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1、有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？3.3.3.3.有有有有些些些些运运运运动动动动用用用用动动动动量量量量矩矩矩矩比比比比用用用用动动动动量量量量更更更更能能能能反映其运动特征。如行星的运动：反映其运动特征。如行星的运动：反映其运动特征。如行星的运动：反映其运动特征。如行星的运动：1.1.1.1.刚刚刚刚体体体体绕绕绕绕过过过过质质质质心心心心的的的的轴轴轴轴转转转转动动动动时时时时 ，可可可可见见见见动动动动量量量量不不不不能能能能表表表表征征征征或度量这种运动。或度量这种
2、运动。或度量这种运动。或度量这种运动。2.2.2.2.动动动动量量量量定定定定理理理理和和和和质质质质心心心心运运运运动动动动定定定定理理理理讨讨讨讨论论论论了了了了外外外外力力力力系系系系的的的的主主主主矢矢矢矢与与与与质质质质点点点点系系系系运运运运动动动动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。开普勒定理：开普勒定理：开普勒定理：开普勒定理：mvmv1 1r r1 1=mv=mv2 2r r2 2 =常量常量常量常
3、量Chapter 11Chapter 11Chapter 11Chapter 11动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理11-1 11-1 11-1 11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩动动动动量量量量矩矩矩矩:质质质质点点点点或或或或质质质质点点点点系系系系动动动动量量量量对对对对某某某某点点点点或或或或某某某某轴轴轴轴的的的的矩矩矩矩，是是是是度度度度量量量量质质质质点点点点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）1 1 1
4、 1质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩仿照力矩的定义：仿照力矩的定义：仿照力矩的定义：仿照力矩的定义：质点对点质点对点质点对点质点对点O OO O的动量矩：的动量矩：的动量矩：的动量矩：矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。大小：大小：大小：大小：MMO O=2=2OAMOAM。单位：。单位：。单位：。单位：kgkg2 2/s=Nms/s=Nms对固定点对固定点对固定点对固定点O O：质点对轴质点对轴质点对轴质点对轴 z z z z 的动量矩：的动量矩：的动量矩：的动量矩：对
5、固定轴对固定轴对固定轴对固定轴z z代数量，由右手螺旋法则确定正负。代数量，由右手螺旋法则确定正负。代数量，由右手螺旋法则确定正负。代数量，由右手螺旋法则确定正负。同同同同力力力力矩矩矩矩关关关关系系系系式式式式一一一一样样样样：动动动动量量量量对对对对一一一一点点点点的的的的矩矩矩矩在在在在过过过过该该该该点点点点的的的的任任任任一一一一轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影等等等等于于于于动量对该轴的矩，即：动量对该轴的矩，即：动量对该轴的矩，即：动量对该轴的矩，即：2 2 2 2质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质系对点质系对点质系对点质系对点O O动量矩：动量矩
6、：动量矩：动量矩：质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和：质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和：质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和：质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和：质系对轴质系对轴质系对轴质系对轴z z 动量矩：动量矩：动量矩：动量矩：质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和：质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和：质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和：质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和：并且有：并且有：并且有：并且有：注注注注意意意意：（a a）计计计计算算算算质质质质点点点点系系系系对对对对某某某某点点点点（或或或或轴轴轴轴）的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩，并并并并不不不不意意意意味着
7、质点系就绕该点（或轴）转动。味着质点系就绕该点（或轴）转动。味着质点系就绕该点（或轴）转动。味着质点系就绕该点（或轴）转动。（b b b b）是否有）是否有）是否有）是否有:（c c c c）如如如如果果果果刚刚刚刚体体体体作作作作平平平平动动动动，则则则则可可可可视视视视为为为为一一一一质点，其动量矩与质点动量矩相同。质点，其动量矩与质点动量矩相同。质点，其动量矩与质点动量矩相同。质点，其动量矩与质点动量矩相同。否否！？式式式式中中中中 称称称称为为为为刚刚刚刚体体体体对对对对z z轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量，恒为正。量，恒为正。量，恒为正。量，恒为正。即即即即：定定定定轴轴
8、轴轴转转转转动动动动刚刚刚刚体体体体对对对对转转转转轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体对对对对该该该该轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量与角速度的乘积。量与角速度的乘积。量与角速度的乘积。量与角速度的乘积。3 3 3 3定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩对于任一点对于任一点对于任一点对于任一点MMi i，由于，由于，由于，由于z z轴，且轴，且轴，且轴，且v vi i=r=ri iw w则整个刚体对则整个刚体对则整个刚体对则整个刚体对z z轴的动量矩：轴的动量矩：轴的动量矩：轴的
9、动量矩：11-211-2动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理1 1 1 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质质质质点点点点对对对对任任任任一一一一固固固固定定定定点点点点的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩对对对对时时时时间间间间的的的的导导导导数数数数，等等等等于于于于作作作作用用用用在在在在质质质质点点点点上的力对同一点之矩。这就是上的力对同一点之矩。这就是上的力对同一点之矩。这就是上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。质点对固定点的动量矩定理。质点对固定点的动量矩定理。质点对固定点的动量矩定理。故：故：故：故：将上式在通过固定点将上式在通过固
10、定点将上式在通过固定点将上式在通过固定点O O的三个直角坐标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得:上上上上式式式式称称称称质质质质点点点点对对对对固固固固定定定定轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩定定定定理理理理，也也也也称称称称为为为为质质质质点点点点动动动动量量量量矩矩矩矩定定定定理理理理的的的的投投投投影影影影形形形形式式式式。即即即即质质质质点点点点对对对对任任任任一一一一固固固固定定定定轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩对对对对时时时时间间间间的的的的导导导导数数数数，等等等等于于于于作用在质点上的力对同一轴之矩。作用
11、在质点上的力对同一轴之矩。作用在质点上的力对同一轴之矩。作用在质点上的力对同一轴之矩。质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒例如：例如：例如：例如：（1 1 1 1）质质质质点点点点受受受受有有有有心心心心力力力力作作作作用用用用（作作作作用用用用线线线线始始始始终终终终通通通通过过过过某某某某固固固固定定定定点点点点的的的的力力力力称称称称为为为为有有有有心心心心力力力力，此此此此点点点点称称称称为为为为力力力力心心心心），力力力力对对对对力力力力心心心心的的的的矩矩矩矩始始始始终终终终等等等等于于于于零零零零，则则则则力力力力对力心的动量矩守恒：对力心的动量矩守恒
12、：对力心的动量矩守恒：对力心的动量矩守恒：如如如如：行行行行星星星星的的的的运运运运动动动动，行行行行星星星星所所所所受受受受到到到到的力始终指向太阳。的力始终指向太阳。的力始终指向太阳。的力始终指向太阳。（2 2 2 2）小球绕固定轴转动）小球绕固定轴转动）小球绕固定轴转动）小球绕固定轴转动r，v；r，v。质质质质点点点点系系系系对对对对任任任任一一一一固固固固定定定定点点点点的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩对对对对时时时时间间间间的的的的导导导导数数数数，等等等等于于于于作作作作用用用用在在在在质质质质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（
13、外力系的主矩）。点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。2.2.2.2.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序左边交换求和与导数运算的顺序左边交换求和与导数运算的顺序左边交换求和与导数运算的顺序质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理对质点系有对质点系有对质点系有对质点系有:对质点对质点对质点对质点MMi i：将上式在通过固定点将上式在通过固定点将上式在通过固定点将上式在通过固定点O O的三个直角坐标轴上的三个直角坐标轴上的三个直角坐标轴
14、上的三个直角坐标轴上投影投影投影投影，得，得，得，得上上上上式式式式称称称称为为为为质质质质点点点点系系系系对对对对固固固固定定定定轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩定定定定理理理理。即即即即质质质质点点点点系系系系对对对对任任任任一一一一固固固固定定定定轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩对对对对时时时时间间间间的的的的导导导导数数数数，等等等等于于于于作作作作用用用用在在在在质质质质点点点点系系系系上上上上所所所所有有有有外外外外力力力力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主
15、矩）。对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。定定定定理理理理说说说说明明明明内内内内力力力力不不不不会会会会改改改改变变变变质质质质点点点点系系系系的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩，只只只只有有有有外外外外力力力力才才才才能能能能改改改改变变变变质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒（1 1 1 1）当）当）当）当 时，常矢量。时，常矢
16、量。时，常矢量。时，常矢量。（2 2 2 2）当）当）当）当 时，常量。时，常量。时，常量。时，常量。讨论讨论讨论讨论:对对对对定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动刚刚刚刚体体体体，若若若若 ,则则则则 常常常常量量量量，即即即即w w=常量，匀速转动。常量，匀速转动。常量，匀速转动。常量，匀速转动。对定轴转动的可变质点系，对定轴转动的可变质点系，对定轴转动的可变质点系，对定轴转动的可变质点系，则，则，则，则常量，常量，常量，常量，J Jz z 则则则则w w，J Jz z 则则则则w w 。Example11-1Example11-1已知：已知：已知：已知：,小车不计摩擦小车不计摩擦小车不计摩擦
17、小车不计摩擦.求求求求:小车的加速度小车的加速度小车的加速度小车的加速度.解解解解:由由由由,，得得得得卷扬机卷扬机卷扬机卷扬机Example12-2Example12-2：已知：已知：已知：已知,不计摩擦不计摩擦不计摩擦不计摩擦.求求求求:（1 1）（2 2）O O处约束力处约束力处约束力处约束力（3 3）绳索张力）绳索张力）绳索张力）绳索张力，由由由由,得得得得解：解：解：解：(1)(1)由质系动量矩定理由质系动量矩定理由质系动量矩定理由质系动量矩定理（3 3）研究）研究）研究）研究（4 4）研究）研究）研究）研究（2 2）由质心运动定理）由质心运动定理）由质心运动定理）由质心运动定理求：
18、剪断绳后求：剪断绳后求：剪断绳后求：剪断绳后,角时的角时的角时的角时的.Example11-3Example11-3：两小球质量皆为：两小球质量皆为：两小球质量皆为：两小球质量皆为,初始角速度初始角速度初始角速度初始角速度时时时时,时时时时,由由由由,得得得得解：解：解：解：ExampleExample11-411-4水水水水轮轮轮轮机机机机转转转转轮轮轮轮绕绕绕绕铅铅铅铅直直直直轴轴轴轴转转转转动动动动，进进进进口口口口水水水水速速速速度度度度 ,出出出出口口口口水水水水速速速速度度度度 ,它它它它们们们们与与与与切切切切线线线线夹夹夹夹角角角角分分分分别别别别为为为为 1 1、2 2,水水
19、水水体体体体积积积积流流流流量量量量Q Q。求水流对转轮的转动力矩。求水流对转轮的转动力矩。求水流对转轮的转动力矩。求水流对转轮的转动力矩。设叶片数为设叶片数为设叶片数为设叶片数为n n,水密度为水密度为水密度为水密度为,有有有有经经经经d dt t 时间时间时间时间,水由水由水由水由ABCDABCD流到流到流到流到 abcd abcd，动量矩改变为：，动量矩改变为：，动量矩改变为：，动量矩改变为：解：以两叶片间的水流解：以两叶片间的水流解：以两叶片间的水流解：以两叶片间的水流ABCDABCD为研究对象：为研究对象：为研究对象：为研究对象：此为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。此
20、为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。此为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。此为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。刚刚刚刚体体体体对对对对转转转转动动动动轴轴轴轴的的的的动动动动量量量量矩矩矩矩等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体对对对对该该该该轴轴轴轴的的的的转动惯量与角速度的乘积转动惯量与角速度的乘积转动惯量与角速度的乘积转动惯量与角速度的乘积。设设设设刚刚刚刚体体体体在在在在外外外外力力力力作作作作用用用用下下下下绕绕绕绕轴轴轴轴转转转转动动动动，角角角角速速速速度度度度 ，角角角角加加加加速速速速度度度度。令令令令 z z 轴轴轴轴与与与与转转转转轴
21、轴轴轴重重重重合合合合，刚刚刚刚体对体对体对体对 z z 轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为 应用质系对应用质系对应用质系对应用质系对z z轴的动量矩方程，得：轴的动量矩方程，得：轴的动量矩方程，得：轴的动量矩方程，得：11-3 11-3 11-3 11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程此式称为此式称为此式称为此式称为刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程外外外外力力力力矩矩矩矩MMz z越越越越大大大大，刚刚刚刚体体体体转转转转动动动动的的的的角角角角加
22、加加加速速速速度度度度也也也也越越越越大大大大。当当当当MMz z=0=0时时时时，角加速度角加速度角加速度角加速度=0=0，刚体作匀速转动或保持静止。，刚体作匀速转动或保持静止。，刚体作匀速转动或保持静止。，刚体作匀速转动或保持静止。在在在在同同同同样样样样的的的的外外外外力力力力矩矩矩矩作作作作用用用用下下下下，刚刚刚刚体体体体的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量J Jz z越越越越大大大大，角角角角加加加加速速速速度度度度 越越越越小小小小。J Jz z反反反反映映映映了了了了刚刚刚刚体体体体保保保保持持持持其其其其匀匀匀匀速速速速转转转转动动动动状状状状态态态态能能能能力力力力的的
23、的的大大大大小小小小，转转转转动惯量是刚体转动时的惯性度量。动惯量是刚体转动时的惯性度量。动惯量是刚体转动时的惯性度量。动惯量是刚体转动时的惯性度量。刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解决两类问题：解决两类问题：解决两类问题：解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已已已已知知知知刚刚刚刚体体体体的的的的转转转转动动动动规规规规律律律律，求求求求作作作作用用用用于于于于刚刚刚刚体体体体的的的的外外外外力力力力
24、（矩矩矩矩）。但但但但不不不不能能能能求求求求出出出出轴轴轴轴承承承承处处处处的的的的约约约约束束束束反反反反力力力力，需需需需用用用用质质质质心心心心运运运运动动动动定定定定理理理理或或或或动动动动量量量量定定定定理理理理求解。求解。求解。求解。求微小摆动的周期求微小摆动的周期求微小摆动的周期求微小摆动的周期.Example11-5Example11-5 物理摆（复摆），已知物理摆（复摆），已知物理摆（复摆），已知物理摆（复摆），已知.解：解：解：解：微小摆动时，微小摆动时，微小摆动时，微小摆动时，即：即：即：即：通解为通解为通解为通解为称称称称角振幅角振幅角振幅角振幅，称称称称初相位初相位
25、初相位初相位，由初始条件确定，由初始条件确定，由初始条件确定，由初始条件确定.周期周期周期周期ExampleExample11-611-6 卷卷卷卷扬扬扬扬机机机机的的的的传传传传动动动动轮轮轮轮系系系系如如如如图图图图，设设设设轴轴轴轴I I和和和和 各各各各自自自自转转转转动动动动部部部部分分分分对对对对其其其其轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量分分分分别别别别为为为为J J1 1和和和和J J2 2，轴轴轴轴I I的的的的齿齿齿齿轮轮轮轮C C上上上上受受受受主主主主动动动动力力力力矩矩矩矩MM的的的的作作作作用用用用，卷卷卷卷筒筒筒筒提提提提升升升升的的的的重重重重 。齿
26、齿齿齿轮轮轮轮 A A、B B 的的的的节节节节园园园园半半半半径径径径为为为为 ，两两两两轮轮轮轮角角角角速速速速度度度度之之之之比比比比 。卷卷卷卷筒筒筒筒半半半半径径径径为为为为 R R，不计轴承摩擦及绳的质量。，不计轴承摩擦及绳的质量。，不计轴承摩擦及绳的质量。，不计轴承摩擦及绳的质量。求重物的加速度求重物的加速度求重物的加速度求重物的加速度。解解解解：本本本本题题题题二二二二根根根根固固固固定定定定轴轴轴轴必必必必须须须须拆拆拆拆开开开开，分分分分别别别别以以以以两两两两轴轴轴轴及及及及与与与与其其其其固固固固连连连连的的的的齿齿齿齿轮轮轮轮为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。
27、轴轴轴轴I I除除除除受受受受主主主主动动动动力力力力矩矩矩矩MM和和和和重重重重力力力力、轴轴轴轴承承承承约约约约束束束束力力力力外外外外，还还还还受受受受有有有有齿齿齿齿轮轮轮轮力力力力F Ft t及及及及F Fn n，现现现现假假假假设设设设 1 1与与与与MM的的的的方方方方向向向向相相相相同同同同如如如如图图图图。为为为为使使使使方方方方程程程程正正正正负负负负号号号号简简简简单单单单，一一一一般般般般约约约约定定定定以以以以角角角角加加加加速速速速度度度度的的的的转转转转向向向向为为为为正正正正，于于于于是是是是轴轴轴轴 I I的的的的转转转转动方程为动方程为动方程为动方程为 再再
28、再再以以以以轴轴轴轴 和和和和重重重重物物物物WW为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象，画画画画出出出出其其其其受受受受力力力力图图图图。按按按按运运运运动动动动学学学学关关关关系系系系画画画画出出出出 2 2 (1 1反反反反向向向向)，以以以以 2 2转转转转向向向向为为为为正，应用质点系的动量矩定理：正，应用质点系的动量矩定理：正，应用质点系的动量矩定理：正，应用质点系的动量矩定理：式中有三个未知量式中有三个未知量式中有三个未知量式中有三个未知量 1 1、2 2和和和和F Ft t，还需建立补充方程。由运动学还需建立补充方程。由运动学还需建立补充方程。由运动学还需建立补充方程。由运动
29、学重物上升的加速度重物上升的加速度重物上升的加速度重物上升的加速度联立解得联立解得联立解得联立解得ExampleExample11-711-7两两两两根根根根质质质质量量量量各各各各为为为为8kg8kg的的的的均均均均质质质质细细细细杆杆杆杆固固固固连连连连成成成成T T字字字字型型型型，可可可可绕绕绕绕通通通通过过过过O O点点点点的的的的水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动，J Jo o=17=17mlml2 2/12./12.当当当当OAOA处处处处于于于于水水水水平平平平位位位位置置置置时时时时,T T形形形形杆具有角速度杆具有角速度杆具有角速度杆具有角速度 =4rad/s=4ra
30、d/s。求。求。求。求该瞬时轴承该瞬时轴承该瞬时轴承该瞬时轴承O O的反力。的反力。的反力。的反力。解：选解：选解：选解：选T T 字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。受力分析如图示。受力分析如图示。受力分析如图示。受力分析如图示。由刚体定轴转动微分方程由刚体定轴转动微分方程由刚体定轴转动微分方程由刚体定轴转动微分方程根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得其中：其中：其中：其中：11-4 11-4 11-4 11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量转动惯量的概
31、念转动惯量的概念转动惯量的概念转动惯量的概念1.1.1.1.定定定定义义义义：刚刚刚刚体体体体内内内内各各各各质质质质点点点点的的的的质质质质量量量量与与与与各各各各质质质质点点点点到到到到某某某某轴轴轴轴距距距距离离离离平平平平方方方方的的的的乘乘乘乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量与与与与刚刚刚刚体体体体的的的的质质质质量量量量和和和和质质质质量量量量分分分分布布布布情情情情况况况况以以以以及及及及点点点点（或或或或轴轴轴轴）的的的的位置有关；位置
32、有关；位置有关；位置有关；恒为正标量；单位：恒为正标量；单位：恒为正标量；单位：恒为正标量；单位：kgmkgm2 22.2.2.2.物理意义物理意义物理意义物理意义：刚体转动时惯性的度量。刚体转动时惯性的度量。刚体转动时惯性的度量。刚体转动时惯性的度量。对于质量是连续分布的刚体，则对于质量是连续分布的刚体，则对于质量是连续分布的刚体，则对于质量是连续分布的刚体，则3.3.3.3.回转半径回转半径回转半径回转半径由由由由 所所所所定定定定义义义义的的的的长长长长度度度度 z z 称称称称为为为为刚刚刚刚体体体体对对对对 z z 轴轴轴轴的的的的回回回回转转转转半半半半径径径径或或或或惯惯惯惯性半
33、径。性半径。性半径。性半径。若已知若已知若已知若已知 z z，则刚体的转动惯量为：则刚体的转动惯量为：则刚体的转动惯量为：则刚体的转动惯量为：注注注注意意意意：z z 不不不不是是是是刚刚刚刚体体体体某某某某一一一一部部部部分分分分的的的的具具具具体体体体尺尺尺尺寸寸寸寸，而而而而是是是是这这这这样样样样一一一一个个个个当当当当量量量量长长长长度度度度：假假假假象象象象地地地地将将将将刚刚刚刚体体体体的的的的质质质质量量量量集集集集中中中中在在在在一一一一个个个个点点点点上上上上，如如如如果果果果这这这这个个个个点点点点对对对对某某某某轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量等等等等于
34、于于于这这这这个个个个刚刚刚刚体体体体对对对对该该该该轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量，则则则则这这这这个个个个点点点点到到到到该该该该轴轴轴轴的的的的距距距距离离离离就是这个刚体对该轴的回转半径。就是这个刚体对该轴的回转半径。就是这个刚体对该轴的回转半径。就是这个刚体对该轴的回转半径。z z为长度量纲为长度量纲为长度量纲为长度量纲。计算转动惯量的一般公式计算转动惯量的一般公式计算转动惯量的一般公式计算转动惯量的一般公式取直角坐标系取直角坐标系取直角坐标系取直角坐标系OxyzOxyz，设刚体上任一点，设刚体上任一点，设刚体上任一点，设刚体上任一点MMi i：mmi i，（，（，
35、（，（x xi i，y yi i，z zi i），则由定义：），则由定义：），则由定义：），则由定义：即即即即：刚刚刚刚体体体体对对对对点点点点的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体对对对对通通通通过过过过该该该该点点点点的的的的三三三三个个个个垂垂垂垂直直直直轴轴轴轴的转动惯量之和的一半。的转动惯量之和的一半。的转动惯量之和的一半。的转动惯量之和的一半。对于对于对于对于平面薄板平面薄板平面薄板平面薄板：z zi i=0=0即即即即：平平平平面面面面薄薄薄薄板板板板对对对对点点点点的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量等等等等于于于于板板板板对对对对通通通通
36、过过过过该该该该点点点点并并并并在在在在薄薄薄薄板板板板内内内内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。对简单形状的均质刚体，用积分法对简单形状的均质刚体，用积分法对简单形状的均质刚体，用积分法对简单形状的均质刚体，用积分法如：如：如：如：匀质细直杆长为匀质细直杆长为匀质细直杆长为匀质细直杆长为l l,质量为质量为质量为质量为MM。求：。求：。求：。求：对对对对z z轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量。转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量的计算2.2.2.2.对对对对于于
37、于于可可可可分分分分为为为为几几几几个个个个简简简简单单单单形形形形状状状状的的的的均均均均质质质质刚刚刚刚体体体体，先先先先求求求求出出出出各各各各部部部部分分分分对对对对指指指指定轴（或点）的转动惯量再求总和定轴（或点）的转动惯量再求总和定轴（或点）的转动惯量再求总和定轴（或点）的转动惯量再求总和组合法。组合法。组合法。组合法。3.3.3.3.对对对对于于于于形形形形状状状状复复复复杂杂杂杂或或或或非非非非均均均均质质质质刚刚刚刚体体体体，可可可可用用用用实实实实验验验验方方方方法法法法求求求求转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量：扭摆法、复摆法。扭摆法、复摆法。扭摆法、复摆法。扭摆法、复摆法
38、。要求记住三个简单几何体转动惯量：要求记住三个简单几何体转动惯量：要求记住三个简单几何体转动惯量：要求记住三个简单几何体转动惯量：（1 1 1 1）均质圆盘对盘心轴的转动惯量均质圆盘对盘心轴的转动惯量均质圆盘对盘心轴的转动惯量均质圆盘对盘心轴的转动惯量（3 3 3 3）均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对中心轴的转动惯量均质细直杆对中心轴的转动惯量均质细直杆对中心轴的转动惯量均质细直杆对中心轴的转动惯量（2 2 2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量均质薄圆环对中心轴的转动惯量均质薄圆环对中心轴的转动惯量均质薄圆环对
39、中心轴的转动惯量平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。刚刚刚刚体体体体对对对对某某某某轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量等等等等于于于于刚刚刚刚体体体体对对对对通通通通过过过过质质质质心心心心且且且且与与与与该该该该轴轴轴轴平平平平行行行行的的的的轴轴轴轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的
40、平方之乘积。的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。任一轴：任一轴：任一轴：任一轴：z/zz/z质心轴质心轴质心轴质心轴两轴距离两轴距离两轴距离两轴距离解：解：解：解：ExampleExample11-811-8 图图图图示示示示复复复复摆摆摆摆，已已已已知知知知均均均均质质质质细细细细杆杆杆杆：mm，l l；有有有有孔孔孔孔圆圆圆圆盘盘盘盘：MM，R R，r r，求求求求摆摆摆摆对对对对过过过过O O点点点点且且且且垂垂垂垂直直直直于于于于图图图图面面面面的的的的轴的转动惯量。轴的转动惯量。轴的转动惯量。轴的转动惯量。其中，盘的质量：其中，盘的质量：其中，盘的质量：其中，盘的质量：孔的质量：孔的质量：孔的质量：孔的质量：Example11-9Example11-9：求对求对求对求对 轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量.实验法实验法实验法实验法 将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴O O上，作微幅摆动上，作微幅摆动上，作微幅摆动上，作微幅摆动.由由由由其中其中其中其中已知已知已知已知,可测得，从而求得可测得，从而求得可测得，从而求得可测得，从而求得.解：解：解：解：