高等代数讲义ppt第五章二次型.ppt

上传人:wuy****n92 文档编号:80517202 上传时间:2023-03-23 格式:PPT 页数:25 大小:343KB
返回 下载 相关 举报
高等代数讲义ppt第五章二次型.ppt_第1页
第1页 / 共25页
高等代数讲义ppt第五章二次型.ppt_第2页
第2页 / 共25页
点击查看更多>>
资源描述

《高等代数讲义ppt第五章二次型.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数讲义ppt第五章二次型.ppt(25页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、二次型 第五章 二次型二次型二次型就是二次齐次多项式。在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程为:方程的右端就是关于 x,y 的一个二次齐次多项式。为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过选取合适的角度,把坐标轴作逆时针旋转,则相应的坐标变换为:在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程:这是一个只含有平方项的标准方程。二次型考察方程:该方程表示 xy 平面上怎样的一条二次曲线?将 xy 坐标系逆时针旋转/4/4,即令 在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程:二次型1 二次型及其矩阵表示1 1 1 1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表

2、示二次型的概念及其矩阵表示定义:一个系数在数域 P 上的 x1,x2,xn 的二次齐次多项式称为数域 P 上的一个n元二次型,简称为二次型。注意:(1)二次型就是 n 元二次齐次多项式;(2)交叉项的系数采用2aij,主要是为了矩阵表示的方便。二次型1 二次型及其矩阵表示若在 n 元二次型中令 aij=aji,由于 xi xj=xj xi,则二次型可表示为若记其中 aij=aji,i,j=1,2,n,则二次型可用矩阵的乘积表示为其中 A 称为该二次型的矩阵,A 的秩称为该二次型的秩。二次型1 二次型及其矩阵表示对于二次型的矩阵表示方法,需注意如下几点:(1)由于 aij=aji,故 A 为对称

3、矩阵;(2)矩阵 A 中 aii 为 xi2 项的系数,aij 为交叉项 xi xj 系数的一半;(3)n 元二次型 fn 阶对称矩阵 A一一对应一一对应定义:一个只含有平方项的 n 元二次型称为标准二次型,或标准型。n 元标准二次型 fn 阶对角矩阵一一对应一一对应行列式1 n阶行列式的定义1、写出下列二次型的矩阵2、写出下列对称矩阵的二次型例题(1)(2)(1)(2)3、写出二次型的矩阵。二次型1 二次型及其矩阵表示二次型的线性替换定义:系数在数域 P 中的一组关系式:称为由向量 x1,x2,xn 到 y1,y2,yn的一个线性替换。令则线性替换可以表示为 x=Cy。若系数矩阵 C 的行列

4、式|C|0,则称该线性替换是非退化的。二次型1 二次型及其矩阵表示问题:二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型?定理:二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。问题:二次型的矩阵经过非退化线性替换后会发生怎样的变化?具有怎样的关系呢?定义:设 A,B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵,若在数域 P 上存在可逆的 n 阶方阵 C,使得 则称矩阵 A 和 B 是合同的。因此,经过非退化的线性替换后,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。二次型1 二次型及其矩阵表示合同是矩阵之间的一种等价关系,具有:反身性:矩阵 A 与自己合同;对称性:若矩阵 A 与 B

5、合同,则矩阵 B 与 A 合同;传递性:若矩阵 A 与 B 合同,矩阵 B 与 C 合同,则 A 与 C 合同;合同的基本性质:性质1:对称矩阵只能与对称矩阵合同。性质2:合同矩阵具有相同的秩。问题:使得矩阵 A 和 B 合同的可逆矩阵 C,是否唯一?二次型2 标准型2 2 2 2 标准型标准型标准型标准型用配方法化二次型为标准型定理:数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准型。用合同法化二次型为标准型定理:数域 P 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。行列式1 n阶行列式的定义1、化下列二次型为标准型2、化二次型例题(1)为标准型。(2)二次型3 唯一性3 3 3 3

6、 唯一性唯一性唯一性唯一性标准型中的系数不是唯一确定的。做线性替换例如:对二次型得到标准型二次型3 唯一性进一步做替换得到另一个标准型共同点:标准型中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的。合同不改变矩阵的秩。二次型3 唯一性复数域上的二次型定理:任意一个秩为 r 的复系数的 n 元二次型,可经过适当的非退化线性替换化为复规范型:而且这个规范型是唯一的。二次型3 唯一性推论:任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵:其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。推论:两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。二次型3 唯一性实数域上的二次型定理:任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型,

7、可经过适当的非退化线性替换化为实规范型:而且这个规范型是唯一的。定义:实二次型 f 的规范型中,正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数;负平方项的个数 r-p 称为 f 的负惯性指数;它们的差 p-(r-p)称为 f 的符号差。二次型3 唯一性推论:任意一个实对称矩阵 A 都合同于对角矩阵:其中对角线上 1 和-1 的个数都是唯一确定的,且其和 r 等于矩阵 A 的秩。问题:试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。二次型4 正定二次型4 4 4 4 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型的定义和判定定义:实二次型是正定的,如果对任意一组不全为零的的实数都有。定理:实二次型是正定二次

8、型的充要条件是定理:非退化的线性替换不改变二次型的正定性。定义:n 元实二次型正定的充要条件是它的正惯性指数为 n。二次型4 正定二次型正定矩阵定义:如果实二次型是正定的,则称实对称矩阵A 为正定矩阵。定理:实对称矩阵 A 正定的充要条件是它与单位矩阵合同。定理:实对称矩阵 A 正定的充要条件是存在非奇异矩阵 C,使得 A=CC推论:正定矩阵的行列式大于零。推论:正定矩阵是可逆的,且其逆矩阵仍为正定矩阵。二次型4 正定二次型直接利用矩阵的元素来判断它的正定性。定义:n 阶实对称矩阵 A=(aij)的左上角的 k 阶子式称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子式。定理:实二次型正定的充要条件是矩阵 A

9、的各阶顺序主子式全大于零。二次型4 正定二次型例题1、判别二次型是否正定。2、当 t 取什么值时,二次型是正定的。3、判别二次型是否正定。二次型4 正定二次型4、若矩阵 A 是列满秩的,则 AA 为正定矩阵。5、设 A 为 n 阶正定矩阵,证明:(1)对任意 n 阶矩阵 B,秩(BAB)=秩(B)。(2)若 B 是 nm 阶实矩阵,且 B 是列满秩的,则 BAB 也是正定的。二次型4 正定二次型二次型的分类定义:设实二次型,若对于任意一组不全为零的实数都有(1),则称是正定的。(2),则称是半正定的。(3),则称是负定的。(4),则称是半负定的。(5)不确定,则称是不定的。二次型4 正定二次型定理:设实二次型,下列命题等价:(1)是半正定的,(2)它的负惯性指数与秩相等,(3)有可逆实矩阵 C,使得(4)有实矩阵 C,使得 A=CC,(5)矩阵 A 的所有主子式大于或等于零。

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 教育专区 > 大学资料

本站为文档C TO C交易模式,本站只提供存储空间、用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。本站仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知淘文阁网,我们立即给予删除!客服QQ:136780468 微信:18945177775 电话:18904686070

工信部备案号:黑ICP备15003705号© 2020-2023 www.taowenge.com 淘文阁