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1、第五章第五章 二次型二次型 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 5.25.2 5.3 5.3 二次型的系统研究是从二次型的系统研究是从二次型的系统研究是从二次型的系统研究是从 18 18 世纪开始的世纪开始的世纪开始的世纪开始的 起源于对二次曲线起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论面的分类问题的讨论18011801年年年年,德国数学家德国数学家德国数学家德国数学家高斯高斯高斯高斯:引进了二次型的引进了二次型的正定正定、负定负定、半正定半正定和和半负定半负定等术语等术语法国数学家法国数学家法国数学家法国数学家柯西柯西柯西柯西:当方程是标准型时当方程是标准型时,二次曲面用二次项的符号来进
2、行分类二次曲面用二次项的符号来进行分类 不太清楚不太清楚,在化简成标准型时在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项为何总是得到同样数目的正项和负项后来后来后来后来,英国数学家英国数学家英国数学家英国数学家西尔维斯特西尔维斯特西尔维斯特西尔维斯特回答了这个问题回答了这个问题回答了这个问题回答了这个问题:给出了给出了n n个变数的二次型的惯性定律个变数的二次型的惯性定律,但没有证明但没有证明这个定律后被这个定律后被这个定律后被这个定律后被雅可比雅可比雅可比雅可比重新发现和证明了重新发现和证明了重新发现和证明了重新发现和证明了 一一.二次型二次型(quadratic form)的定义的定义
3、 二次曲线二次曲线二次曲线二次曲线axax2 2+bxybxy+cycy2 2=1=1mm(x x)2 2+n n(y y)2 2=1=1O Ox xy yy yO Ox x第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.1 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.1 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn n元实二次
4、型元实二次型 aij=aji n n aijxixj i i,j j=1=1第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.1 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 n n f(x1,x2,xn)=aijxixj i i,j j=1=1A=a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 annx=x1x2xn xTAx f 的矩阵的矩阵A的二次型的二次型 f 的秩的秩:r(A)第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.1 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 n n f(
5、x1,x2,xn)=aijxixj i i,j j=1=1 k1y12+k2y22+knyn2?f 的标准形的标准形 (canonical form)(canonical form)xTAx=(y1,y2,yn)=k1 0 00 k2 0 0 0 kny1y2yn第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.1 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y)寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵P,使得使得寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换x=Py,使得使得 PTAP=k1 0 00 k2
6、0 0 0 kn第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.1 5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 二二.矩阵的合同矩阵的合同 A与与B相合相合或或合同合同(congruent):可逆可逆矩阵矩阵P,使得使得PTAP=B.矩阵间的相合关系也是一种等价关系矩阵间的相合关系也是一种等价关系.记为记为:A B.(1)反身性反身性:A A;(2)对称性对称性:A B B A;(3)传递性传递性:A B,B C A C.定理定理5.1.实对称矩阵与对角矩阵合同实对称矩阵与对角矩阵合同.第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.2 5
7、.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形 定理定理5.2.对于任何一个对于任何一个n元实二次型元实二次型f=xTAx,都有正交变换都有正交变换x=Qy,使使f化为标准形化为标准形 f=1y12+2y22+nyn2,其中其中 1,2,n为为A的的n个特征值个特征值,Q 的列向量就是的列向量就是A的对应的的对应的n个单位正个单位正 交特征向量交特征向量.正交变换下的标准形正交变换下的标准形 一一.用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为
8、标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例1.用正交变换把用正交变换把将将二次型二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32 2x1x3 化为标准形化为标准形.|EA|=(1)(2).所以所以A的特征值为的特征值为 1=0,2=1,3=2.代入代入(EA)x=0求得对应的特征向量求得对应的特征向量 1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,1)T.它们是两两正交的它们是两两正交的.解解:f 的矩阵的矩阵A=1 0 1 0 1 0 1 0 1,5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章
9、 二次型二次型二次型二次型 所以所以A的特征值为的特征值为 1=0,2=1,3=2.代入代入(EA)x=0求得对应的特征向量求得对应的特征向量 1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,1)T.它们是两两正交的它们是两两正交的.把它们单位化可得正交矩阵把它们单位化可得正交矩阵 Q=0 1 0 0,22221 1110 令令x=Qy,得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 f=y22+2y32.5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例2.求二次型求二次型f=3x12+3x22+2x
10、1x2+4x1x3 4x2x3 在条件在条件x12+x22+x32=1下的最大下的最大,最小值最小值.由此可得由此可得A的的对应于特征值对应于特征值 =4的一个特的一个特 征向量征向量:1=(1,1,0)T,|EA|=(4)2(+2).解解:f 的矩阵的矩阵A=3 1 2 1 3 2 2 2 0,4EA=1 1 2 1 1 2 2 2 4 初等初等 行行变换变换 1 0 0 1 0 0 2 0 0 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 此外此外A的的对应于特征值对应于特征值 =2的一个特征向量的一个
11、特征向量 为为 3=(1,1,2)T,得得 2=(1,1,1)T,由此可得由此可得由此可得由此可得A A的的的的对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值 =4 4的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量的一个特征向量:1 1=(1,1,0)(1,1,0)T T,4 4E E A A=1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 初等初等初等初等 行行行行变换变换变换变换 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 为了求为了求对应于对应于 =4 的另外一个与的另外一个与 1 正交的特正交的特 征向量征向量,再解方程组再解方程组1
12、1 1 1 2 0 x=0 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 f=4y12+4y22 2y32 由此可得正交矩阵由此可得正交矩阵Q=且且x12+x22+x32=1化为化为y12+y22+y32=1,此时此时 0,616 22121313 1316 1令令x=Qy,得该二次型的标准形为得该二次型的标准形为 f=4y12+4y22 2y32.=4(y12+y22+y32)6y32=4 6y32 最大值为最大值为4,最小值为最小值为 2.=6(y12+y22)2(y12+y22+y32)=6(y12+
13、y22)2 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 二二.用配方法用配方法(square method)(square method)化实二次型为标准形化实二次型为标准形 例例3.用配方法化用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形为标准形.解解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3 令令 则则 f=4y12+3y22+(8/3)y32.5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例
14、4.用配方法化用配方法化f=x12 3x22 2x1x2 6x2x3+2x1x3 为标准形为标准形,并求所用的可逆线性变换并求所用的可逆线性变换.解解:f=x12 3x22 2x1x2 6x2x3+2x1x3=x12 2x1(x2 x3)+(x2 x3)2 (x2 x3)2 3x22 6x2x3=(x1 x2+x3)2 (2x2+x3)2=y12 y22 其中其中y=x.1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 因而因而x=y.1 1 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 3/2 3/2 1/21/2 1 1 5.2 5.2 化二次型为标准形化二
15、次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例5.用配方法化用配方法化f=2x1x2+2x1x3 6x2x3为标准形为标准形.并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.0 1 1 1 0 3 1 3 0,f(x1,x2,x3)的矩阵的矩阵A=|EA|=(3)+(3+)+(3 ).1 1 2 2 17171 1 2 2 分析分析:若用前面正交变换的方法化若用前面正交变换的方法化f为标准形为标准形,非常麻烦非常麻烦.因为因为 但由此可见但由此可见 f 可化为可化为 f=3y12 (3+)y22+(3)y32.1 1 2 2 17171 1 2 2
16、 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 例例5.用配方法化用配方法化f=2x1x2+2x1x3 6x2x3为标准形为标准形.并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.解解解解:先配先配先配先配x x1 1.令令令令x x1 1=y y1 1+y y2 2,x x2 2=y y1 1 y y2 2,x x3 3=y y3 3,则则则则f f=2=2y y1 12 2 2 2y y2 22 2 4 4y y1 1y y3 3+8+8y y2 2y y3 3.配方得配方得配方得配方得f f=2=2(y y1
17、1 y y3 3)2 2 2(2(y y2 2 2 2y y3 3)2 2+6+6y y3 32 2.令令令令z z1 1=y y1 1 y y3 3,z z2 2=y y2 2 22y y3 3,z z3 3=y y3 3,即即即即y y1 1=z z1 1+z z3 3,y y2 2=z z2 2+2+2z z3 3,y y3 3=z z3 3,则则则则f f=2=2z z1 12 2 2 2z z2 22 2+6+6z z3 32 2.所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第
18、五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 三三.用初等变换法化实二次型为标准形用初等变换法化实二次型为标准形 例例6.f=2x1x2+2x1x3 6x2x3的矩阵为的矩阵为 A=0 1 1 1 0 3 1 3 0,A,E=0 1 1 1 0 3 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 3 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 2 1 2 1 0 3 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 (1/2)1/2)1 1
19、1 1 0 3 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 2 1 1/2 3 2 2 0 1 1/2 0 1 1/2 0 0 0 1 ()1 1 2 2 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 2 0 2 0 1/2 2 2 2 0 1 1/2 0 1 1/2 0 0 0 1 2 0 2 1 1/2 3 2 2 0 1 1/2 0 1 1/2 0 0 0 1 ()1 1 2 2 2 0 0 0 1/2 2 2 2 2 1 1/2 1 1 1/2 1 0 0 1 5.2 5.2 化二次型为
20、标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 2 0 0 0 1/2 2 0 2 2 1 1/2 1 1 1/2 1 0 0 1 (4)4)(4)4)2 0 0 0 1/2 2 2 2 2 1 1/2 1 1 1/2 1 0 0 1 2 0 0 0 1/2 0 0 2 6 1 1/2 3 1 1/2 1 0 0 1 5.2 5.2 化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 (4)4)2 0 0 0 1/2 0 0 2 6 1 1/2 3 1 1/2 1 0
21、0 1 2 0 0 0 1/2 0 0 0 6 1 1/2 3 1 1/2 1 0 0 1 令令C=,1 1 0 1/2 1/2 0 3 1 1 2 0 0 0 1/2 0 0 0 6 则则CTAC=,即即x=Cy把该二次型化为把该二次型化为 第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.3 5.3 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 5.3 正定二次型正定二次型 一一.惯性定理惯性定理(Inertia Law)定理定理5.3.实二次型实二次型f(x)=xTAx总可以通过总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形中的可逆线性变换将其化为标准形 f=k1y12+knyn2 其
22、中其中k1,kn中非零的个数中非零的个数r=秩秩(f),且且 正项的个数正项的个数p与负项的个数与负项的个数q(p+q=r)都都 是在可逆线性变换下的不变量是在可逆线性变换下的不变量.f(或或A)的的正惯性指数正惯性指数 f(或或A)的的负惯性指数负惯性指数(positive index of inertia)(positive index of inertia)(negative index of inertia)(negative index of inertia)第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.3 5.3 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 例如例如 f=2
23、x1x2+2x1x3 6x2x3 在三种不同的可在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形逆线性变换下可分别化为下列标准形:f=3y12 (3+)y22+(3)y32 1 1 2 2 17171 1 2 2 f=2z12 2z22+6z32 可见秩可见秩(f)=3,f的正惯性指数的正惯性指数p=2,f的负惯性的负惯性 指数指数q=1.第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.3 5.3 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 推论推论a.实二次型实二次型f(x)=xTAx总可以通过总可以通过Rn中中 的可逆线性变换将其化为的可逆线性变换将其化为规范形规范形 且规范形且规范
24、形(normalized form)是唯一的是唯一的.推论推论b.设设n实阶对称矩阵实阶对称矩阵A的秩为的秩为r,则存在可则存在可 逆阵逆阵P,使使PTAP=Ep Eq O,其中其中p+q=r.第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.3 5.3 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 二二.二次型的正定性二次型的正定性 1.定义定义:f(x)=xTAx x 0 f(x)0 实二次型实二次型 f(x),A正定正定 x 0 f(x)0.(positive definite)(positive definite)(negative definite)(negative defini
25、te)第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.3 5.3 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 3.判定判定 定理定理5.4.设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则则TFAE:,2=a11 a12 a21 a22,1=a11,均大于零均大于零.n=|A|(1)A是正定矩阵是正定矩阵;(2)A的正惯性指数为的正惯性指数为n;(3)A的特征值均大于零的特征值均大于零;(4)A与与E合同合同;(5)存在可逆矩阵存在可逆矩阵P,使得使得A=PTP;(6)A的各阶的各阶顺序主子式顺序主子式(principal minors)第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型 5.3
26、 5.3 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 例例7.AT=A,A2 3A+2E=O A正定正定.例例8.A正定正定|A+E|1.例例10.AT=A,BT=B.证明证明:M=A OO B正定正定 A,B都正定都正定.例例9.A=2 6 4 6 3 1 4 1 4 2 6 6 3 2=30.不是正定的不是正定的,因为因为 Augustin Louis Cauchy Born:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 1857 in Sceaux(near Paris),FranceCarl Gustav Jacob Jacobi Born:10 Dec
27、1804 in Potsdam,Prussia(now Germany)Died:18 Feb 1851 in Berlin,GermanyJohann Carl Friedrich Gauss Born:30 April 1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb 1855 in Gttingen,Hanover (now Germany)Born:3 Sept 1814 in London,England Died:15 March 1897 in London,England James Joseph Sylvester