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1、状态方程的解 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2 2 状态方程的解状态方程的解1 1、相关知识、相关知识032! 3! 21kkktktktttte1!nnsntaseat100)()()(xtxtAxtx )(tx齐00)()()()(xtxtButAxtx 特齐非齐xtxtx)()(2 2、齐次状态方程的解、齐次状态方程的解0)0()()(xxtAxtx 若为标量微分方程：若为标量微分方程：00)0()()(xxsaXxssX拉氏变换拉氏变换a
2、sxsX0)( 000!)(xkatxetxkkat拉氏反变换拉氏反变换标量微分方程为矩阵微分方程标量微分方程为矩阵微分方程n=1n=1的特例的特例000!)(xktAxetxkkkAt032! 3! 21kkktktktttte1!nnsntaseat1（1 1）说明）说明110!k kAtkA teLsIAk000)( 0 xetxtttA ，当0ttAe称状态转移矩阵，将状态由称状态转移矩阵，将状态由t t0 0时刻的时刻的x(tx(t0 0) )转移到转移到t t时刻时刻的的x(t)x(t)状态由状态由t t时刻转移到时刻转移到t t0 0时刻的转移矩阵时刻的转移矩阵00ttAttAe
3、e（2 2）矩阵指数的性质）矩阵指数的性质Ie 0A tAtAeee1AtAtee()A B tAtBtABBAeee设设P P是与是与A A同阶的非奇异矩阵，则有同阶的非奇异矩阵，则有PePeAtAPtP11求求eAt的一的一种方法种方法11PPeeAPtPAtkAtkAteeAtAtAtdeAee Adt矩阵指数的性质矩阵指数的性质201021()()()210 A ttA ttA tteeettt传递性传递性意义：解可以分段求意义：解可以分段求（3 3）几个特殊的状态转移矩阵）几个特殊的状态转移矩阵( (可直接使用！可直接使用！) )100nAA A为对角阵为对角阵100ntAtteee
4、2121 2!1 !0 1 (2)! 0 0 0 1mmAtttttmteetm几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵A A为约当块为约当块100100m mA 几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵A A为约当矩阵为约当矩阵100kJAJJ100kJ tAtJ teee几个特殊的状态转移矩阵几个特殊的状态转移矩阵A A通过非奇异阵通过非奇异阵P P化为对角形矩阵化为对角形矩阵APP1111PPePPeetAPtPAt AtAtettetcos sinsint cos (4)(4)矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法: :直接法直接法( (一般不用一般不用) )0!kkkAtktA
5、e一般用于计算机求解一般用于计算机求解当当A A为特殊矩阵，如幂零阵，可用此法为特殊矩阵，如幂零阵，可用此法0 0 01 0 00 1 0A0 0 00 0 01 0 02A03A2 22220 0 1 1 0 00 0220 1 00 0 0 0 00 1 t0 0 10 0 00 0 00 0 1AtA teIAtttttt底友零阵，实质是特征根为底友零阵，实质是特征根为0 0的约当块的约当块例例3322! 31! 21tAtAAtIeAt232310000110102!3!00tttttt0110AAte已知已知 求求243535241cossin24!3!5!sincos13!5!2!
6、4!tttttttttttttt 矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法: :拉氏变换法拉氏变换法( (常用常用) )11AteLsIAnnnnnnnnnasasasasBsBsBsBAsIAsIAsI1221112211*1nkIaABBnkABtrkaIBkkkkk, 3 , 2 , 2 , 1 1 111迭代公式迭代公式例例11220123xxxx321321000ssssAsI*12111311121222212121212ssIAsssssIAssIAssssss ttttttttAteeeeeeeeAsILe2222112222例例0 0 01 0 00 1 0A3221332211
7、asasasBsBsBAsI 1112112222322, 0,0 0 11110 0 002220 0 00 0 10 0 00 0 0BIatr ABtr ABABa IAatr ABtr AtrBABa IA 333433110,033atr ABtr ABABa I sssssssssAsI1 0 01 1 01 1 10 0 00 0 01 0 00 0 01 0 00 1 01 0 00 1 00 0 112322311 0 0 1 021 1211tttAsILeAt矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法: :凯莱凯莱- -哈密尔顿法哈密尔顿法 0111nnnnaaaAIf本质：化
8、本质：化无穷级数无穷级数为为有限项之和有限项之和(1) (1) 凯莱凯莱- -哈密尔顿定理哈密尔顿定理12121nnnnnAa Aa AaAa I 的线性组合可表示成IAAAAnnn,21 0111IaAaAaAAfnnnnAaAaAaAaAAAnnnnnn211211AaAaAaIaAaAaAaannnnnnn2112122111IaaAaaaAaaaAaannnnn11123211221的线性组合可表示成IAAAAnnn,211线性表示都可由IAAAAAAnnnnn,212112121nnnnnAa Aa AaAa I 22! 21tAAtIeAt的线性组合可表示为IAAAennAt,21
9、111010)()()()(nnnkkkAtAtAtItAte(2) (2) 化化 为为A A的有限项的有限项Ate(3) (3) 的计算的计算)(tk1) A特征值互异时特征值互异时地位等同，则与由iA10( ) 1,2,intkkiketin112210121222210111212110)()()()()()()()()()()()(21nnnnntnntnntttttettttetttten112210121222210111212110)()()()()()()()()()()()(21nnnnntnntnntttttettttettttentttnnnnnnnneeettt2111
10、21222211211110 1 1 1)()()(求解步骤求解步骤n,0A-I ) 1 (21由10(2) ( )1,2,intkkiketin代入)( ) 3(tk求出10)( )4(nkkkAtAte写出例例AteA，求3- 2-1 0 212 -1(1) 320122 3IA ，1202221( )1 -12 -12(2) 1 -21 -1( )ttttttttteeeeteeee2012222222 0(3) ( )( ) 0 2 0 02 -2 -3-22 -ttAttttttttttttteeet It Aeeeeeeeeeeee2) A有重特征根A有一个重特征根有一个重特征根
11、为为m重重1nmm,21为单根，为单根，(n-m)个单根个单根mnnmmtmnntnntnnttmnntmtmettnnttettntttetttte111113111322211121111212110)(!1)(! 1!)(! 0!1)(21)(6)(2)(1)(2)()()()()(11111110121210111110)()()()()()()()()(21nnnntnmnmtnmnmttttetttetttenmm例例xx2- 1-1 02 -12101 2IA （两重）121)()()(111011ttettettttttetteet)()(1001 0 0 ( )( ) 0 2
12、 tttAttttttttttteteteet It Aeteteteeteteteete矩阵指数的计算方法矩阵指数的计算方法: :特征值与特征向量法特征值与特征向量法任一矩阵任一矩阵A A都可通过非奇异线性变换阵都可通过非奇异线性变换阵P P变成对角形或约当形。变成对角形或约当形。APP10 AIi0iiAI根据线性代数知识，有：根据线性代数知识，有：任意矩阵任意矩阵A A都可化为约当标准形（含对角形）；都可化为约当标准形（含对角形）；A A化对角形化对角形 A A有有n n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；A A化对角形化对角形 A A有有n n个不同的特征值（不同特征值对应特征
13、向量线性无个不同的特征值（不同特征值对应特征向量线性无关，这样就有关，这样就有n n个线性无关特征向量）个线性无关特征向量）111PPePPeetAPtPAti特征值特征值i对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量inP,21ttAPtPnneeeAPP00,001111110011PeePPPeettAPtPAtnA A有有n n个不同特征值个不同特征值n,21例例3- 2-1 0AAte求求 2 , 10233 21- 212AI(1) 求特征值求特征值(2)(2)求特征向量求特征向量002 2 1- 1-212111xxxxAI1121 xx令11 10201 2 1- 2-212
14、122xxxxAI2121 xx令21 212 1 1 -1 -2P1- 1-1 2 1P211 00 2- 0 0 1-APPttAPtPeee2- 00 1ttttttttttAPtPAteeeeeeeeeePPee2-2-2-2-2-12- 22- -2 1- 1-1 2 00 2- 1-1 1 121 1 1 11 121 2推广推广P不唯一112112222121 1 1 1 nnnnnnP当当A为底友矩阵时，且有为底友矩阵时，且有n个不同特征根个不同特征根A A有重特征值有重特征值rkppprknnA,212111个广义特征向量。还要求的线性无关特征向量为属于重特征根有一个设01A
15、I线性无关解线性无关解k,211的特征向量的特征向量rkpppP,21211112111rrkppAIppAIpAI1的广义特征向量的广义特征向量00011231121rrpAIpAIpAIQJDAPP 1 1 11111100k-1r+1k-1r+1JtDtAPtPeee 1说明说明 114112121111122412141 21 1 2 0 1 1 1 0 0 1 nnnnnnnnddddP当当A A为底友矩阵时，假设为底友矩阵时，假设 为为3 3重根重根1例例2- 1-1 0AAte求求1 012 11- 212AI001 1 1- 1-2121xxxxAI1121 xx令11 1-1
16、 1 1- 1-21211xxxxpAI11 11 0112 xx 令101p11 11 101p1 1 0 1 01 0,-1 1 11 1PP1- 0 1 1-1APPtttAPtPeteee 0 1ttttttAPtPAtteeteteteePPee - 113 3、非齐次状态方程的解、非齐次状态方程的解000 )()()()(ttxtxtButAxtxtttAttAdBuexetx00)()()(0)()000000, ( ),( )( )tAtA ttx txx te xeBud若则零输入解零输入解零状态解零状态解系统两部分的构成说明：非齐次状态方程的响应满足线性系统的叠系统两部分的
17、构成说明：非齐次状态方程的响应满足线性系统的叠加原理。加原理。适当选取适当选取u(t)u(t)可获得系统状态的最佳轨线。可获得系统状态的最佳轨线。例例 )( 0)0(103- 2-1 0 ttuxuxx 状态转移矩阵已求出：状态转移矩阵已求出：ttttttttAteeeeeeeee2-2-2-2-2- 22- -2非齐次状态方程的解为：非齐次状态方程的解为：ttttttttttttttttttttAAteeeetdeeeedeeeeeeeedBuexetx220)(2)()(2)(0)(2)()()()(2)()(2)(0)(02121 4143212 102 22 2 0)()(2 2 状态
18、方程的解状态方程的解1 1、n n阶齐次状态方程阶齐次状态方程00)()()()(xtxtxtAtx 解的形式：解的形式：00),()(xtttx状态转移矩状态转移矩阵阵0( , )t t的意义：0000000( )( , )( ) ( , )( , )( ) ( , ), x tt t xA tt t xt tA tt txIttxxtttx),(),()(000000000000( , )( )( , )( , )( , )t tA tt tt tt tI满足：),(),(001tttt0( , )t t的性质：),(),(),(011202tttttt ),()( )()()(00 xt
19、ttxtxtAtx解为nxxx02010,假设系统有假设系统有n个初始状态个初始状态 线性无关线性无关nnxtttxxtttxxtttx0020021001),()(),()(),()(则与之对应有则与之对应有n个解个解12( )( ),( ),( )nX tx tx tx tnxxxtX020100,)(基础解基础解)(),()(00tXtttX特殊的初始解特殊的初始解nTnTTexexex1 0 00 1 00 0 10220110010200120( )( , ) ,( , ),( , ) ( , ),( , )nnX tt t et t et t et te eet t ),(0tt结
20、论：结论： 是个特殊的基础解，初始状态为单位向量。是个特殊的基础解，初始状态为单位向量。)(),()(00tXtttX)()(),(010tXtXtt),(0tt一般不易求，更多用于理论分析。一般不易求，更多用于理论分析。ttdA0)()(tA当当 与与 可交换时，有：可交换时，有：0000( )020( , )( )1( )( )!2!ttAdkttttttkt teAdIAdAdk)(000,ttAdAeetttt在定常系统中：0( , )t t关于与与 有区别，性质比有区别，性质比 少。少。)(0ttAe)(0ttAe),(0tt例例21)1()(0 0 0 xtxtx )()1 ,(t
21、xt；求： 22121112120ctcxcxtxxx21112 01) 1 (cccx取21121cc2121 )(21ttx21122 10) 1 (cccx取1021cc10)(2tx2121 )(21ttx10)(2tx1 210 1)( )() 1 ,(221ttxtxt2321 211 210 1) 1 () 1 ,() 1 ,(22ttxttx2 2、时变系统非齐次状态方程的解、时变系统非齐次状态方程的解00( )( ) ( )( ) ( )( )x tA t x tB t u tx tx00),()(xtttx齐次方程解为：齐次方程解为：非齐次方程解为：非齐次方程解为：ttdu
22、Btxtttx0)()(),(),()(00tttAttAdBuexetx00)()()(0)(定常非齐次方程解为：定常非齐次方程解为：例例21) 1 ()(11)(0 0 0 xtutxtx :( )1,1( )u ttx t求 当时的 000220 0 0( )( )( )1 02ttttttAdA tAdAdA ttt，0)(0!)(),(00kkttdAkdAetttt0)(20ttdA00222200 0 0 1 01 0( , )( )110 1 0 122ttt tIAdtttt0003232( )( , )( , ) ( ) ( ) -1 11151213326332ttx t
23、t txtBudtttttttt 2 2 状态方程的解状态方程的解问题的提出问题的提出连续系统D/ACPUA/D保持器采样器)(ty)(tu)(ku)(ky)(kx分析和设计计算机控制系统时，都要把一个连续系统化为等价的离散系统。分析和设计计算机控制系统时，都要把一个连续系统化为等价的离散系统。)()(:kyty转换为离散变量将采样器)()(:tuku转换为连续量将保持器连续系统离散化模型D/ACPUA/D)(ku)(ky)(kx基本假设基本假设 采样周期采样周期T T满足满足ShannonShannon采样定理采样定理cT采样周期为采样周期为T TkTtkTttykTy 0 )()(采用零阶
24、保持器采用零阶保持器( )() (1)uu kTkTkT 线性定常系统离散化线性定常系统离散化 CxyxtxtButAxtx00)()()()( TktkTt) 1(, 0取(1)(1)(1)()()kTA kTATkTxkTex kTeBu kT d采用计算机控制，且采用零阶保持器，有：采用计算机控制，且采用零阶保持器，有：( )() (1)uu kTkTkT tttAttAdBuexetx00)()()(0)( (1)tkT令0(1)()() =()()TATAtxkTex kTe dtBu kTFx kTGu kTTAtATBdteGeF0 ()()()y kTCx kTDu kT输出方
25、程是一线性方程，离散化后，在输出方程是一线性方程，离散化后，在kTkT时刻仍保持线性关系时刻仍保持线性关系例：连续系统离散化例：连续系统离散化utxtx10)(1 01 0)( 01 1 1 01- 1111ttAteessLAsILe 01 1)(TTTtAteeeTF 1 1 1 )(00TTTttTAteTedteeBdteTG(1) )()()x kTFx kTGu kT例：计算机控制系统例：计算机控制系统seTs111ss)(tr)(te)(*te)(tu)(ty-sT01. 0已知系统如图所示，求系统离散化状态空间表达式已知系统如图所示，求系统离散化状态空间表达式连续时间被控对象传
26、函为连续时间被控对象传函为2( )11( )( )1Y sG sU ss sss能控标准形实现能控标准形实现 0 10 0 -111 0 xxuyx TTATeeeF 0-1 11111 -11 10 10 tAtts-eeLsIALse -1 1 10 0-1 1 00TTTttTAteeTdteeBdteG(1) )()()x kTFx kTGu kT离散化状态方程离散化状态方程离散化离散化被控对象输入被控对象输入u(t)=r(t)-y(t)=r(t)-xu(t)=r(t)-y(t)=r(t)-x1 1(t)(t)，系统的离散化状态方程为，系统的离散化状态方程为11 1-1(1) ) ()
27、()()0 1TTTTeTex kTx kTr kTx kTee)(1 1)( 1- -1 2kTreeTkTxeee-T-eTTTTTT)(1 1)(1 1)( 1)(01121kTreeTkTxeeTkTxeekTxTTTTTT)(1 1)( -1)( 1- 221kTreeTkTxeekTxe-T-eTTTTTT系统输出方程为：系统输出方程为：1()() y kTx kT0.995 0.0950.005(1) ) ()()0.095 0.9050.095()10 () x kTx kTr kTy kTx kT将将T=0.01sT=0.01s代入代入, ,得：得：011,02CH0102,101211(0),1( )1( )AtAexxuyxxuty t 已知分别采用拉氏变换法、化对角形法以及 算法求。已知求。本章作业本章作业