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1、第第3 3章章 二自由度机械系统动力学二自由度机械系统动力学1第第3章章 二自由度机械系统动力学二自由度机械系统动力学本章内容本章内容v3.1 引言引言力学的发展过程力学的发展过程v3.2 自由度与广义坐标自由度与广义坐标v3.3 虚位移原理与广义力虚位移原理与广义力v3.4 拉格朗日方程（重点）拉格朗日方程（重点）v3.5 二自由度机械系统动力学方程二自由度机械系统动力学方程v3.6 二自由度机械手动力学问题二自由度机械手动力学问题2前一章主要内容：前一章主要内容：1 单自由度系统等效力学模型单自由度系统等效力学模型32 数值解法数值解法一般情况下都是非线性的。一般情况下都是非线性的。常用四
2、阶龙格常用四阶龙格-库塔法。库塔法。43.1 引言引言力学的发展过程力学的发展过程在有些情况下，需要应用二自由度或更多自在有些情况下，需要应用二自由度或更多自由度的机械系统，如差动轮系、倒立摆（由度的机械系统，如差动轮系、倒立摆（2自由自由度）、机器手等装置（多自由度）。度）、机器手等装置（多自由度）。5678本章采用的方法：拉格郎日方程（重点）本章采用的方法：拉格郎日方程（重点）二自由度机械系统动力学不采用等效二自由度机械系统动力学不采用等效力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建模。模。在学习拉格郎日方程之前，必须掌握在学习拉格郎日方程之前，必须掌握一些重要
3、的概念，如广义坐标、广义力、一些重要的概念，如广义坐标、广义力、虚位移等。首先了解一些科学史观，培养虚位移等。首先了解一些科学史观，培养科学精神。科学精神。93.2 自由度与广义坐标自由度与广义坐标v广义坐标：广义坐标：能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义坐标。坐标。v自由度（自由度（DOF)：能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫自由度。自由度。一般情况下广义坐标数量等于自由度数。一般情况下广义坐标数量等于自由度数。10广义坐标广义坐标11设系统广义坐标为：设系统广义坐标为：则任一点位置矢量则任一点位置矢量可表示为
4、：可表示为：也可以写成投影形也可以写成投影形式：式：（3-1）12将位置矢量对时间求导，即可得到质点将位置矢量对时间求导，即可得到质点的速度表达式：的速度表达式：其中，其中，叫广义速度。叫广义速度。（3-2）13对单摆系统，有：对单摆系统，有：对双摆系统，有：对双摆系统，有：14关于约束关于约束对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。如单摆的约束方程为：如单摆的约束方程为：球摆的约束方程为：球摆的约束方程为：15约束分类：约束分类：1 几何约束与速度约束几何约束与速度约束 约束方程中只含有质点的坐标而不含有质点的速度时约束方程中只含有质点的坐标而不含有质
5、点的速度时为几何约束；约束方程中含有质点的速度时为速度约束。为几何约束；约束方程中含有质点的速度时为速度约束。2 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束 约束方程中不含时间约束方程中不含时间t时为定常约束；约束方程中含时为定常约束；约束方程中含有时间有时间t时为非定常约束。时为非定常约束。16另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情本课程
6、只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。况。17非完整约束非完整约束(Nonholonomic constraint)为：含有速度的为：含有速度的约束且约束方程不可积分。约束且约束方程不可积分。本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。183.3 虚位移原理与广义力虚位移原理与广义力3.3.1 虚位移原理虚位移原理在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即（3-3）19也可以写成分解形式，即也可以写成分解形式
7、，即（3-4）20说明：说明：（1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条的条件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时间冻结。间冻结。（2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移原理也叫虚功原理。原理也叫虚功原理。（3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所以约束力不在方程中出现。以约束力不在方程中出现。213.3.2 虚位移原理的广义坐标形式虚位移原理的广义坐标形式求变
8、分得求变分得代入虚功代入虚功方程方程（3-5）（3-1）（3-3）22得：得：23另外，另外，叫广义力。叫广义力。（3-6）24则有：则有：（3-7）25由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移是任意的，所以有是任意的，所以有即，在理想约束下，系统平衡的充分必要即，在理想约束下，系统平衡的充分必要条件是所有的广义力为零。条件是所有的广义力为零。263.3.3 广义力计算广义力计算27282930313233343536问题：如果在肘关节处加一控制电机，其力矩为问题：如果在肘关节处加一控制电机，其力矩为T，则情况如，则情况如何？何？373.4 拉格朗日方程（第二类
9、）拉格朗日方程（第二类）383940414243用拉格郎日方程建立系统运动微分方程的步骤可简述如用拉格郎日方程建立系统运动微分方程的步骤可简述如下：下：（1）确定系统自由度数，选取广义坐标；）确定系统自由度数，选取广义坐标；（2）计算系统动能）计算系统动能E;（3）计算系统的广义力）计算系统的广义力Q；（4）将动能和广义力代入拉格郎日方程，得系统运动）将动能和广义力代入拉格郎日方程，得系统运动微分方程；微分方程；（5）求解方程。）求解方程。4445464748494）代入拉格朗日方程）代入拉格朗日方程5051525354例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。5
10、556作业作业3：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。57例：拉格朗日方程的应用。例：拉格朗日方程的应用。58广义力为广义力为5960整理可得：整理可得：6162636465例：证明，对于单自由度机械系统，拉格朗例：证明，对于单自由度机械系统，拉格朗日方程与等效力学模型是统一的日方程与等效力学模型是统一的。证明：证明：666768693.5 二自由度机械系统动力学方程二自由度机械系统动力学方程70713.5.1 系统动能的确定系统动能的确定72737475767778793.5.2 广义力的确定广义力的确定803.5.3 运动微分方程运动微分方程81823.5.4 运动微分方程的求解运动微分方程的求解8384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124施加控制力：施加控制力：1251263.6 二自由度机械手动力学问题二自由度机械手动力学问题127128129130131132133134135136137138139140141142本章总结v了解牛顿力学的不足；v掌握广义坐标和广义力的计算方法；v掌握拉格郎日方程的建立方法；v简单的力学应用。143144