5故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2.12 分519、解：（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量 y 关于年宣传费的回归方程式类型.xx（II）令，先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于wx,28181()()108.8d=681.6()iiiiiww yyww)，56368 6.8100.6cydw)所以 y 关于 w 的线性回归方程为,因此 y 关于的回归方
12、程为y=100.668w)xy100.668 x)（）（i）由（II）知，当=49 时，年销售量 y 的预报值x，y100.668 49=576.6)年利润 z 的预报值 9 分z=576.6 0.24966.32)（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值 .z=0.2(100.6+68)-=-13.620.12x xxx)所以当，即=46.24 时，取得最大值.13.6=6.82x xz)故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分20、解：（I）由题设，可知直线 的方程为.l1ykx因为 与 C 交于两点，所以.l223 111kk 解得 .474733k 所以
13、 k 的取值范围为.5 分47 47(,)33（II）设.1122,(,)M x yN xy将代入方程，整理得1ykx22(2)(3)1xy.22(1)4(1)70kxk x所以.1212224(1)7,11kxxx xkk1212OM ONc xy y 2121211kx xk xx .24181kkk 由题设可得=12，解得 k=1，所以 的方程是 y=x+1.24181kkkl故圆心 C 在 上，所以.12 分l2MN 21、解：（I）的定义域为.f x 20,2(0)xafxexx当0 时，没有零点；a 0fxfx，当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，0a2xeax fx
14、0,0fa当 b 满足 0b且 b时，故当0 时存在唯一零点.4a14()0f ba fx 6 分（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，0；fx0,0 x00 xx，fx当时，0.0 xx，fx故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为 f x0，0 x，0 xx f x.0f x由于，所以.02020 xaex 0002221212af xaxa naa nxaa故当时，.12 分0a 221f xaa na22、解：（I）连接 AE，由已知得，AEBC,ACAB.在 RtAEC 中，由已知得，DE=DC,故DEC=DCE.连结 OE，则OBE=OEB.又OED+ABC=，
15、所以DEC+OEB=，故OED=，DE 是O 的切线.o90o90o90e 5 分 （II）设 CE=1，AE=，由已知得 AB=，BE=.由射影定理可得，x2 3212x2AECE BE所以，即.可得，所以ACB=.2212xx42120 xx3x 60o 10 分 23、解：（I）因为，所以的极坐标方程为，cos,sinxy1Ccos2 的极坐标方程为.5 分 2C22 cos4 sin40（II）将代入，得，解得422 cos4 sin4023 240.故，即122 2,21222MN 由于的半径为 1，所以的面积为.10 分 2C2C MN1224、解：（I）当时，化为.1a 1f x 1211 0 xx 当时，不等式化为，无解；1x 40 x 当时，不等式化为，解得；11x 320 x 213x当，不等式化为-+20，解得 12.1x xx所以的解集为.5 分 1f x 223xx（II）由题设可得，12,131 2,1,12,.xa xf xxaxaxa xa 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为 f xx,ABC 的面积为.21,0,21,0,13aABaC a a2213a由题设得6，故2.2213aa所以的取值范围为.10 分 a2，