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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值第二章第二章 线性系统的时域分析线性系统的时域分析资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值本本 章章 简简 介介 本章针对线性系统的运动为对象进行分析。主要介绍：n连续系统与离散系统的状态空间模型的求解n状态转移矩阵的性质和计算n连续系统状态方程的离散化资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值目目 录录n概
2、述概述n2.1 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解n2.2 状态转移矩阵计算状态转移矩阵计算 n2.3 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化n2.4 线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解n本章小结本章小结资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值概概 述述 建立了系统的数学描述之后，接下来是对系统作定量和定性的分析。q定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。q定性分析主要包括研究系统的结构性质，如能控性
3、、能观性、稳定性等。本章主要工作资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组，通常是很容易的。但时变系统微分方程求解却很困难。n状态转移矩阵的引入，使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。n为此，本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程的求解公式。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n本章讨论的另一个中心问题是连续系统状态方程的离散化
4、，即建立连续系统的离散系统状态方程。n随着计算机在控制系统分析、设计和实时控制中的广泛应用，这个问题显得越来越重要。n在离散系统状态方程建立的基础上，本章也将讨论相应的状态方程求解问题，并将导出在形式上与连续系统状态方程的解一致的离散系统状态方程的解。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n本章需解决的问题：q线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解q状态转移矩阵的基本概念状态转移矩阵的基本概念 q状态转移矩阵状态转移矩阵e eAtAt的性质和计算的性质和计算q如何将线性定常连续系统离散化如何
5、将线性定常连续系统离散化q线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解重点!资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.1 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解n求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。q状态方程求解理论是建立在状态空间上，以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。q而后基于矩阵代数运算的状态方程解理论引入了状态转移矩阵这一基本概念。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分
6、资金就是原有资金的时间价值n本节需解决的主要问题：q齐次状态方程的求解?q状态转移矩阵?q状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质q非齐次状态方程的求解?q非齐次状态方程解的各部分的意义？q输出方程的解？重点!要理解!资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n线性定常齐次状态方程的解。q所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。n研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由运动自由运动。q所谓非齐次状态方程就是指考虑状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具
7、有非齐次性。n研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动强迫运动。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.1.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解n什么是微分方程的齐次方程什么是微分方程的齐次方程?q齐次方程就是指满足解的齐次性齐次性的方程，即若x x是方程的解，则对任意非零的实数a，ax x亦是该方程的解。q所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方自治方程程x x=AxAxq齐次状态方程满足初始状态的解，也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力
8、)时的自由运动。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.级数展开法级数展开法 在求解齐次状态方程式之前，首先观察标量常微分方程 在初始时刻t0=0的解。q该方程中x(t)为标量变量，a为常数。n对上述齐次状态方程，常用的常微分方程求解方法有级数展开法级数展开法和拉氏变换法拉氏变换法 2种。由常微分方程理论知，该方程的解连续可微。因此，该解经泰勒展开可表征为无穷级数，即有式中，bk(k=1，2，.)为待定级数展开系数。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的
9、这部分资金就是原有资金的时间价值令x(t)的解表达式中t=0，可确定b0=x(0)将所设解代入该微分方程，可得如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。因此使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得上述求解标量微分方程的级数展开法可推广至求解向量状态方程的解资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 为此，设其解为t的向量幂级数，即 x(t)=b0+b1t+b2t2+bktk+式中，bk(k=1，2，.)为待定级数展开系数向量。q将所设解代入该向量状态方程x=Ax，可得b1+2b2t+3b3t2+kbktk
10、-1+=A(b0+b1t+b2t2+bktk+)q如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值q若初始时刻t0=0，初始状态x(0)=x0，则可确定q0=x(0)=x0q因此，状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是nn维矩阵函数。记为利用矩阵指数函数符号，齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx0矩阵指数函数资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金
11、就是原有资金的时间价值2拉氏变换法拉氏变换法 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换，那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。n对该齐次状态方程x=Ax，设初始时刻为t0=0,且初始状态x(t)=x0，对方程取拉氏变换，可得sX(s)-x0=AX(s)q于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n基于上述(sI-A)
12、-1的拉氏反变换，该齐次方程的解为x(t)=L-1(sI-A)-1x0=eAt x0q若初始时刻t00，对上述齐次状态方程的解作坐标变换，则可得解的另一种表述形式：q状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移，其转移特性及时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x x(t0)所决定。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n引入能描述系统状态转移特性的状态转移矩阵如下：(t-0)=eA(t-0)q因此，有如下关系式x(t)=(t)x0=(t-
13、t0)x(t0)q由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解，系统状态转移矩阵有如下关系(t)=L-1(sI-A)-1资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值q齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出，系统自由运动的轨线是由从初始时刻的状态到t时刻的状态的转移，如图2-1所示。图2-1 状态转移特性资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值当初始状态给定以后，系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定
14、。所以，状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。可见，状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键！资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值q解（1）首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为n例2-1 试求如下状态方程在初始状态x0下的解资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(3)(3)状态方程的解为(2 2)计算矩阵指数函数eAt。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这
15、部分资金就是原有资金的时间价值2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统的状态转移矩阵n下面进一步讨论状态转移矩阵，主要内容为：q基本定义基本定义q状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质1.基本定义定义2-1 对于线性连续定常系统x=Ax，当初始时刻t0=0时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：(t)=A(t)，(t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x=Ax的状态转移矩阵。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵：1)对角线矩阵对角线矩阵。当
16、A为如下对角线矩阵：A=diag1 2 n则状态转移矩阵为式中，diag表示由括号内元素组成对角线矩阵。当系统矩阵A为nn维方阵时，状态转移矩阵(t)亦为nn维方阵，且其元素为时间t的函数。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(2)2)约旦块矩阵。约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块，则分块矩阵的矩阵指数函数为q上述特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数，可利用矩阵指数函数的展开式证明。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原
17、有资金的时间价值2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质n由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义，可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(t)为方阵A的状态转移矩阵)1)(0)=eA0=I资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2)eA(t+s)=eAteAs，(t+s)=(t)(s)式中t和s为两个独立的标量自变量证明证明 由指数矩阵函数的展开式，有 3)(t2-t1)-1=(t1-t2)资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的
18、时间价值4)对于nn阶的方阵A和B，下式仅当AB=BA时才成立e(A+B)t=eAteBt5)6)(t)n=(nt)7)(t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0)资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n由状态转移矩阵的意义，有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)而x(t2)=(t2-t0)x(t0)因此，性质(7)表明，在系统的状态转移过程中，既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移，也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态
19、转移，如图2-2所示。图图2-2 系统的状态转移系统的状态转移资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n例例2-2 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。n解解：对于该系统，在例2-1已求得状态转移矩阵为 由于-1(-t)=(t)，所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.1.3 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解n当线性定常连续系统具有输入作用时，其状态方程为如下非齐次状态方程：x=Ax+Bu该状
20、态方程在初始状态 下的解，也就是由初始状态由初始状态x x(t t0 0)和输入作用和输入作用u u(t t)所所引起的系统状态的运动轨迹引起的系统状态的运动轨迹。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n下面用两种求解常微分方程的方法q直接求解法直接求解法q拉氏变换法拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解，以及q解表达式的意义解表达式的意义q输出方程的解输出方程的解资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.直接求解法n将状态方程
21、x=Ax+Bu移项，可得x-Ax=Bu将上式两边左乘以e-At，则有e-Atx-Ax=e-AtBu即d(e-Atx)/dt=e-AtBun在区间t0，t内对上式积分，则有资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值上式便是非齐次状态方程的解。q当t0=0时，解x(t)又可记为即因此资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n若用状态转移矩阵来表示，上述非齐次状态方程的解又可分别记为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时
22、间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.拉氏变换法n将该非齐次状态方程两边取拉氏变换，可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)即X(s)=(sI-A)-1x0+BU(s)其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。n对上式两边取拉氏反变换，并利用卷积分公式，则有上述求解的关键为等式右边第二项。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n下面先回顾卷积积分的拉氏变换法则。q设W1(s)和W2(s)分别为原函数f1(t)和f2(t)的拉氏变换，则f1(t)和f2(t
23、)的卷积的拉氏变换为结果与直接求解法完全相同。q对上述状态方程的求解式利用卷积分公式，则有资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值3.状态方程解的意义状态方程解的意义n由前面讨论的非齐次状态方程的解知，线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。q第一个部分是由初始状态所引起的由初始状态所引起的自由运动自由运动，n它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响初始状态对系统状态的转移的影响，n与初始时刻后的输入无关与初始时刻后的输入无关，n称为状态的零输入响应零输入响应。q第二个部分是由输入所引起的系统由输入所引
24、起的系统强迫运动强迫运动，其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积。n因此，它与输入有关，与与系统的初始状态无关系统的初始状态无关，n称为状态的零状态响应零状态响应。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值q状态方程的解表明，系统在任意时刻的状态取决于系统的初始状态x(t0)和从初始时刻t0以来的输入。n如果人为地选择输入信号(施以控制)，就可以使系统状态在状态空间中获得所期望的状态轨线。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值或或4
25、.输出方程的解输出方程的解n由非齐次状态方程的解x(t)，可得输出方程y=Cx+Du的输出响应为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值或n线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。q第一个部分是由初始状态所引起的自由运动。q第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动。q第三个部分是由直联项引起的前馈响应。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值n例2-3 已知线性定常系统为试求系统在单位阶跃输入作用下，状态方程的解。q解 在例2-1中已求出状态转移矩阵(t)为于是，系统状态方程在阶跃输入u(t)=1(t)下的解为资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值