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1、2 2 状态方程的解状态方程的解2 2 状态方程的解状态方程的解1 1、相关知识、相关知识2 2、齐次状态方程的解、齐次状态方程的解若为标量微分方程：若为标量微分方程：拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换标量微分方程为矩阵微分方程标量微分方程为矩阵微分方程n=1n=1的特例的特例（1 1）说明）说明称状态转移矩阵，将状态由称状态转移矩阵，将状态由t t0 0时刻的时刻的x(tx(t0 0)转移到转移到t t时刻时刻的的x(t)x(t)状态由状态由t t时刻转移到时刻转移到t t0 0时刻的转移矩阵时刻的转移矩阵（2 2）矩阵指数的性质）矩阵指数的性质设设P P是与是与A A同阶的非奇异矩阵，则
2、有同阶的非奇异矩阵，则有求求eAt的一种的一种方法方法矩阵指数的性质矩阵指数的性质传递性传递性意义：解可以分段求意义：解可以分段求（3 3）几个特殊的状态转移矩阵）几个特殊的状态转移矩阵(可直接使用！可直接使用！)A A为对角阵为对角阵几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵A A为约当块为约当块几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵A A为约当矩阵为约当矩阵几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵A A通过非奇异阵通过非奇异阵P P化为对角形矩阵化为对角形矩阵(4)(4)矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法:直接法直接法(一般不用一般不用)一般用于计算机求解一般用于计算机求解当
3、当A A为特殊矩阵，如幂零阵，可用此法为特殊矩阵，如幂零阵，可用此法底友零阵，实质是特征根为底友零阵，实质是特征根为0 0的约当块的约当块例例已知已知 求求矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法:拉氏变换法拉氏变换法(常用常用)迭迭代代公公式式例例例例矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法:凯莱凯莱-哈密尔顿法哈密尔顿法本质：化本质：化无穷级数无穷级数为为有限项之和有限项之和(1)(1)凯莱凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理(2)(2)化化 为为A A的有限项的有限项(3)(3)的计算的计算1)A特征值互异时特征值互异时求解步骤求解步骤例例2)A有重特征根A有一个重特征根有一个重特征根 为为m重重为单
4、根，为单根，(n-m)个单根个单根例例矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法:特征值与特征向量法特征值与特征向量法任一矩阵任一矩阵A A都可通过非奇异线性变换阵都可通过非奇异线性变换阵P P变成对角形或约当形。变成对角形或约当形。根据线性代数知识，有：根据线性代数知识，有：任意矩阵任意矩阵A A都可化为约当标准形（含对角形）；都可化为约当标准形（含对角形）；A A化对角形化对角形 A A有有n n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；A A化对角形化对角形 A A有有n n个不同的特征值（不同特征值对应特征向量线性无个不同的特征值（不同特征值对应特征向量线性无关，这样就有关，这样就有n n
5、个线性无关特征向量）个线性无关特征向量）特征值特征值对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量A A有有n n个不同特征值个不同特征值例例求求(1)求特征值求特征值(2)(2)求特征向量求特征向量推广推广P不唯一当当A为底友矩阵时，且有为底友矩阵时，且有n个不同特征根个不同特征根A A有重特征值有重特征值线性无关解线性无关解的特征向量的特征向量的广义特征向量的广义特征向量00k-1r+1k-1r+1说明说明 当当A A为底友矩阵时，假设为底友矩阵时，假设 为为3 3重根重根例例求求3 3、非齐次状态方程的解、非齐次状态方程的解零输入解零输入解零状态解零状态解系统两部分的构成说明：非齐次状态
6、方程的响应满足线性系统的叠系统两部分的构成说明：非齐次状态方程的响应满足线性系统的叠加原理。加原理。适当选取适当选取u(t)u(t)可获得系统状态的最佳轨线。可获得系统状态的最佳轨线。例例状态转移矩阵已求出：状态转移矩阵已求出：非齐次状态方程的解为：非齐次状态方程的解为：2 2 状态方程的解状态方程的解1 1、n n阶齐次状态方程阶齐次状态方程解的形式：解的形式：状态转移矩状态转移矩阵阵假设系统有假设系统有n个初始状态个初始状态 线性无关线性无关则与之对应有则与之对应有n个解个解基础解基础解特殊的初始解特殊的初始解结论：结论：是个特殊的基础解，初始状态为单位向量。是个特殊的基础解，初始状态为单
7、位向量。一般不易求，更多用于理论分析。一般不易求，更多用于理论分析。当当 与与 可交换时，有：可交换时，有：与与 有区别，性质比有区别，性质比 少。少。例例2 2、时变系统非齐次状态方程的解、时变系统非齐次状态方程的解齐次方程解为：齐次方程解为：非齐次方程解为：非齐次方程解为：定常非齐次方程解为：定常非齐次方程解为：例例2 2 状态方程的解状态方程的解问题的提出问题的提出分析和设计计算机控制系统时，都要把一个连续系统化为等价的离散系统。分析和设计计算机控制系统时，都要把一个连续系统化为等价的离散系统。基本假设基本假设 采样周期采样周期T T满足满足ShannonShannon采样定理采样定理采
8、样周期为采样周期为T T采用零阶保持器采用零阶保持器线性定常系统离散化线性定常系统离散化 采用计算机控制，且采用零阶保持器，有：采用计算机控制，且采用零阶保持器，有：输出方程是一线性方程，离散化后，在输出方程是一线性方程，离散化后，在kTkT时刻仍保持线性关系时刻仍保持线性关系例：连续系统离散化例：连续系统离散化例：计算机控制系统例：计算机控制系统已知系统如图所示，求系统离散化状态空间表达式已知系统如图所示，求系统离散化状态空间表达式连续时间被控对象传函为连续时间被控对象传函为能控标准形实现能控标准形实现离散化状态方程离散化状态方程离散化离散化被控对象输入被控对象输入u(t)=r(t)-y(t)=r(t)-xu(t)=r(t)-y(t)=r(t)-x1 1(t)(t)，系统的离散化状态方程为，系统的离散化状态方程为系统输出方程为：系统输出方程为：将将T=0.01sT=0.01s代入代入,得：得：本章作业本章作业