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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第1页，共28页，编辑于2022年，星期三5.1 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev,俄罗斯俄罗斯)不等式不等式 定理定理5.1.1 设随机变量设随机变量X，E(X)=，D(X)=2，则对任意的，则对任意的0，必有，必有或或或等价于或等价于为研究随机现象的统计规律为研究随机现象的统计规律,进行大量重复实验中进行大量重复实验中,当实验次数当实验次数n时时,频频率率fn在某种收在某种收敛敛意意义义下下(依概依概率收率收敛敛)收敛于某一定数收敛于某一定数,这是大数定律所描述的内这是大数定律所描述的内容容.而其概率分布近似于某一分布而其概率分
2、布近似于某一分布(如正态分布如正态分布),这这称为中心极限定理称为中心极限定理.第2页，共28页，编辑于2022年，星期三切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在随机变量给出了在随机变量X的分布未知时，概率的分布未知时，概率P(|X-E(X)|)的一个上限，的一个上限，当当分别取时分别取时2，3，4时，有时，有P(|X-E(X)|2)1/4P(|X-E(X)|3)1/9P(|X-E(X)|4)1/16第3页，共28页，编辑于2022年，星期三证明:以连续型为例.(离散的证明中相应积分号用和号代替).1推论推论:D(X)=0,则则X以概率以概率1为常数，即为常数，即 P(X=C)=1(C=EX)证明
3、:第4页，共28页，编辑于2022年，星期三事件未必互不相容,但是成立的第5页，共28页，编辑于2022年，星期三例例5.1已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X的平均值为的平均值为1元，标准差为元，标准差为0.1元，求元，求a，使股价超过，使股价超过1+a元或低于元或低于1-a元的概率小于元的概率小于10%。解解 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式令令第6页，共28页，编辑于2022年，星期三5.2 大数定律大数定律 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn，若存在随机变量，若存在随机变量Y，使得，使得对于任意正数对于任意正数，均有，均有则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛依
4、概率收敛于随机变量于随机变量Y，并记为，并记为一、依概率收敛一、依概率收敛若存在常数若存在常数a，任意的，任意的正数正数 ，使得，使得则称则称随机变量序列随机变量序列Xn依概率收敛于常数依概率收敛于常数a，并记为，并记为第7页，共28页，编辑于2022年，星期三意思是：当意思是：当a而而意思是：意思是：时，时，Xn落在落在内的概率越来越大。内的概率越来越大。,当当与与的区别的区别第8页，共28页，编辑于2022年，星期三二、几个常用的大数定律二、几个常用的大数定律(1).切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，每一个随机相互独立，每一个随机变量
5、都有数学期望变量都有数学期望E(X1),E(X2),E(Xn),和有限的方和有限的方差差D(X1),D(X2),D(Xn),，并且，并且D(Xn)C(i=1,2,)，则任意正数，则任意正数，即即几个随机变量的均值依概率收敛于它的期望第9页，共28页，编辑于2022年，星期三证明证明 因为因为X1,X2,Xn,相互独立，相互独立，由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式可得可得该定理表明：相互独立的随机变量的算数平均值该定理表明：相互独立的随机变量的算数平均值 与数学期望的算数平均值的差在与数学期望的算数平均值的差在n充分大时是一个无穷小量，充分大时是一个无穷小量，这也意味着在这也意味着在n充分大时，经
6、算术平均后得到的随机变量充分大时，经算术平均后得到的随机变量 的的值将比较紧密地聚集在它的数学期望值将比较紧密地聚集在它的数学期望 的附近。的附近。第10页，共28页，编辑于2022年，星期三切比雪夫大数定律的特殊情况切比雪夫大数定律的特殊情况:独立同分布大数定律独立同分布大数定律 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，且具有相同相互独立，且具有相同的数学期望的数学期望和相同的方差和相同的方差2，记前，记前n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均为为Yn，则随机变量序列则随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于依概率收敛于，即，即证明证明切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律第
7、11页，共28页，编辑于2022年，星期三(2).贝努利贝努利大数定律大数定律设进行设进行n次独立重复次独立重复(贝努利贝努利)实验实验,每次试验中事件每次试验中事件A发生的概发生的概率为率为p，记，记nA为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数发生的次数.则则证明（由切比雪夫不等式可直接证明）证明（由切比雪夫不等式可直接证明）即即第12页，共28页，编辑于2022年，星期三例例5.25.2证明:随机变量序列Yn依概率收敛于.要证Yn依概率收敛于,需证:第13页，共28页，编辑于2022年，星期三第14页，共28页，编辑于2022年，星期三(3)辛钦辛钦(Khinchine)大数定律大数定律
8、：设 为独立且同分布的随机变量序列，则：设 是独立且同分布的随机变量序列，如果记且则在时依概率收敛于何值？解：显然 满足Khinchine大数定律且大数定律且故例例5.3第15页，共28页，编辑于2022年，星期三5.3 中心极限定理中心极限定理 前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一切可能分布中前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一切可能分布中占有特殊地位。在客观世界中，我们遇到的许多随机现象都是服从占有特殊地位。在客观世界中，我们遇到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的，为什么大量的随机变量都服从正态分布？或近似服从正态分布的，为什么大量的随机变量都服从正态分布？俄国数学家李
9、亚普诺夫俄国数学家李亚普诺夫()证明了在某些非常一般的证明了在某些非常一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分布的是趋于正态分布的.在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以正态分布为极限的在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理统称为中心极限定理。它反映的随机变量的特点是：对这一类定理统称为中心极限定理。它反映的随机变量的特点是：对随机现象起作用的因素众多，但无突出的因素，诸因素的影响微小随机现象起作用的因素众多，但无突出的因素，诸因素的影响微小而均匀，随机变
10、量而均匀，随机变量可以看作是各微小因素叠加的结果。可以看作是各微小因素叠加的结果。=i i，和和的分布常常是正态的。的分布常常是正态的。我们这里给出的两个最常用的中心极限定理。我们这里给出的两个最常用的中心极限定理。第16页，共28页，编辑于2022年，星期三 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立同分布，且相互独立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=2(2 0)(i=1,2,)，记前，记前n个变量的和的个变量的和的标准化变量为标准化变量为一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg-Levy林德林德贝格贝格-列维列维)则则Yn的分布函数的分布函数Fn(
11、x)对任意的对任意的x(-,+)都有都有 第17页，共28页，编辑于2022年，星期三 该定理说明，当该定理说明，当n充分大时，充分大时，Yn近似地服从标准正态分近似地服从标准正态分布，布，YnN(0,1)，随机变量随机变量近似地服从于正态分布近似地服从于正态分布 中心极限定理可以解释如下：中心极限定理可以解释如下：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的。认为这个随机变量实际上是服从正态分布的。在
12、实际工作中，只要在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布的随机足够大，便可把独立同分布的随机变量之和变量之和当作当作正态变量。正态变量。第18页，共28页，编辑于2022年，星期三例例5.4 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500的概率的概率是多少？是多少？解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数，次掷出的点数，k=1,2,100，则，则X1,X2,X100独立同分布，而且独立同分布，而且由中心极限定理由中心极限定理第19页，共28页，编辑于2022年，星期三二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)在在n重
13、贝努利试验中，每次试验中事件重贝努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1)，记，记Xn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，则对任何发生的次数，则对任何区间区间a,b(ab)，有，有其中其中q=1-p即即XnB(n,p)，则，则此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当n充分大充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。变量的概率计算。第20页，共28页，编辑于2022年，星期三一般地，当一般地，当n较大，而较大，而p较小时较小时证明：
14、将证明：将Xn分解为分解为n个个0-1分布分布Yi之和，之和，YiB(1,p),再用独立同分布中心极限定理即得再用独立同分布中心极限定理即得.计算时常用.泊松分布也可用于近似计算,但要求n很大,p很小,本定理无此要求.第21页，共28页，编辑于2022年，星期三第22页，共28页，编辑于2022年，星期三例例5.5 某车间有某车间有200台机床，它们独立地工作着，设每台机台机床，它们独立地工作着，设每台机器开工率为器开工率为0.6，开工时耗电，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于电才能以不小于99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影的概率保证车间不会
15、因供电不足而影响生产。响生产。解解 设设X为为200台机器中工作着的机器台数，则台机器中工作着的机器台数，则XB(200,0.6)，n=200，p=0.6，np=120，npq=48，近似地有近似地有XN(np,npq)，即，即XN(120,48)设设r是供电所供给电力的最小数是供电所供给电力的最小数(千瓦千瓦)，由题意由题意查表得查表得r=142第23页，共28页，编辑于2022年，星期三例例5.6 在一家保险公司里有在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年个人参加寿命保险，每人每年付付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时
16、其，死亡时其家属可向保险公司领得家属可向保险公司领得1000元，问：元，问：(1)保险公司亏本的概率有保险公司亏本的概率有多大？多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有其他条件不变，为使保险公司一年的利润有99%的概率不的概率不少于少于60000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？第24页，共28页，编辑于2022年，星期三解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p)，其中，其中n=10000，p=0.6%，np=60，npq=59.64设设Y表示保险公司一年的利润，则表示保险公司一年的利润，则 Y=10000 12-1000X于是由中心
17、极限定理于是由中心极限定理(1)P(Y 0)=P(10000 12-1000X 0)=1 P(X 120)1 (7.769)=0;第25页，共28页，编辑于2022年，星期三(2)设赔偿金为设赔偿金为a元，则元，则 P(Y60000)=P(10000 12-aX60000)=P(X60000/a)0.99由中心极限定理，上式等价于由中心极限定理，上式等价于第26页，共28页，编辑于2022年，星期三例例5.7 现有一大批种子，其中良种占现有一大批种子，其中良种占1/6，今从其中任意选，今从其中任意选6000粒，试问在这些种子中，良种占的比例与粒，试问在这些种子中，良种占的比例与1/6之差小于之差小于1%的概率是多少？的概率是多少？解解 选一粒良种看成是一次随机试验，因此选选一粒良种看成是一次随机试验，因此选6000粒种子看作是粒种子看作是6000重伯努里试验，令重伯努里试验，令X表示表示6000粒种子中的良种数，则粒种子中的良种数，则X服服从从n=6000，p=1/6的二项分布，的二项分布，第27页，共28页，编辑于2022年，星期三