理论力学第十一章.ppt

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1、授课教师信息赵刚 教授、博导电子科学与技术系（23系）中国科学技术大学办公室：电四楼317室电话：3600312/182-5692-9838实验室主页：http:/ 动量矩定理 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程引言 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运

2、动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。1 质点的动量矩 质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量。11.1 质点和质点系的动量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r 质点动量 mv 在 oxy 平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/

3、s。质点的动量矩MO(mv)zMz(mv)质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。质点系的动量矩2 质点系的动量矩LO=MO(mivi)质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。LZ=Mz(mivi)质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等于质点系对 该轴的动量矩。LOz=Lz3 平动刚体的动量矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。刚体的动量矩4 定轴转动刚体的动量矩令 Jzmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量,于是得即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。例1 均

4、质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：LO的转向沿逆时针方向。质点系的动量矩11.2.1 质点的动量矩定理 设质点Q对定定点点O的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F)，如图所示。11.2 动量矩定理xyzOMO(mv)mvrMO(F)F将动量矩对时间取一次导数，得 质点的动量矩定理因为所以又因为所以xyzOMO(mv)mvrMO(F)F质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴

5、的动量矩的关系代入，得质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。质点的动量矩定理例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v，摆的偏角为j，则 式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标j 的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。质点的动量矩定理MyxNvmg由即这就是单摆的运动微分方程。当 j 很小时摆作微摆动，sin j j，于是上式变为此微分方程的解为其中A和为积分常数

6、，取决于初始条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为显然，周期只与 l 有关，而与初始条件无关。得 设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)和内力Fi(i)。由质点的动量矩定理有这样的方程共有n个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项 质点系的动量矩定理上式左端为于是得 质点系的动量矩定理质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。在应用质点系的动量矩定理时，取投影式质 点系 对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。质点系的动量矩定理1.质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律如

7、果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。动量矩守恒定理当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。2.质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则质点系对轴O的动量矩LO：由 ，有动量矩定理MOm2gNvm1gFOxFOy因 ,于是解得若Mm2gR sin

8、，则 a0，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。全一致。动量矩定理例例4 水水平平杆杆AB长长2a，可可绕绕铅铅垂垂轴轴 z 转转动动，其其两两端端各各用用铰铰链链与与长长为为l的的杆杆AC及及BD相相连连，杆杆端端各各联联结结质质量量为为m的的小小球球C和和D。起起初初两两小小球球用用细细线线相相连连，使使杆杆AC与与BD均均为为铅铅垂垂，这这系系统统绕绕 z 轴轴的的角角速速度度为为w w0 0。如如某某时时此此细细线线拉拉断断，杆杆AC

9、和和BD各与铅垂线成各与铅垂线成a a 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度w w。解解：以以系系统统为为研研究究对对象象，系系统统所所受受的的外外力力有有小小球球的的重重力力和和轴轴承承处处的的约约束束力力，这这些些力力对对转转轴轴之之矩矩都都等等于于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即显然，此时的角速度显然，此时的角速度w ww w 0。解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象例例5 均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量为质量为m，圆轮对圆轮对转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物。圆轮在重物P带动下带动下绕

10、固定轴绕固定轴O转动，已知重物重量为转动，已知重物重量为W。求重求重物下落的加速度。物下落的加速度。应用动量矩定理应用动量矩定理O OPWWv vm mg gF FOxOxF FOyOy例例6 水流通过固定导流叶片进入水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为叶轮，入口和出口的流速分别为v1和和v2，二者与叶轮外周边和内二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为周边切线之间的夹角分别为1和和 2，水的体积流量为，水的体积流量为qV、密度为密度为，水流入口和出口处叶轮的半水流入口和出口处叶轮的半径分别为径分别为r1和和r2，叶轮水平放置。叶轮水平放置。求水流对叶轮的驱动力矩。求水流对

11、叶轮的驱动力矩。解：在解：在 d t 时间间隔内，水由时间间隔内，水由ABCD段运动到段运动到abcd时，所受时，所受的力以及他们对的力以及他们对O轴之矩：轴之矩：重力重力 由于水轮机水平放由于水轮机水平放置，重力置，重力对对O轴之矩等于轴之矩等于0；相邻水流的压力相邻水流的压力 忽略不忽略不计；计；叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩 与与水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。相等，方向相反。abcdabcd应用动量矩定理应用动量矩定理MMz z例例7 一一绳绳跨跨过过定定滑滑轮轮，其其一一端端吊吊有有质质量量为为 m 的的重重物物A，另另一一端端有有一一质质量量为为m

12、的的人人以以速速度度u 相相对对细细绳绳向向上上爬爬。若若滑滑轮轮半半径径为为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。解：以系统为研究对象，受力如图。设重物设重物A上升的速度为上升的速度为v，则人的绝对速度，则人的绝对速度va的大小为的大小为由于由于S SMO(F(e)0，且系统初始静止，所以，且系统初始静止，所以LO0。由由上上可可知知，人人与与重重物物A具具有有相相同同的的的的速速度度，此此速速度度等等于于人人相相对对绳绳的的速速度度的的一一半半。如如果果开开始始时时，人人与与重重物物A位位于于同同一一高高度度

13、，则则不不论论人人以以多多大大的的相相对对速速度度爬爬绳绳，人人与与重重物物A将始终保持相同的高度。将始终保持相同的高度。uvavevmgmguAOFOxFOy 设刚体绕定轴 z 以角速度 转动，则刚体对z轴的动量矩为 Lz Jz。11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程xyzFN1FN2FnF1F2刚体受到主动力和轴承的约束力，如不计摩擦，则由质点系动量矩定理得或11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。例6 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和

14、F2。求滑轮的角加速度。解：由刚体定轴转动的微分方程于是得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2OR定轴转动的转动微分方程例7 图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微小摆动的周期。解：设j 角以逆时针方向为正。当j 角为正时，重力对O点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有当微摆动时，有 sin j j，故方程写为此方程通解为j 0为角振幅，为初相位。它们均由初始条件确定。摆动周期为mg这就表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于 O点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出

15、此物体对于O轴的转动惯量。例8 如图，飞轮对转轴的转动惯量为J，以初角速度0绕水平轴转动，其阻力矩 M(为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转?解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有M0将（1）式变换，有将上式求定积分，得定轴转动的转动微分方程将(1)式改写为即将上式求定积分，得转过的角度为因此转过的转数例9 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有由运动学关系，得注意到，

16、联立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2FtFnMOFOxFOy yW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：解除约束前：F FOxOx=0 0,F FOyOy=mgmg/2/2突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时：FOx=？,FOy=？例题例题 10 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题 突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，杆杆OA将绕将绕O轴转动，轴转动，不再是静力学问题。不再是静力学问题。这时，这时，0，0。需要先求出需要先求出，再确定再确定约束力。约束力。应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程应用质心运动定理应用质心运动定理

17、O OF FOxOxF FOyOyWW=m mg g 由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式 由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是:kgm2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。11.4 刚体对轴的转动惯量 1.均质细杆11.4.1 简单形状物体的转动惯量z1dxxxCzdxxxOl 设均质细杆长 l，质量为m，取微段 dx,则 2.均质薄圆环

18、对于中心轴的转动惯量设细圆环的质量为m，半径为R。则3.均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm 2prdr,m/pR2,于是圆板转动惯量为11.4.1 简单形状物体的转动惯量 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为 回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。11.4.2 回转半径(惯性半径)定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴

19、的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即证明：因11.4.3 平行轴定理y,y1z1zdxmCOzz1xx1r1ryy1x1 由质心坐标公式 由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。当坐标原点取在质心 C 时,yC0,Smiy10,又有Smim,于是得11.4.3 平行轴定理 例例11 如如图图所所示示，已已知知均均质质杆杆的的质质量量为为m，对对 z1 轴轴的的转转动动惯惯量量为为J1，求杆对，求杆对z2 的转动惯量的转动惯量J2。解：由 ，得平行轴定理(1)(2)得zz1z2abC 例例12 均质直角折杆尺寸如图，其质量为均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴，求其对轴O的转动惯量。的转动惯量。解：组合刚体的转动惯量 例例13 如如图图所所示示，质质量量为为m的的均均质质空空心心圆圆柱柱体体外外径径为为R1，内内径径为为R2，求对中心轴，求对中心轴 z 的转动惯量。的转动惯量。解解：空空心心圆圆柱柱可可看看成成由由两两个个实实心心圆圆柱柱体体组组成成，外外圆圆柱柱体体的的转转动动惯惯量量为为J外外，内内圆圆柱柱体体的转动惯量为的转动惯量为J内内取负值，即取负值，即设m1、m2分别为外、内圆柱体的质量，则于是组合刚体的转动惯量 设单位体积的质量为r，则代入前式得注意到p l(R21R22)m,则得组合刚体的转动惯量