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1、多元函数微分学在几何上的简单应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲线的弧长空间曲面的切平面与法线2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系一、平面曲线的切线与法线 曲线曲线 L：条件：条件：上一点上一点,近旁近旁,F 满足满足 隐函数定理条件隐函数定理条件,可确定可微的隐函数可确定可微的隐函数:处的切线：处的切线：2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系总之总之,当当 例例1 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线 在点在点 处的切线与法线处的切线与法线.解解 设设 由由1 例例 2 的讨的讨 论论 近旁满足隐函数定理近旁满足隐函数定理 2007年8月3南京航空航天大学 理学院
2、数学系的条件的条件.容易算出容易算出 于是所求的切线与法线分别为于是所求的切线与法线分别为 例例2 用数学软件画出曲线用数学软件画出曲线 的图象；并求该曲线在点的图象；并求该曲线在点处的处的 切线与法线切线与法线.2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系解解 在在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令指令窗内执行如下绘图指令:syms x,y;ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1);就立即得到曲线就立即得到曲线 L 的图象的图象(见本例末页图见本例末页图186).令令 容易求出容易求出:2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系由此得到由此得到 L 在点
3、在点 处的切线与法线分别为：处的切线与法线分别为：若在上面的若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指指令窗里继续输入如下指 令令,便可画出上述切线与法线的图象便可画出上述切线与法线的图象.hold on;a=(pi)(1/3);b=a2;ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b);ezplot(1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b)2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系例例3 设一般二次曲线为设一般二次曲线为 试证试证 L 在点在点 处的切线方程为处的切线方程为 证证 2007年8月8南京航空航天大
4、学 理学院 数学系由此得到所求切线为由此得到所求切线为 利用利用 满足曲线满足曲线 L 的方程的方程,即即 整理后便得到整理后便得到 2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系二、空间曲线的切线与法平面 先从参数方程表示的曲线开始讨论先从参数方程表示的曲线开始讨论.对于平面曲线对于平面曲线若若 是其上一点是其上一点,则曲线则曲线 在点在点 处的切线为处的切线为 下面讨论空间曲线下面讨论空间曲线.2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系(A)用参数方程表示的空间曲线用参数方程表示的空间曲线:类似于平面曲线的情形类似于平面曲线的情形,不难求得不难求得 处的切线为处的切线为 过点过点
5、 且垂直于切线且垂直于切线 的平面的平面 ,称为曲线称为曲线 L 在点在点 处的处的法平面法平面(见后图见后图).2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系因为切线因为切线 的方向向量即为的方向向量即为 法平面法平面 的法向量的法向量,所以法所以法 平面的方程为平面的方程为 (B)用直角坐标方程表示的空间曲线：用直角坐标方程表示的空间曲线：设设 近旁具有连续的近旁具有连续的 一阶偏导数一阶偏导数,且且 2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系不妨设不妨设 于是存在隐函数组于是存在隐函数组 这也就是曲线这也就是曲线 L 以以 z 作为参数的一个参数方程作为参数的一个参数方程.根
6、据公式根据公式(2),所求切线方程为所求切线方程为 2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系应用隐函数组求导公式应用隐函数组求导公式,有有 于是最后求得切线方程为于是最后求得切线方程为 相应于相应于(3)式的法平面方程则为式的法平面方程则为 2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系解解 容易求得容易求得 故切向向量为故切向向量为 例例 4 求空间曲线求空间曲线 在点在点 处的切线和法平面处的切线和法平面.由此得到切线方程和法平面方程分别为由此得到切线方程和法平面方程分别为 2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系 syms t;x=t-sin(t);y=1-cos
7、(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi)绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系图图 1882007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系例例5 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法平面处的切线与法平面.解解 曲线曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线是一球面与一圆锥面的交线.令令 根据公式根据公式(5)与与(6),需先求出切向向量需先求出切向向量.为此计算为此计算 F,G 在点在点 处的雅可比矩阵处的雅可比矩阵:2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系由此
8、得到所需的雅可比行列式由此得到所需的雅可比行列式:2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系故切向向量为故切向向量为 据此求得据此求得 2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系 三、曲线的弧长弧长弧长折线的极限折线的极限弧长计算公式：弧长计算公式：对于空间简单曲线：对于空间简单曲线：2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系例：求平面曲线的弧长：例：求平面曲线的弧长：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系弧微分设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数可以将弧长视为参数 t 的函数
9、的函数这样，可得弧长的微分（这样，可得弧长的微分（弧微分弧微分）为：）为：2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系自然参数既然弧长可以视为参数既然弧长可以视为参数 t 的函数的函数一定存在一定存在反函数！反函数！将反函数将反函数 t=t(s)代入曲线参数方程代入曲线参数方程即弧长即弧长 s 成为曲线的参数，称之为成为曲线的参数，称之为自然参数自然参数性质：性质：为单位切向量为单位切向量今后用今后用等分别表示等分别表示2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系 四、曲面的切平面与法线 以前知道以前知道,当当 f 为可微函数时为可微函数时,曲面曲面 z=f(x,y)在点在点 处的
10、切平面为处的切平面为 现在的新问题是现在的新问题是:曲面曲面 由方程由方程 给出给出.若点若点 近旁近旁 具有连续的一阶偏导数具有连续的一阶偏导数,而且而且 2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系不妨设不妨设 则由方程则由方程(7)在点在点 近旁惟一近旁惟一 地确定了连续可微的隐函数地确定了连续可微的隐函数 因为因为 所以所以 在在 处的切平面为处的切平面为 又因又因(8)式中非零元素的不指定性式中非零元素的不指定性,故切平面方程故切平面方程 2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系一般应写成一般应写成 随之又得到所求的法线方程为随之又得到所求的法线方程为 回顾回顾 1
11、现在知道现在知道,函数函数 在点在点 P 的梯度的梯度 其实就是等值面其实就是等值面 在点在点 P 的法向量的法向量:2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系回顾回顾 2 若把由若把由(4)表示的空间曲线表示的空间曲线 L 看作两曲面看作两曲面的交线的交线(如图如图),则则 L在在 的切线与此二曲的切线与此二曲 面在面在 的法线都相垂的法线都相垂 直直.而这两条法线的而这两条法线的 方向向量分别是方向向量分别是 2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系故曲线故曲线(4)的切向向量可取的切向向量可取 的向量积的向量积:这比前面导出这比前面导出(5),(6)两式的过程更为直观两
12、式的过程更为直观,也也容容 易记得住易记得住.2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系例例6 求旋转抛物面求旋转抛物面 在点在点 解解 令令 则曲面的法向量为则曲面的法向量为 处的切平面和法线处的切平面和法线.从而由从而由(9),(10)分别得到切平面为分别得到切平面为 法线为法线为2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系()例例7 证明证明:曲面曲面 的任一切平的任一切平 面都过某个定点面都过某个定点(这里这里 f 是连续可微函数是连续可微函数).()证证 令令 则有则有 2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系()于是曲面在其上任一点于是曲面在其上任一点 处的
13、法向量处的法向量 可取为可取为 由此得到切平面方程由此得到切平面方程:将点将点 代入上式代入上式,得一恒等式得一恒等式:2007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系这说明点这说明点 恒在任一切平面上恒在任一切平面上.2007年8月33南京航空航天大学 理学院 数学系曲面也可以用如下双参数方程来表示曲面也可以用如下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所构成这种曲面可看作由一族曲线所构成:每给定每给定 v 的一的一 个值个值,(11)就表示一条以就表示一条以 u 为参数的曲线为参数的曲线;当当 v 取取 某个区间上的一切值时某个区间上的一切值时,这许多曲线的集合构成了这许多曲线的集合构
14、成了一个曲面一个曲面.现在要来求出这种曲面的切平面和法线现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程的方程.为此假设为此假设且且 2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系(11)式中三个函数在式中三个函数在 近旁都存在连续的一阶偏近旁都存在连续的一阶偏 导数导数.因为因为 在在 处的法线必垂直于处的法线必垂直于 上过上过 的的 任意两条曲线在任意两条曲线在 的切线的切线,所以只需在所以只需在 上取两条特上取两条特 殊的曲线殊的曲线:它们的切向量分别为它们的切向量分别为 2007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系则所求的法向量为则所求的法向量为 至此至此,不难写出切平面方程和法线方
15、程分别为不难写出切平面方程和法线方程分别为 2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系解解 先计算在点先计算在点 处的法向处的法向 例例8 设曲面的参数方程为设曲面的参数方程为 试对此曲面的切平面作出讨论试对此曲面的切平面作出讨论.量量:2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系由此看到由此看到,当当 时时 说明在曲面说明在曲面(12)而当而当 时时,法向量可取法向量可取 上存在着一条曲线上存在着一条曲线,其方程为其方程为 在此曲线上各点处在此曲线上各点处,曲面不存在切平面曲面不存在切平面,我们称这我们称这 种曲线为该曲面上的一条种曲线为该曲面上的一条奇线奇线.与之对应的切平面
16、则为与之对应的切平面则为 2007年8月38南京航空航天大学 理学院 数学系法线则为法线则为当动点当动点 趋于奇线趋于奇线(13)上上的点的点 时时,法向量法向量 存在极限存在极限(一般不一定存在一般不一定存在):2007年8月39南京航空航天大学 理学院 数学系此点处此点处 不存在法不存在法 此时切平面存在极限位置此时切平面存在极限位置:有时需要用此有时需要用此“极限切平面极限切平面”来补充定义奇线上的来补充定义奇线上的 切平面切平面.注注 曲面上的曲面上的孤立奇点孤立奇点往往是曲面的尖点往往是曲面的尖点,如圆锥如圆锥 面面的顶点的顶点 在在 线和切平面线和切平面.而曲面上的而曲面上的奇线奇线,则往往是该曲面的则往往是该曲面的 “摺线摺线”、“边界线边界线”或是曲面自身的或是曲面自身的“交叉线交叉线”.2007年8月40南京航空航天大学 理学院 数学系曲面曲面(12)及其奇线及其奇线(边界线边界线)的图象如下的图象如下:2007年8月41南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义 若若 存在连续的一阶偏导数存在连续的一阶偏导数,且满足且满足 则称曲面则称曲面 为为 一一光滑曲面光滑曲面.对于用双参数方程对于用双参数方程(11)表示的曲面表示的曲面,应如何定义应如何定义 它为光滑曲面它为光滑曲面?请读者自行考虑请读者自行考虑.2007年8月42南京航空航天大学 理学院 数学系