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1、线性代数二次型第五章第1页，共63页，编辑于2022年，星期一第五章 二次型1 二次型及其标准形2 用合同变换化二次型为标准型3 用正交变换化二次型为标准型4 二次型的分类第2页，共63页，编辑于2022年，星期一1 二次型及其标准形一、二次型的概念及矩阵表示二、非退化的线性交换三、用配方法化二次型为标准形第3页，共63页，编辑于2022年，星期一一、二次型的概念及矩阵表示一、二次型的概念及矩阵表示考虑方程考虑方程在平面上代表什么曲线？在平面上代表什么曲线？(1)第4页，共63页，编辑于2022年，星期一将坐标系（将坐标系（O,x,y)顺时针旋转顺时针旋转45,即令即令(2)则得曲线在坐标系则
2、得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程：中的方程：(3)从而曲线为一从而曲线为一椭圆椭圆。o第5页，共63页，编辑于2022年，星期一 定义定义 1将将 n 元二次齐次式元二次齐次式称为称为 n 元二次型元二次型。二二次次型型依依其其系系数数是是实实数数或或复复数数而而分分别别称称为为实实二二次次型型或或复二次型复二次型。我们。我们仅讨论实二次型仅讨论实二次型。取取 a i j=a j i;则则 2ai j xi xj=ai j xi xj+aj i xj xi所以所以f(x1,x2,xn)(4)二次型还可以用矩阵表示二次型还可以用矩阵表示第6页，共63页，编辑于2022年，星期一则：则：f(x
3、1,x2,xn)=x1(a11 x1+a12 x2+a1n xn)+x2(a21 x1+a22 x2+a2n xn)+xn(an1 x1+an2 x2+ann xn)=(x1,x2,xn)a11 x1+a12 x2+a1n xna21 x1+a22 x2+a2n xnan1 x1+an2 x2+ann xn=(x1,x2,xn)第7页，共63页，编辑于2022年，星期一简记为简记为f=X T AX(5)其中：其中：X=称矩阵称矩阵 A 为二次型为二次型 f 的矩阵的矩阵，方阵方阵 A 的秩的秩 为为 二次型的秩二次型的秩。显然显然(1)A是对称矩阵是对称矩阵f(x1,x2,xn)A(2)第8页
4、，共63页，编辑于2022年，星期一例例1写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：解解:则则令令第9页，共63页，编辑于2022年，星期一例例2写出二次型的矩阵和矩阵表示式：写出二次型的矩阵和矩阵表示式：解解:令令则则矩阵是对角矩阵矩阵是对角矩阵第10页，共63页，编辑于2022年，星期一 定义定义2只含有平方项只含有平方项的二次型的二次型称为称为 n 元二次型的元二次型的标准形标准形。显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。第11页，共63页，编辑于2022年，星期一定义定义3对于线性交换对于线性交换x1=q11 y1+q12 y2+q
5、1n ynx2=q21 y1+q22 y2+q2n yn xn=qn1 y1+qn2 y2+qnn yn(6)当当是是满秩满秩(可逆可逆)矩阵时矩阵时,称线性变换称线性变换(6)为为非退化非退化(或或 满秩满秩)的线性变换的线性变换。二、非退化的线性交换二、非退化的线性交换第12页，共63页，编辑于2022年，星期一简记为简记为X=QY其中：其中：x1=q11 y1+q12 y2+q1n ynx2=q21 y1+q22 y2+q2n yn xn=qn1 y1+qn2 y2+qnn yn第13页，共63页，编辑于2022年，星期一定理定理1任一二次型任一二次型 f ，其中其中:y1,y2,yn
6、是原变量是原变量 x1,x2,xn经满秩经满秩的线性变换后得到的新变量。的线性变换后得到的新变量。通过通过非退化的线性变换非退化的线性变换化成标准型化成标准型都可都可化二次型为标准型的方法：化二次型为标准型的方法：1.配方法配方法2.合同变换合同变换3.正交变换正交变换第14页，共63页，编辑于2022年，星期一例例3化化二二次次型型 f=x12+2x22 x32+4x1x2 4x1x3 4x2x3 为为标标准准形形，并并写写出出所所作作的的线线性变换。性变换。=x12+4x1(x2 x3)=(x1+2x2 2x3)2 2x22+4x2x3 5x32=(x1+2x2 2x3)2 2(x22 2
7、x2x3+x32)3x32=(x1+2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32解：解：+2x22 x32 4x2x3x12+4x1(x2 x3)f=4(x2 x3)2+2x22 x32 4x2x3+4(x2 x3)2三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形第15页，共63页，编辑于2022年，星期一令：令：y1=x1+2x2 2x3y2=x2 x3y3=x3则：则：f=y12 2y22 3y32为标准型为标准型其中：其中：是非退化的线性变换。是非退化的线性变换。f=(x1+2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32即：即：线性变换为：线性变换为：x1=y1 2y2
8、x2=y2+y3x3=y3即：即：第16页，共63页，编辑于2022年，星期一例例4化化二二次次型型 f=2x1x2+2x1x3 6x2x3 为为标准形，并写出所作的线性变换。标准形，并写出所作的线性变换。解：解：由由于于 f 中中不不含含平平方方项项，故故先先通通过过线线性性变变换换来来构构造平方项。造平方项。令：令：x1=y1+y2 x2=y1 y2,x3=y3即：即：第17页，共63页，编辑于2022年，星期一则则f=2 y12 2 y22+2 y1 y3+2 y2 y3 6 y1 y3+6 y2 y3=2 y12 4 y1 y3 2 y22+8 y2 y3=2(y12 2 y1 y3+
9、y32)2 y32 2 y22+8 y2 y3=2(y1 y3)2 2(y22 4 y2 y3+4y32)+6 y32=2(y1 y3)2 2(y2 2 y3)2+6 y32 令：令：z1=y1 y3 z2=y2 2y3,z3=y3即：即：则二次型化为标准型则二次型化为标准型 f =2 z 12 2 z 22+6 z 32 第18页，共63页，编辑于2022年，星期一其中：其中：因为：因为：所所以以所所作作的的线线性性变变换换是是非非退化的退化的。第19页，共63页，编辑于2022年，星期一定理定理2任任意意一一个个二二次次型型都都可可以以用用配配方方法法化化成标准形。成标准形。注注1：化化二
10、二次次型型为为标标准准形形时时，所所用用的的非非退退化化的的线线性性变变换换不不同同，标标准准形形的的系系数数不不一一定定相相同同，因因此此，二二次型的标准形不是唯一的。次型的标准形不是唯一的。第20页，共63页，编辑于2022年，星期一例如：例如：f=2x1x2+2x1x3 6x2x3化为标准形：化为标准形：f=2z12 2z22+6z32再作非退化的线性交换再作非退化的线性交换得新标准形：得新标准形：f=u2 v 2+w 2由非退化的线性变换由非退化的线性变换即：即：第21页，共63页，编辑于2022年，星期一2 用合同变换化二次型为标准型一、矩阵间的合同关系二、用合同变换化二次型为标准型
11、请点击请点击第22页，共63页，编辑于2022年，星期一对于二次型对于二次型f=X T AX令非退化线性变换为令非退化线性变换为X=QY,其中：其中：|Q|0则则:f =(QY)TA(QY)其中：其中：B=Q T AQ得得:f =Y T BY。=Y T(Q T AQ)YY 的二次型新变量 X 的二次型变量 可以是对角阵可以是对角阵一、矩阵间的合同关系一、矩阵间的合同关系第23页，共63页，编辑于2022年，星期一 定义定义 1设有两个方阵设有两个方阵 A 与与 B，若存在一个，若存在一个可逆阵可逆阵 Q，则称则称 A 合同于合同于 B，记作，记作B=Q T AQ使使第24页，共63页，编辑于2
12、022年，星期一性质性质反身性反身性传递性传递性证证(ii)若若B=Q T AQ,则则(Q T)1 BQ 1=A即即A=(Q 1)T BQ 1,对称性对称性(iii)若若B=Q1 T AQ1,C=Q2 T BQ2,则则 C=Q2 T(Q1 T AQ1)Q2 即即 C=(Q1 Q2)T A(Q1 Q2),第25页，共63页，编辑于2022年，星期一表表示示对对 A 作作一一次次行行初初等等变变换换后后再再作作同一类型的列变换同一类型的列变换。结结论论：A 可可经经过过一一系系列列同同一一类类型型的的行行列列初初等等变变换换(也也称合同变换称合同变换)化成对角矩阵化成对角矩阵B。存在存在可逆阵可逆
13、阵Q，由由 Q 可逆可逆,则则 Q=p1 p2 pm有有若若B=Q T AQ,使使(p1 p2 pm)T A(p1 p2 pm)()P2T P1T A P1 P2第26页，共63页，编辑于2022年，星期一问题：求问题：求 Q？Q=p1 p2 pm=E p1 p2 pm即：即：对对 E 施行与施行与 A 同类型同类型的的列初等变换列初等变换，即得，即得 Q进行一系列行列同型的初等变换进行一系列行列同型的初等变换只进行同类型的列初等变换只进行同类型的列初等变换()P2T P1T A P1 P2BAEBQ第27页，共63页，编辑于2022年，星期一例例1化二次型 f=x12+2x1x2 4x1x3
14、+3x22为标准型。解：解：f =(x1 x2 x3)r2 r10 2 2c2 c1021AE第28页，共63页，编辑于2022年，星期一得得作变换 X=QY,化二次型 f 为标准型f =Y T BY=y12+2y22 6y32r3 2r1c3 2c1r3 r2c3 c2BQ=12 6B=Q T AQ其中其中:12 600第29页，共63页，编辑于2022年，星期一3 用正交变换化二次型为标准型一、正交矩阵二、正交变化三、实对称方阵的特征值、特征向量四、用正交变换化二次型为标准型请点击请点击第30页，共63页，编辑于2022年，星期一二、正交变化二、正交变化1.定义定义2若若 P 为正交矩阵为
15、正交矩阵，则称线性交换，则称线性交换X=PY 为为正交变换正交变换。注注1:正交变换是非退化正交变换是非退化(满秩满秩)的线性变换。的线性变换。注注2:若若 X=PY 为正交变换，则为正交变换，则|X|=即即 正交变换保持向量的长度不变。正交变换保持向量的长度不变。第31页，共63页，编辑于2022年，星期一定理定理对对二二次次型型 f=X T AX 一一定定存存在在正正交交变变换换 X=PY 化二次型为化二次型为标准型标准型f =X T AX=Y T P T A P Y=Y TY第32页，共63页，编辑于2022年，星期一若存在正交阵若存在正交阵 P，使使 P T A P=而而 P T=P
16、1，记记 P 的列向量组为的列向量组为 1,2 ,n 分析：如何求分析：如何求 P？A P=P则有则有第33页，共63页，编辑于2022年，星期一有有A(1,2 ,n)=(1,2 ,n)(A 1,A 2 ,A n)=(1 1,2 2 ,n n)即即A i=i i,i=1,2,n.i 0 i 是是 A 的特征值，的特征值，标准型中标准型中的系数的系数 1,2,n 可由求可由求 A 的的特征值特征值得出。得出。得出，得出，正交矩阵正交矩阵 P,是由求是由求特征向量特征向量 1,2 ,n而而 i 是属于是属于 i 的特征向量的特征向量.且且 1,2 ,n是是正交的单位向量组正交的单位向量组。第34页
17、，共63页，编辑于2022年，星期一三、实对称方阵的特征值、特征向量三、实对称方阵的特征值、特征向量引理引理1实对称方阵实对称方阵 A 的特征值都是实数的特征值都是实数证：证：设设 是是 A 的特征值，的特征值，X 是对应的特征向量，即是对应的特征向量，即AX=X,X 0两边取共轭两边取共轭:A X=X,再两边取转置再两边取转置:X TA=X T由于由于 AX=X ，代入代入(3)式式,得得即即得得(3)由由 X 0，即即 为实数。为实数。所以所以第35页，共63页，编辑于2022年，星期一引理引理2实实对对称称方方阵阵 A 对对应应于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量是是相互相互正交
18、正交的。的。证：证：设设 是是 A 不同特征值，不同特征值，、分别是属于分别是属于 和和 的特征向量，的特征向量，则则 T =(A )T =T A T =T(A )=T =T()因因 ,故故 T =0而而()T =0,即即 与与 正交正交.第36页，共63页，编辑于2022年，星期一引理引理3若若 是是 n 阶阶实实对对称称方方阵阵 A 的的 k 重重根根，则则 A 的的对对应应于于 的的线线性性无无关关特特征征向向量量的的最最大大个个数数恰为恰为 k.第37页，共63页，编辑于2022年，星期一四、用正交变换化二次型为标准型四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵化实对称阵为对角阵
19、)步骤：步骤：(1)解特征方程解特征方程|A E|=0,得得 n 个特征实根个特征实根 1,2,n.(2)对每个对每个 i(i=1,2,n)，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组(A E)X=0求出对应于求出对应于 i 的特征向量的特征向量.若若 i 是是 k 重根重根，有，有 k 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量第38页，共63页，编辑于2022年，星期一(3)将属于同一特征值的将属于同一特征值的正交化正交化(4)单位化单位化得得正交的单位向量组正交的单位向量组 1,2,n取取 P=(1,2,n)则正交变换则正交变换 X=PY，化二次型为标准型，化二次型为标准型f=Y TY=1 y12
20、+2 y22+n yn2第39页，共63页，编辑于2022年，星期一(1)解解特征根：标准形式为：例例1：用正交化方法化二次型用正交化方法化二次型为标准型为标准型第40页，共63页，编辑于2022年，星期一(2)对对 1=3，即：即：得基础解系：得基础解系：X 1(A+3E)X=0解线性方程组解线性方程组第41页，共63页，编辑于2022年，星期一即即系数矩阵的秩为系数矩阵的秩为1，基础解系含有三个向量，基础解系含有三个向量X 2X 3X 4对对 2=3=4=1,解线性方程组解线性方程组(A E)X=0第42页，共63页，编辑于2022年，星期一(3)将将 X2,X3,X4 正交化正交化取取
21、2=X2 3=X3 4=X4 第43页，共63页，编辑于2022年，星期一(4)单位单位化化 1 2 3 4第44页，共63页，编辑于2022年，星期一故取正交矩阵故取正交矩阵P=(1 2 3 4)作作正交变换正交变换 X=P Y,即即第45页，共63页，编辑于2022年，星期一就将二次型就将二次型 f 化成标准型化成标准型f =3 y12 +y22 +y32 +y42第46页，共63页，编辑于2022年，星期一4 二次型的分类一、惯性定理二、实二次型的分类三、正定二次型的判定请点击请点击第47页，共63页，编辑于2022年，星期一一、惯性定理一、惯性定理对于二次型对于二次型 f=X T AX
22、，经过非退化的线性变换，经过非退化的线性变换X=QY其中其中:则则 r(A)=r(B)=r,且且 r 为对角线上非零元的个数为对角线上非零元的个数B=Q T AQ00化成标准型化成标准型 f=Y T BY第48页，共63页，编辑于2022年，星期一定理定理1(惯性定理惯性定理)设二次型设二次型 f=X T AX 的秩为的秩为 r n 若有两个非退化的线性变换将若有两个非退化的线性变换将 f 分别化为分别化为:f=1 y12+2 y22+r yr2,(i 0,i=1,2,r)f=l1 z 12+l2 z22+l r z r2,(l i 0,i=1,2,r)则则 i 中正数个数中正数个数与与 l
23、i 中正数个数相同中正数个数相同.(从而负数个数也同从而负数个数也同)第49页，共63页，编辑于2022年，星期一其中：其中：系数系数 i 中中正数的个数正数的个数 p,负数的个数负数的个数 g=r p,p g,称为称为符号差符号差.f=1 y12+2 y22+r yr2,称为二次型称为二次型 f 的的正惯性指数正惯性指数。称为二次型称为二次型 f 的的负惯性指数负惯性指数。第50页，共63页，编辑于2022年，星期一例如：例如：二次型二次型 f=2x1x2+2x1x3 6x2x3 经非退化的线性变换经非退化的线性变换化成标准型化成标准型f=2 y12 2 y22 +6 y32还可经非退化的线
24、性变换还可经非退化的线性变换化为标准型化为标准型f=z12 z22 +z32第51页，共63页，编辑于2022年，星期一推论：推论：任一二次型任一二次型 f=X T AX 都可经非退化的都可经非退化的线性变换化成线性变换化成规范型规范型f=z12+z22+z p2 z 2p+1 z r2且规范型是唯一的且规范型是唯一的.第52页，共63页，编辑于2022年，星期一二、实二次型的分类二、实二次型的分类定义定义1对于二次型对于二次型 f(x1,x2 ,xn)=X T AX 如果对于如果对于任意一组不全为任意一组不全为0的实数的实数 c1,c2 ,cn(1)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,矩阵
25、矩阵 A 为为正定矩阵正定矩阵;(2)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,则称二次型是则称二次型是负定的负定的;(3)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,则称二次型是则称二次型是半正定的半正定的;(4)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,则称二次型是则称二次型是半负定的半负定的;(5)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)有时为正，有时为负有时为正，有时为负,则称二次型是则称二次型是不定的不定的.则称二次型是则称二次型是正定的正定的，第53页，共63页，编辑于2022年，星期一定理定理2设秩为设秩为 r 的的 n 元元二次型二次型 f=X T AX经非退化的线性变换经非退化的线性变换 X=Q
26、Y 化为标准型化为标准型f=k1 y12+k2 y22+k r yr2,(k i 0,i=1,2,r)且设且设 f 的的正惯性指数正惯性指数为为 p(1 p r),则则(1)当当 p=r=n 时，时，(2)当当 p=r n 时，时，(3)当当 p=0,r=n 时，时，(4)当当 p=0,r n 时，时，(5)当当 0 p 0,设设A 为实对称矩阵，则以下为实对称矩阵，则以下4个命题等价：个命题等价：定理定理3（3）A 与单位阵与单位阵 E 合同；合同；第55页，共63页，编辑于2022年，星期一定理定理4（1）实二次型）实二次型 f=X T AX 为为负定负定的；的；（3）A 的的顺序主子式的
27、符号为负正相间顺序主子式的符号为负正相间.即即:a11 0,故二次型故二次型 f 是是正定正定的。的。第57页，共63页，编辑于2022年，星期一(2)f=5x12 6x22 4x32+4x1x2+4x1x3二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为解：解：由由 5 0,X T BX 0.所以，所以，X T(A+B)X即，即，A+B 是是正定正定矩阵矩阵=X T AX+X T BX 0第59页，共63页，编辑于2022年，星期一例例3：试试证证：对对于于正正定定的的实实对对称称方方阵阵 A，存存在在非非奇奇异方阵异方阵 U,使使 A=UTU.证：证：因为因为 A 是实对称矩阵，故存在正交变换是实对称矩
28、阵，故存在正交变换 X=PY,使使X T AX=(PY)T A(PY)=Y T(P T AP)Y其中其中:1,2,n 为为 A 的的特征值特征值，A 是正定矩阵，是正定矩阵，i 0 (i=1,2,n).=Y TY,第60页，共63页，编辑于2022年，星期一即有：即有：P T AP=(P T)1P 1A=P 1 (P 1)T=第61页，共63页，编辑于2022年，星期一P 1 (P 1)T=A令令则则 U 为非奇异方阵，为非奇异方阵，且且 A=U T U.第62页，共63页，编辑于2022年，星期一（1）f=X T AX 为为半正定半正定的；的；（4）矩阵）矩阵 A 的顺序的顺序 主子式大于或等于零主子式大于或等于零，设设A 为实对称矩阵，则以下为实对称矩阵，则以下4个命题等价：个命题等价：定理定理5（2）A 的的特征值特征值 ,且大于零的且大于零的 个数小于个数小于n;且至少有一个且至少有一个顺序顺序 主子式等于零主子式等于零。（3）A 与与 合同；合同；第63页，共63页，编辑于2022年，星期一