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1、|2013 年高考文科数学真题及答案全国卷 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，文 1)已知集合 A1,2,3,4， B x|x n2， n A，则 A B( )A1,4 B2,3 C9,16 D1,2【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】 B x|x n2， n A1,4,9,16， A B1,42(2013 课标全国，文 2) ( )21iA. B C D-1-12 +
2、i1+12 112【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】 .2iiii12 1+i23(2013 课标全国，文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A B C D123146【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为 .134(2013 课标全国，文 4)已知双曲线 C： (a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方2=1xyb52程为( )
3、A B C D=14 =13 2yx=【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。|【解析】 ， ，即 .52eca254c c2 a2 b2， . .14b双曲线的渐近线方程为 ，yx渐近线方程为 .故选 C.25(2013 课标全国，文 5)已知命题 p： xR,2 x3 x；命题 q： xR， x31 x2，则下列命题中为真命题的是( )Apq B pq Cp q D p q【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由 203 0知， p 为假命题令 h(x) x31 x2， h(0)10， h(1)10， x31 x20 在(0,1)内有解 xR， x
4、31 x2，即命题 q 为真命题由此可知只有 p q 为真命题故选 B.6(2013 课标全国，文 6)设首项为 1，公比为 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则( )23A B C D=21 =32 =43 =32【答案】D【考点】本题主要考查等比数列前 n 项和公式。【解析】 32 an，故选 D.11nnnnaqS7(2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的 t1,3，则输出的 s 属于( )A3,4 B5,2C4,3 D2,5【答案】A【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当1 t1 时， s3 t，则 s3,3)当 1 t
5、3 时， s4 t t2.该函数的对称轴为 t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减 smax4， smin3.| s3,4综上知 s3,4故选 A.8(2013 课标全国，文 8)O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2 的焦点， P 为 C 上一点，若| PF|4x，则 POF 的面积为( )42A2 B C D4223【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析】利用| PF| ，可得 xP .4Px2 yP . S POF |OF|yP| .26123故选 C.9(2013 课标全国，文 9)函数 f(x)(1cos x)sin x 在，的图像
6、大致为( )【答案】C【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由 f(x)(1cos x)sin x 知其为奇函数可排除 B当 x 时， f(x)0，排除 A.0,2当 x(0，)时， f( x)sin 2xcos x(1cos x)2cos 2xcos x1.令 f( x)0，得 .23故极值点为 ，可排除 D，故选 C.2310(2013 课标全国，文 10)已知锐角 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c,23cos2Acos 2A0， a7， c6，则 b( )A10 B9 C8 D5【答案】D【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余
7、弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由 23cos2Acos 2 A0，得 cos2A . A ，cos A .150,215cos A ， b5 或 (舍)36493故选 D.11(2013 课标全国，文 11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B88|C1616 D816【答案】A【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V 半圆柱 2 248，1V 长方体 42216.所以所求体积为 168.故选 A.12(2013 课标全国，文 12)已知函数 f(x) 若| f(x)| ax，则 a 的取值范围是(
8、 2,0ln(1).x)A(，0 B(，1C2,1 D2,0【答案】D【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出| f(x)|的图象如图所示当 a0 时， y ax 与 y| f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C；当 a0 时，若 x0，则| f(x)| ax 恒成立若 x0，则以 y ax 与 y| x22 x|相切为界限，由 得 x2( a2) x0.2, ( a2) 20， a2. a2,0故选 D.第卷（选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，文 13)已知两个单
9、位向量 a， b 的夹角为 60， c ta(1 t)b.若 bc0，则t_.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】 bc0，| a| b|1， a， b60， ab .12 bc ta(1 t)bb0，即 tab(1 t)b20. 1 t0.2 t2.14(2013 课标全国，文 14)设 x， y 满足约束条件|则 z2 x y 的最大值为_13,0xy【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示画出直线 2x y0，并平移，当直线经过点 A(3,3)时， z 取最大值，且最大值为 z2333.15(2013 课标全国，文 15)已知
10、H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH HB12， AB平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_【答案】 92【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球 O 的半径为 R，则 AH ，23OH .又 EH2， EH1.在 Rt OEH 中， R2 ， R2 .2+1398 S 球 4 R2 .916(2013 课标全国，文 16)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _.【答案】 5【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】 f(x)sin x2cos x sin(x )，5其中 sin
11、 ，cos .25当 x 2 k (kZ)时， f(x)取最大值即 2 k (kZ)， 2 k (kZ)cos sin .cos5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足S30， S55.(1)求 an的通项公式；|(2)求数列 的前 n 项和21na【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设 an的公差为 d，则 Sn .1()2ad由已知可得 31+3=051+10=5_解得 a11， d1.故 an的通项公式为 an2 n.(2)由(1)知 ，2
12、1n113232n从而数列 的前 n 项和为21na1132 .2n18(2013 课标全国，文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠
13、时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设 A 药观测数据的平均数为 ，B 药观测数据的平均数为 .xy由观测结果可得| (0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.0x1203.13.23.5)2.3， (0.50.50.60.
14、80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.5y1202.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得 ，因此可看出 A 药的疗效更好xy(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有 的710 710叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好19(2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，CA CB， AB AA1， BAA160.(1)证明： AB A1C；(2)若 AB CB2， A1C ，求三棱柱 ABC A1
15、B1C1的体积6【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B.因为 CA CB，所以 OC AB.由于 AB AA1， BAA160，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1 AB.因为 OC OA1 O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，故 AB A1C.(2)由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC OA1 .3又 A1C ，则 A1C2 OC2 ，故 OA1 OC.61因为 OC AB O，所以 OA1平面 ABC， OA1为三棱柱
16、 ABC A1B1C1的高又 ABC 的面积 S ABC ，故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABCOA13.|20(2013 课标全国，文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e x(ax b) x24 x，曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y4 x4.(1)求 a， b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析】(1) f( x)e x(ax a b)2 x4.由已知得 f(0)4， f(0)4.故 b4， a b8.从而 a4， b4.(2)由(1)知，
17、 f(x)4e x(x1) x24 x，f( x)4e x(x2)2 x44( x2) .1e令 f( x)0 得， xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，)时， f( x)0；当 x(2，ln 2)时， f( x)0.故 f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1e 2 )21(2013 课标全国，文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C
18、的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求| AB|.【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除
19、外)，3其方程为 (x2)2=43y(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于| PM| PN|2 R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时， R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为( x2) 2 y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得| AB| .3|若 l 的倾斜角不为 90，由 r1 R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可求得1|PRMrQ(4,0)，所以可设 l： y k(x4)由 l 与圆 M 相切得 1，解得 k .2|324当 k 时，将 代入 ，并整理得 7x28 x80，解得 x1,2 ，2
20、44yx=13y 4627所以| AB| |x2 x1| .k87当 k 时，由图形的对称性可知| AB| .487综上，| AB| 或| AB| .387请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2013 课标全国，文 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.()证明：DB=DC;()设圆的半径为 1，BC= ，延
21、长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。3【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。【解析】 (1)连结 DE，交 BC 于点 G.由弦切角定理得， ABE BCE. 而 ABE CBE，故 CBE BCE， BE CE.又因为 DB BE，所以 DE 为直径， DCE90，由勾股定理可得 DB DC.(2)由(1)知， CDE BDE， DB DC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG .32|设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 BOG60.从而 ABE BCE CBE30，所以 CF BF，故 Rt BCF 外接圆的半径等于 .3223
22、(2013 课标全国，文 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐45cos,inxy标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。【解析】(1)将 消去参数 t，化为普通方程( x4) 2( y5) 225，45cos,inxty即 C1： x2 y28 x10 y160.将 代入 x2 y28 x10 y160 得 28 cos 10 s
23、in 160.cos,in所以 C1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160.(2)C2的普通方程为 x2 y22 y0.由 016,xy解得 或1,2.所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .2,4,24(2013 课标全国，文 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x1|2 x a|， g(x) x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)设 a1，且当 x 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围1,2【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当 a2 时，不等式 f(x) g(x)化为|2 x1|2 x2| x30.设函数 y|2 x1|2 x2| x3，