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1、 博博 士士 学学 位位 论论 文文 论文题目论文题目 功能梯度材料板壳结构的耦合问题研究功能梯度材料板壳结构的耦合问题研究 作者姓名作者姓名 边边 祖祖 光光 指导教师指导教师 陈陈 伟伟 球球 教授教授 学科学科(专业专业)结结 构构 工工 程程 所在学院所在学院 建筑工程学院建筑工程学院 提交日期提交日期 二零零五年五月二零零五年五月 Dissertation Submitted to Zhejiang University for the Degree of Doctor of Philosophy On Coupled Problems of Functionally Graded
2、Materials Plates and Shells By Bian Zuguang Supervisor：Prof.Chen Weiqiu Subject：Structural Engineering College of Civil Engineering and Architecture Zhejiang University Hangzhou 310027,P.R.China May,2005 浙江大学博士学位论文-i-目目 录录 目录 i 中文摘要 iii Abstract v 第一章 绪论 1.1 功能梯度材料（FGM）简介 1 1.2 FGM 结构的力学研究现状 2 1.3 本
3、文工作 11 第二章 弹性地基上 FGM 矩形板的静力弯曲和自由振动 2.1 引言 13 2.2 任意各向异性弹性体的状态方程 13 2.3 四边简支 FGM 矩形板的基本列式 17 2.4 边界条件及控制方程 19 2.5 算例 20 2.6 满足指数函数分布的任意各向异性 FGM 的另一组状态方程 32 2.7 小结 35 第三章 FGM 矩形板的热响应分析 3.1 引言 36 3.2 状态方程 36 3.3 四边简支 FGM 矩形板的热应力分析 39 3.4 温度场的确定 41 3.5 算例 43 3.6 小结 49 附：横观各向同性 FGM 薄板基本方程 50 第四章 FGM 圆柱壳的
4、耦合自由振动 4.1 引言 53 4.2 FGM 弹性圆柱壳的耦合自由振动 54 4.3 FGM 压电圆柱壳的耦合自由振动 74 4.4 小结 89 第五章 弱粘结的压电 FGM 智能结构的静力弯曲和自由振动 5.1 引言 90 浙江大学博士学位论文-ii-5.2 弱粘结 FGM 组合梁的静力弯曲和自由振动 90 5.3 弱粘结压电夹层组合梁的静力弯曲和自由振动 108 5.4 弱粘结压电夹层组合板的静力弯曲和自由振动 115 5.5 小结 127 第六章 单跨及多跨 FGM 矩形板的柱形弯曲 6.1 引言 128 6.2 单跨 FGM 矩形板的柱形弯曲 128 6.3 多跨 FGM 矩形板的
5、柱形弯曲 141 6.4 弹性地基上 FGM 矩形板的柱形弯曲 147 6.5 小结 149 附：对边简支 FGM 板柱形弯曲的弹性理论解 149 第七章 结论与展望 7.1 本文结论 151 7.2 工作展望 152 参考文献 154 致谢 168 读博期间论文一览 169 浙江大学博士学位论文-iii-摘摘 要要 功能梯度材料（Functionally graded material，简写 FGM）是一种特殊的非均匀材料。自从 1984 年日本科学家首次提出其设计概念以来，FGM 在制造、设计和应用方面引起了广大学者的极大关注。虽然提出 FGM 的最初设想是作为热隔栅应用于航空航天领域，但
6、目前发现它在电子、化学、核能、光学、声学、生物医学及土木工程等诸多领域，都有十分广阔的应用前景。对 FGM 结构力学行为的研究，既有丰富非均匀材料力学的需要，也有实际工程应用的需要。FGM 的不均匀性，给 FGM 结构的理论分析增加了难度。目前对 FGM 结构的力学研究有很大一部分利用了建立在均匀材料基础上的假定和理论，这种做法的合理性值得商讨。本文首先利用状态空间法结合三角级数展开技术，对简支的 FGM 梁、板、圆柱壳结构进行了弹性理论分析。FGM 的不均匀性，使得状态方程具有变系数的特性，为此文中引入层合模型进行分层近似处理。由于状态方程直接从弹性力学基本方程导得，没有引入任何有关应力和位
7、移的假定，因此所得结果可以作为其它各种简化理论和数值方法的检验标准。通过分析发现，改变 FGM 的不均匀程度，可以明显改变 FGM 结构的静力和动力响应。因此工程设计中可以通过调整 FGM 的梯度指标（反映 FGM 材料常数分布情况的量），达到设计目的。压电 FGM 结构是一种新型的智能结构，其应用越来越广泛。由于制造时存在的缺陷，或服役时出现的损坏，或人为特意的设置，压电层与 FGM 之间的粘结面有时会变得非完美。本文采用线性弹簧模型，引入界面传递矩阵，对此进行了分析，讨论了界面特性对智能结构响应的影响。本文还采用了 Soldatos 提出的层合板简化理论，对各种边界条件下单跨和多跨 FGM
8、板的柱形弯曲进行分析。与传统简化理论预先给定厚度向位移分布函数不同，Soldatos 理论用一个位移分布形函数来描述位移沿厚度向的变化，通过求解三维平衡方程来确定这个形函数，可以反映材料不均匀性对厚度向位移分布的影响。其中形函数的确定、单跨平衡方程的求解以及多跨 FGM 板的传递都采用了状态空间法，提高了计算效率。通过对比发现，传统的经典薄板理论、一阶剪切变形理论和 Rdddy 的三阶剪切变形理论，在分析 FGM结构时，都会由于材料的不均匀性而使计算精度降低。在上述工作中，本文考虑了多个耦合因素，包括结构与弹性介质的耦合、圆柱壳与流体的耦合；力场与温度场的耦合、力场与电场的耦合。这些耦合因素同
9、样会影响 FGM 结构的静力和动力响应，对 FGM 结构的服役设计具有重要的指导意义。本文工作得到了国家自然科学基金（No.10432030 及 10002016）的资助。浙江大学博士学位论文-iv-关键词：功能梯度材料，状态空间法，层合模型，弹性理论，简化理论，耦合作用，弱界面。浙江大学博士学位论文-v-Abstract As nonhomogeneous materials,functionally graded materials(FGMs)were first introduced by a group of Japanese scientists to address the nee
10、ds of aggressive environment of thermal shock.Since then,FGMs have received more and more attention.Nowadays,FGMs have extended their first applications in aerospace to electronics,chemistry,optics,biomedicine,acoustics,nuclear engineering,civil engineering and the like.Research on the behavior of F
11、GM structures not only benefits the development of mechanics of nonhomogeneous materials,but also satisfies the needs of practice.The inhomogeneity of FGM makes it very difficult to analyze the FGM structures.Most of the present works on FGM structures employed kinds of assumptions or theories deriv
12、ed for the homogeneous materials,which may become doubtful for FGM structures.So,we employ an elasticity method,i.e.state space method,to analyze the simply-supported FGM beams,plates and cylindrical shells.For FGM,the coefficient matrix of the state equation is not constant and is very difficult to
13、 solve directly.The FGM plates/shells are then approximated by a laminate model.Since no assumptions are introduced on the deformations or stress fields in the analysis,the presented results can serve as benchmarks for clarifying the reliability of various approximate theories or numerical methods.W
14、e find that the inhomogeneity of FGM will affect the response of FGM structures effectively,which will be crucial to the design in the practice.As new smart structures,piezoelectric FGM structures have gained much interest recently.The interface between the piezoelectric actuator or sensor layers an
15、d the FGM layers,however,may become debonding during the service time.In some cases,weak bonding is particularly introduced to achieve some particular aims.A linear spring-layer model is adopted in this paper to simulate the weakness of bonding and the effect of bonding is discussed.Finally,a genera
16、lized refined theory suggested by Soldatos is employed to analyze the cylindrical bending of single-or multi-span FGM plates under various boundary conditions.Since the shape function of displacements is determined by the elasticity equations of equilibrium,it can be self-adjusted with the gradient
17、index,which makes this theory more suitable for analyzing FGM structures.To improve the efficiency of calculations,the state space method is adopted to derive the shape function and solve the equations governing the FGM plate deformation.The numerical comparisons between several theories show that t
18、he inhomogeneity of FGM will decline the accuracy of the classical thin plate theory,the first-order shear The work was supported by NSFC(NO.10432030 and 10002016)浙江大学博士学位论文-vi-deformation plate theory and the Reddys third-order shear deformation plate theory.In the works mentioned above,we take som
19、e coupled effects into account,including the coupling between the FGM structures and elastic media or(and)compressible fluid,the coupling between mechanical and thermal fields and the coupling between mechanical and electric fields.As is expected,these factors can also affect the static and dynamic
20、response of FGM structures,which is very important to the design of FGM structures.Keywords:Functionally graded material,State space method,Laminated approximate model,Elasticity theory,Simplified approximate theory,coupled effect,imperfect interface.浙江大学博士学位论文-1-第一章第一章 绪论绪论 1.1 功能梯度材料（功能梯度材料（FGM）简介
21、）简介 在自然界，存在着一类特殊的非均匀材料，它们的材料组分在空间连续变化。如毛竹的茎，从外侧坚韧的竹青逐渐过渡到内侧脆弱的竹黄，中间没有明显的界面。具有类似性质的还有贝壳和动物的骨头等。我们将这种材料组分在空间连续变化，且具有特定功能的材料，称之为功能梯度材料（Functionally graded material，简写 FGM）。虽然 FGM 在自然界早就存在，但它作为一种材料设计理念却直到上个世纪 80 年代中期才首先被提出。现代的特超音速客机、航天飞机等飞行器，速度超过 25 马赫，表面温度达 2100K1。为此，需要在飞行器表层涂一层耐高温的陶瓷材料或直接贴上陶瓷片，由于这些陶瓷与
22、飞行器主体在高温时的热膨胀并不协调，在运行中会产生极大的热应力，并最终导致陶瓷材料产生裂缝、剥离或脱落。如目前美国的航天飞机，每运行一次就须更换大量的表层陶瓷片。为了彻底有效地解决这个问题，研制出一种在强温差环境下能反复正常工作的材料，日本学者新野正之、平井敏雄（日本国立宇航实验室）等人在 1984 年首次提出了 FGM的概念1-4。从本质上讲，FGM 也是一种多相材料，但与一般的层合材料不同，其设计思想是在材料的制备过程中，通过连续地控制各组分含量的分布，弱化甚至完全消除各组分之间的界面，使材料的宏观特性（如弹性模量、热膨胀系数等）在空间位置上呈现梯度变化，从而满足结构元件不同部位对材料使用
23、性能的不同要求，达到优化结构整体使用性能的目的。如前述高速飞行器中材料的热应力问题，就可以采用由金属陶瓷构成的热应力缓和型 FGM 很好地解决：在高温侧采用耐热好的陶瓷材料，在低温侧采用导热和强度好的金属材料，材料从陶瓷过渡到金属的过程中，耐热性逐渐降低，机械强度逐渐升高，热应力在材料两侧均很小，在中部达到峰值，从而大大降低热应力4。功能梯度材料的提出，立刻引起了国际学术界和工程界的广泛关注。1987 年，日本科学技术厅启动了国家级研究项目“关于开发缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研究”5，次年成立了功能梯度材料研究会。1993 年，日本科学技术厅又启动了“具有功能梯度结构的能量转换材料的研
24、究”的国家级项目5。与此同时，美、法、俄、德、中、澳等国也很快开展了对 FGM 的研究工作6。美国从上世纪 90 年代中期开始，每年在 FGM 方面投入的研究经费达 1.71.8 亿美元7；而我国则将 FGM 项目列入国家“863”重大项目计划（863-715-21-64），国家自然科学基金委员会也大力资助 FGM 项目（50175057）7。1990年在日本召开了第一届功能梯度材料国际研讨会，之后成为系列国际会议，每隔两年召开一次，迄今已举办了八届。2002 第七届国际会议年在我国北京召开，由清华大学材料系承办。目前 FGM 的制备方法主要有粉末冶金法、等离子喷涂法、化学气相沉积法（CVD）
25、、浙江大学博士学位论文-2-物理气相沉积法（PVD）、电沉积法、激光熔覆法和自蔓延高温合成法（SHS）8,9，前几种方法只能制造梯度涂层，只有 SHS 法可以制作 FGM 整体大型结构件10。关于 FGM 制备方法更详细的介绍，可以参见文11,12。功能梯度复合材料的出现首先是高新技术发展的需要，而材料制造技术的进步及计算机科学的发展又反过来推动了功能梯度材料的研制和发展。由于 FGM 集功能与结构于一体，具有良好的耐热性能、抗热冲击性能、抗热疲劳性能和较高的强度，因此它代表着超高温材料发展的一个重要方向13-15。现在人们发现在电子、化学、核能、光学、声学、生物医学等技术领域，FGM 都有十
26、分广阔的应用前景1,4。据日本的调查，工业中可以利用 FGM 提高性能的有 200 处之多16。最近，Maalej（2003）17甚至将 FGM概念引入混凝土梁，用一种工程用粘合剂（ECC）替换梁主弯区的混凝土，制成功能梯度混凝土梁（FGCB），实验发现这样的梁具有很好的抗腐蚀性。总之，FGM 是具有使用功能、适应环境和可控的先进材料，具有传统复合材料无法比拟的诸多优点，是 21 世纪材料科学的发展方向。为使功能梯度材料能在我国得到推广应用，并创造出具有自主知识产权的成果，非常需要对其基础理论进行细致深入的研究。在土木工程领域，十多年前复合材料的应用还不是很多，但随着制造成本的降低，目前大量的
27、复合材料已得到应用，因此尽管 FGM 目前在土木中应用很少，但可以预见，在不久的将来会有很好的应用。1.2 FGM 结构的力学研究现状结构的力学研究现状 如前所述，功能梯度材料是一种特殊的非均匀材料。相对于均质力学，非均匀介质力学的数学特点是求解变系数微分方程（组）。历史上，对非均匀材料力学的研究最早可以追溯到公元 18 世纪中叶。欧拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）以及伯努利（Bernoulli）等人在研究弦的振动时，曾讨论过具有变化密度的弦的频率和振型18。但限于当时的生产力水平，相关研究没有继续下去。到了上个世纪 50 年代，由于军事上的原因，需要对弹性波尤其是波的传播速度作
28、精确测定，而这些波的传播介质往往处在不均匀的温度场中，这必然导致材料的不均匀性，于是，对不均匀介质的力学研究重新活跃起来19-41。在连续非均匀介质力学的研究进程中，有三次会议值得一提，1958 年，华沙举行了一场座谈会，讨论了弹性和塑性体中的非均匀性问题42；1974 年，苏联召开了全苏弹塑性强度会议，定了几个任务，其中第一项就是非均匀介质弹性力学的一般解32。1999 年 6 月，法国举行了非均质材料的力学国际研讨会43（International Symposium on Mechanics of Heterogeneous Materials）。现在，FGM 的兴起，又进一步将非均匀介
29、质力学的研究带入了一个新的领域。目前，对 FGM 结构的力学研究主要集中在以下几个方面：1.2.1 热响应热响应 由于 FGM 最早是作为热隔栅提出的，因此对 FGM 结构在热环境中的响应分析一直是浙江大学博士学位论文-3-研究热点。热响应问题主要包括静态问题（生产过程中产生的残余应力）、稳态问题（隔热过程中的应力问题）和动态问题（冲击状态下的瞬间热应力）。Shen44用奇异摄动法分析了轴向压力作用下四边简支的有限长FGM圆柱片壳在热环境中的屈曲荷载和后屈曲平衡路径。他从 Reddy 的高阶剪切壳理论（假定横向剪切变形沿壳厚抛物线分布）出发，考虑 von Krmn-Donnell 型的动力非线
30、性和温度因素，用边界层理论分析了前屈曲非线性变形、后屈曲的大挠度以及壳的初始几何缺陷对壳屈曲的影响。用同样的方法，Shen 还分析了热环境中四边简支的 FGM 矩形板在横向均匀或正弦荷载作用下的非线性弯曲问题45和热环境中四边简支 FGM 板的非线性振动和动态响应46。改用经典壳理论（忽略横向剪切变形），Shen 在文47中分析了热环境中两端简支或固支的 FGM 圆柱壳在轴向力作用下的后屈曲问题；在文48中讨论了两端简支或固支的 FGM 圆柱壳的热屈曲问题。以上这些文献中，均假定 FGM 的物性参数沿厚度幂函数分布且随温度变化。舒小平49通过在位移场中引入截面翘曲函数来模拟 FGM 板的截面翘
31、曲变形，并求出了相应的热弹性平衡方程。文中采用温度沿板厚方向折线变化的假定和分层近似模型，求解了无限长 FGM板柱形弯曲时的热弹性问题。赵军等50从伯努利梁理论出发，提出了 FGM 梁等效抗弯刚度的概念，并求出了它的表达式。Woo 和 Meguid51从假定中等变形、小应变的冯-卡曼（von Krmn）理论出发，导得了热环境中、承受横向荷载的矩形 FGM 板和薄扁壳的大变形基本方程，并用傅立叶级数展开的方法对简支边界情形进行了求解。文中采用了沿厚度方向幂函数分布的梯度模型。Ma 和 Wang52从经典的冯-卡曼非线性板理论出发，导出了物性参数沿厚度幂函数梯度变化的 FGM 圆板，在热、力荷载作
32、用下的轴对称大变形弯曲方程，采用打靶法对其进行了数值求解，并分析了轴对称热屈曲问题。Jabbari 等53导出了一维温度场中承受内、外均匀压力的 FGM 圆柱壳的 Navier 方程，用直接求解的方法得到了径向幂函数梯度模型的位移和应力的表达式。叶贵如等54从弹性力学基本方程出发，精确求解了物性参数沿径向以幂函数变化的 FGM 圆柱壳，在均匀温度场中的轴对称静力问题。文中假定圆柱壳为横观各向同性，且壳内外和两端均为自由。对于均质材料，此时的温度应力应该为零，但对于非均质的 FGM，却会产生应力，文章通过算例对此展开了讨论。Vel 和 Batra55从准静态线性热弹性理论出发，忽略因弯曲引起的温
33、度变化，采用拉普拉斯变换技术，利用恒满足热边界的温度函数和恒满足力学边界的位移函数，将瞬态热传导控制方程转换为一个关于厚度坐标的常微分方程，用幂级数方法求出了上下表面承受随时间变化的热荷载的简支 FGM 矩形板的三维热弯曲解析解。Cheng 和 Batra56采用一种渐进展开法，给出了周边刚性固支的各向同性 FGM 椭圆板的热线弹性变形的封闭形式解；FGM 板在厚度方向符合幂函数梯度模型。Reddy 和 Cheng57又用同样的方法分析了简支的 FGM 矩形板的热变形问题。Ootao 和 Tanigawa58利用层合近似模型，用级数展开的办法分析了简支 FGM 压电矩形板的三维瞬态温度场分布及
34、其热应力分布。Tsukamoto59利用Eshelby 的夹杂等效法结合 Mori-Tanaka 的中值近似法，和经典层合板理论，分别用细观力浙江大学博士学位论文-4-学和弹性力学的方法分析了热流中 FGM 板的热应力，考虑了界面扩散和材料徐变对其的影响。丁皓江等60通过引入一个独立变量，结合变量分离技术，求解了非均匀的球面各向同性中空球壳球对称情形的热动力问题。用类似的方法他们又求解了功能梯度热释电中空球壳的球对称热弹性瞬态响应问题61和轴对称平面应变瞬态响应问题62，对其中出现的第二类Volterra 积分方程采用了多项式插值方法进行求解。Liew 等63采用分层近似思想，把 FGM圆柱壳
35、分成许多子层并近似为均质层，利用均质材料的解和相邻子层界面处的位移连续条件，得到 FGM 圆柱壳的近似解。通过对子层的厚度取极限，他们得到了平面应变时的 FGM圆柱壳在稳态温度场中的应力和位移精确解。陈伟球等64,65利用状态空间法研究了各向同性FGM 圆柱壳和横观各向同性磁电 FGM 板的热弹性弯曲问题。上面的工作主要以解析法为主，除此之外，还可以采用半解析或数值方法展开研究。许杨健和赵志岗66在空间域内采用三角形单元的有限元法，而在时间域上采用有限差分法，对处在第一类边界条件下的无限长的 FGM 板的线性瞬态温度场进行了数值分析。用同样的处理手段，许杨健和涂代惠67又分析了处在对流换热边界
36、条件下的 FGM 板的瞬态热传导问题，并给出了相应的瞬态温度场分布。此外，在文68、文69中，他们还分析了同样边界条件下的 FGM 板稳态温度场，其中后者考虑了温度对材料物性参数的影响。许杨健和赵志岗70采用基于柯西霍夫（Kirchhoff）薄平板小挠度弯曲假设的层合板有限元法，分析了各向同性的 FGM 薄板的瞬态热弹性弯曲应力问题，并对加热、冷却热边界条件和固支、简支力学边界条件展开了讨论。王慧和赵志岗71利用拉普拉斯（Laplace）变换有限元法，用四节点矩形平面薄壳单元求解了周边绝热、内部无热源的四边简支 FGM 薄柱壳的热冲击挠度。Becker 等72对几种典型 FGM 构件中的温度残
37、余应力用 FEAP 有限元程序进行了数值分析，并与相应的简化理论进行了比较。Mahmoud73提出了在两个方向呈现梯度性质的 FGM 概念和针对二维梯度情形的体积比混合法则，用有限元方法分析了二维 FGM 板中的热应力。Reddy 和 Chin74从一阶剪切板理论出发，给出了 FGM 板的热弹性有限元分析。Shabana 和Noda75考虑 FGM 制备中产生的热残余应力，用有限元方法分析了三种加热方式下的 FGM矩形板的弹塑性热应力。Bruck 和 Gershon76用 ABAQUS 程序对 FGM 板的残余应力进行了三维和二维的有限元分析，其中二维分析中采用了广义平面应变模型、平面应力模型
38、和平面应变模型，比较了三者的近似程度。刘杰等77用有限差分法分析了多层陶瓷梯度涂层圆筒模型的温度和热应力分布，取得了与有限元一致的结果。Sladek 等78为了提高边界元的计算效率，改用一种局部边界元的方法，结合移动最小二乘法构造形函数，提出了无网格局部边界元法，分析了 FGM 的瞬态热传导问题。张开银等79从稳态热传导方程出发，导得了绝热板的温度分布。进而求解了周边自由的平板在纯热弯曲时的热应力分布。所得计算结果与有限元数值结果一致。1.2.2 静力响应静力响应 浙江大学博士学位论文-5-静力特性是 FGM 结构最基本的力学特性，是研究其它问题的基础。杨杰和沈惠申80采用经典板理论，研究了一
39、对边固支、另对边任意约束的各向同性 FGM 矩形板，在面内与横向载荷共同作用下的横向弯曲问题。其中梯度模型采用沿板厚方向的幂函数模型，并且考虑温度变化对材料物性参数的影响。文章采用一维 DQ 法（即微分求积法，Differential quadrature method）法结合伽辽金（Galerkin）技术，求得了薄板弯曲的半解析解。杨杰和沈惠申81又进一步考虑了均匀变化的温度场对板横向弯曲的影响，并改用 Reddy 高阶剪切板理论，求得了厚板弯曲的半解析解。张琳楠和石志飞82采用多项式形式的应力函数和电位移函数，用逆解法求解了均布荷载作用下 FGM 压电简支梁的力电耦合平面应变问题。黄彬彬和
40、石志飞83用同样的方法又求解了FGM压电悬臂梁在轴向和横向均布荷载以及外加直流电压分别作用下的解析解。Sankar84假定 FGM 梁的杨氏弹性模量沿厚度指数变化，而泊松比保持不变。从平面应变的弹性力学基本方程出发，求得了简支梁承受正弦形式的横向载荷时的精确解。又从欧拉伯努利梁理论出发，得到了 FGM 梁的位移、应力简化表达式。通过算例将两种方法进行了比较，发现后者在梁比较细长且承受的横向荷载变化比较缓慢时适用。另一方面，通过与均质梁比较，发现短梁或深梁的应力集中程度，当 FGM 梁较软侧承受荷载时，应力集中现象比较弱，反之则较强。李永等85-86采用分层剪切变形理论，即对每一子层按Timos
41、henko剪切梁理论进行求解，并利用层间连续条件和边界条件，得到了FGM梁在机械载荷和热载荷联合作用下的位移和应力表达式，文中假定材料物性参数随温度线性变化。Cheng87从一阶剪切变形理论出发，利用位移和应力势函数，重新导出了冯-卡曼大挠度非线性方程组，结合混合傅立叶（Fourier）级数法，研究了各种边界条件下，横观各向同性的 FGM 板和层合板的非线性弯曲问题。Wu88等发展了 Mindlin 壳理论，假定三个方向的位移全部沿厚度线性变化，而电势沿厚度抛物线分布，再利用包含力学和电学边界条件的广义哈密顿原理，导出了一般壳的运动控制方程，进而分析了简支的压电 FGM 壳的电、力耦合行为。R
42、ooney 和 Ferrari89分析了 FGM 圆柱的简单拉伸、纯弯曲和横力弯曲，从应变能密度出发，讨论了三种情形下，等效杨氏弹性模量与相应均质材料的杨氏模量的大小关系。Abdulhakim等90对经典层合板理论进行了改进，以考虑压电耦合效应，分析了压电 FGM 板的应力和平面外弯曲问题。Soldatos91用复势理论求解了常用的精细板理论中的偏微分方程，得到了考虑横向剪切变形的各向异性 FGM 板的弯曲问题复势形式解。Ma 和 Wang92从三阶剪切变形板理论出发，借鉴经典板理论的求解方法，分析了 FGM 圆板的轴对称弯曲和屈曲问题。刘进等93采用一阶剪切变形理论，导得了各向同性 FGM
43、矩形板的基本方程，并用微分容积法（DC 法，Differential cubature method）求解之。Wu 等94从压电弹性力学基本方程出发，化简得到一组轴对称情形的用三个广义位移（径向和轴向位移以及电势）表示的控制方程。由于考虑了温度影响，这是一组非齐次的偏微分方程组。文章先将广义位移写成傅立叶级数形式，再采用幂级数展开的方法求出了它的齐次解，并将特解也用傅立叶级数展开，最后得到了两端简支的、物性参数沿厚度呈幂函数变化的压电 FGM 圆柱壳的精确解。文章浙江大学博士学位论文-6-通过算例对轴对称情形的力、电、热耦合效应进行了探讨。陈伟球等95对物性参数沿径向幂函数分布的球面各向同性
44、FGM 压电旋转闭合球壳进行了静力电弹性分析。文章利用位移分解技术，结合函数展开的方法，将压电体基本方程组分离成一个二阶的常微分方程和由三个二阶常微分方程构成的耦合方程组，求出了力、电耦合场的精确解。陈伟球等还研究了FGM 压电板96、空心弹性 FGM 球97以及空心压电 FGM 球98的静力弯曲问题。Yang99用直接求解的方法，求得了 FGM 圆柱壳在线弹性时的精确解。又从高阶理论出发，获得了 FGM圆柱壳徐变问题的近似解。李春雨和邹振祝100利用 8 节点等参单元，分析了受内压的各向同性功能梯度材料圆筒的应力分布，对于杨氏弹性模量和泊松比在空间的变化特性，文中采用等参单元坐标变换的思想，
45、用单元节点处的相应量插值模拟。Saizonou 等101用边界元法分析了 FGM 涂层中的应力分布，讨论了其对两相层合材料间应力集中的缓和效果。Aboudi等102从细观力学出发，发展了一种适合在三个方向均呈现梯度性质的 FGM 高阶理论。李永等103从宏观和细观两方面对 FGM 层间应力进行了分析。文中假定层间应力为指数分布，通过力和力矩形式的平衡方程，求得了含一个成份对偶对称面的 FGM 的层板结构层间应力场的半解析解。对于 FGM 的不均匀性，文章采用分层均匀化处理。在细观方面，文章利用Eshelby-Mori-Tanaka 法和改进的叠加法，给出了当量热载作用下的椭球形夹杂 FGM 层
46、间应力的定量分析。从二类变量广义变分原理（Hellinger-Reissner 广义变分原理）出发，李永等104结合康托洛维奇（Kantorovich）解法，对三角形悬臂 FGM 板的弯曲问题进行了宏细观力学分析。1.2.3 动力响应和稳定分析动力响应和稳定分析 FGM 结构的动力特性在实际工程中具有非常重要的意义，研究内容主要包括自由振动和稳态、瞬态响应等。伍晓红和沈亚鹏105从三维弹性理论和压电理论出发，将基本方程改写成用位移表示的形式，用幂级数展开的方法求解了四边简支的有限长矩形 FGM 压电板的自由振动频率。文章假定压电系数在厚度方向线性梯度变化，而其他材料参数则保持不变。黄小林和沈惠
47、申106从 Reddy 高阶剪切变形理论和广义 Krmn 型方程出发，采用 Fourier 级数展开法，求出了四边简支带压电层功能梯度复合材料混合层合板的自由振动及动力响应的解析解。Reddy 和 Cheng107推广了存在于平板中的薄膜比拟法，将简支的 FGM 球形扁壳同与其俯视图周线重合的平面膜相比拟，建立了分别对应于 FGM 球形扁壳的经典理论、一阶理论和三阶理论的振动比拟关系。并用这个比拟关系计算了 Winkler-Pasternak 弹性地基上简支的、俯视图是多边形的 FGM 球形扁壳的自由振动频率，这些频率只对应于主拉伸和厚度向剪切扩张振动的模态以及主弯曲振动模态。这种比拟方法还考
48、虑了转动惯量的影响，FGM球形扁壳的物性参数可以沿厚度任意变化。Cheng 和 Batra108从 Reddy 的三阶板理论出发，考虑转动惯量的影响，分析了置于 Winkler-Pasternak 地基上、承受面内静水压力的简支各向同性 FGM 多边形板的临界屈曲荷载和振动频率，发现它们与边界固支的、与板形状一致的浙江大学博士学位论文-7-膜的频率存在着一种比拟关系，从而用比拟法求出了 FGM 板的相应解。陈伟球等109用状态空间法求出了四边简支的横观各向同性 FGM 矩形板的自由振动频率方程，由于二个位移函数和二个应力函数的引入，文中得到了两类独立的振动形式：纯板内振动和弯曲振动。陈伟球等1
49、10还研究了横观各向同性 FGM 磁电弹性板的自由振动问题。陈伟球等111又研究了表面自由的径向呈梯度性质的球面各向同性 FGM 球壳的自由振动问题，文中除了引入两个位移函数和两个应力函数外，还采用了球函数展开方法。文章同样得到了两类独立振动的频率方程。此外，陈伟球又研究了任意各向异性 FGM 球的自由振动112、充液113和浸没114的球观各向同性 FGM 球的自由振动以及球观各向同性压电 FGM 球的自由振动115,116。Liew等117从壳的一阶剪切理论出发，构造了适合上下表面各有一压电涂层的 FGM 壳单元，用于分析它的力、电耦合振动响应问题。文中采用了沿厚度幂函数分布的梯度模型。H
50、an 等118采用二次层合单元模拟 FGM 板在厚度方向的物性变化，分析了它们对应力波的动响应特性的影响，以及用于物性参数的确定。He 等119从经典层合板理论出发，用有限元方法对集成了压电传感器和作动器的 FGM 板的形状和振动控制进行了数值分析。Li 等120用 ABAQUS软件，对装甲用的金属陶瓷层合和梯度板，承受冲击荷载时产生的大振幅应力波进行了粘塑性有限元分析。Ng121等从 Donnell 壳理论出发，将自由振动时的模态用本征函数展开，并利用三角级数的正交性，得到了一个具有周期性系数的马丢希尔（Mathieu-Hill）方程。结合 Bolotin 的一次近似法，他们分析了两端简支的