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1、华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学演示第一章 矩阵与线性方程 第三章 向量的内积与正交矩真第五章 二次型第七章 Matlab 软件的应用第二章 向量与线性方程组第六章 线性空间与线性变换第四章 矩阵的特征与特征向量第五章 二次型1 二次型的标准形二次型的标准形3 正定二次型正定二次型2 二次型的规范形二次型的规范形二次型的标准形第一节二次型和它的矩阵定义叫做二次型。二次型 f对称矩阵 A对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩显然A是对称矩阵，这表明对称矩阵A是二次型的矩阵。只含有平方项的二次型叫做标准形解解（秩不变）二次型的标准形二次型的标准形定义如果x的二次型 经过可逆线性变换x=Hy
2、变成y的二次型就称此二次型为原来二次型的标准形标准形。定理1对于任意可逆矩阵对于任意可逆矩阵C,令令定义设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得则称矩阵A与B是合同的,称矩阵C为合同变换矩阵合同变换矩阵.如果如果 A 是对称是对称矩阵矩阵,则则B也是对称矩阵也是对称矩阵,且且R(A)=R(B).定理2任给二次型任给二次型是任意二次型其中A是n阶对称矩阵存在正交矩阵P，使得作正交变换总有正交变换总有正交变换x=Py使使 f 化为标准形化为标准形其中其中为为A的所有特征值的所有特征值.定理定理:设设A是是n阶阶对称矩阵，则必有正交矩阵对称矩阵，则必有正交矩阵P,P,使使用正交变换化
3、二次型为标准型正交变换对称矩阵对称矩阵A正交矩阵正交矩阵P用正交变换化二次型为标准型的具体步骤：2.求矩阵A的特征方程3.求特征方程的根，即特征值4.对每个特征值解方程组得到n个特征向量5.对这个特征向量正交化和单位化，得到6.便得到标准型1.求二次型的矩阵A得特征值可求得的单位特征向量顺次为试用正交变换化二次型为标准形解解矩阵A的特征多项式为特征值正交化单位化作正交变换代入f，得到标准型例例求下列平面图形所围图形的面积：解解A 的特征值为经过正交变换曲线可化为标准形二次型的规范形第二节例例对二次型作不同的变换化为标准型。解解作变换若取可逆的线性变换非零项的个数相同，正项的个数也相同定理定理5
4、.3二次型可通过可逆的线性变换化为标准型:且例例试指出二次型经可逆线性变换后的标准型中非零项的数目。惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标），因而非零项的个数固定(称为惯性指标）f 的惯性指标 =f 的矩阵 A 的非零特征值个数 rf 的正惯性指标=f 的矩阵 A 的正特征值个数f 的负惯性指标=f 的矩阵 A 的负特征值个数正定二次型第三节正定二次型定义：判定二次型的正定性定理1推论定理2推论定理定理3(hurwitz定理）定义设n阶方阵我们把n个行列式都叫做矩阵的顺序主子式。推论A的三个顺序主子式为所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。方法一方法二A的特征方程为解出特征值故A是正定矩阵，f 是正定二次型。解解A的三个顺序主子式为所以 f 为负定二次型。通过计算,易得A的特征值分别为A 既不是正定的,也不是负定的,也不是半正定的判别正定二次型（矩阵）的三种方法1.标准形2.特征值3.顺序主子式是正定二次型的充分必要条件是:存在可逆阵 P,使得证明：若证明：若A是正定矩阵是正定矩阵，则则也是正定矩阵也是正定矩阵。判别二次型的正定性二次型 正定时，t 应满足的条件 二次型 正定时，t 应满足的条件