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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的弧长二、曲线的弧长第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学在几何上的简单应用 第五章 1目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 1、空间曲线 的参数方程:可以看作是从区间的一个连续映射r 的像,的轨迹就是曲线。r(t)的像就是向径 当 t 在区间上变化时向径的终点M 曲线也可以写为2目录 上页 下页 返回 结束 例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.3目录 上页 下页 返回 结束 设空间曲线 的方程为2.简单曲线和有向曲
2、线上连续，为连续曲线；如果向量值函数r(t)在区间如果 为连续曲线，且任取都有 ，即在上r(t)为单射，则称 为简单曲线。如果 为简单曲线,且则称 为简单闭曲线。则称4目录 上页 下页 返回 结束 对于选定了参数t的曲线，我们规定t增大的的方向为曲线的正方向。对于规定了方向的曲线，我们称为有向曲线。一般讨论的曲线均为有向曲线。3.空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的方程为其中向量值函数r(t)在上可导5目录 上页 下页 返回 结束 切线方程。我们来讨论 在点处的 与平面曲线的切线一样，空间曲线上点处的切线也定义为曲线当点P沿曲线趋向于点时的极限位置处的割线上过点6目录 上页 下页 返回 结束
3、要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。从而向量为此在的临近取点与P对应的向径分别为为割线的一个方向向量.易知也是割线的一个方向向量。对上式取极限有7目录 上页 下页 返回 结束 从而割线变为曲线 的切线，由此可见向径r(t)的导数相应的方向向量变为切线的方向向量表示曲线 在相应点的切线的方向向量。处切线的向量方程为曲线 在相应点切向量8目录 上页 下页 返回 结束 其中为曲线上动点M(x,y,z)的向径，t参数。时，曲线上都存在切线。消去参数 处的切线方程为 若切线方向连续变化，此时称曲线为光滑曲线。如果不是光滑曲线，但将 分成若干段后，如果每9目录 上页 下页 返回 结束 段都是光滑曲线
4、，则称为分段光滑曲线。过点 且垂直于 处切线 的直线,称为曲线 的法线，这些法线显然位于一个平面内，此平面为在点 处的法平面法平面的法向量,所以法平面的方程为10目录 上页 下页 返回 结束 例例 求曲线在点 M(1,1,1)处的切线 方程与法平面方程.解：解：点(1,1,1)对应于故点M 处的切向量为因此所求切线方程为 法平面方程为即思考思考:光滑曲线的切向量有何特点?答答:切向量11目录 上页 下页 返回 结束 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有 可表示为处的切向量为 12目录 上页 下页 返回 结束 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或13目录 上页
5、下页 返回 结束 也可表为法平面方程法平面方程(自己验证)14目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法解法1 令则即切向量15目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程即解法解法2 方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得16目录 上页 下页 返回 结束 切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向量17目录 上页 下页 返回 结束 6.2 曲线的弧长弧长弧长折线的极限折线的极限对于空间简单曲线对于空间简单曲线：的两个端点A,B分别对应 ,在在 上介于A,B之间分别沿t增大的方向依次取n-1个分点，他
6、们把分成了n段。用直线段把相邻分点连接起来得到一折线，它的长度为18目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.1 6.1 弧长计算公式：弧长计算公式：如果不论分点怎么选取，最大长度折线长度有确定的极限s,线弧为可求长的.并称此极限为曲线的长,则称此曲即19目录 上页 下页 返回 结束 证明：设分点 对应的参数分别为，这样便有首先来求利用拉格朗日中值公式得其中20目录 上页 下页 返回 结束 为使上式右端根式中的函数在 同一点处取值，将其变形得到于是有其中令，由定积分的定义和存在定理可知21目录 上页 下页 返回 结束 利用不等式这样，由(6.13)(6.14)两式可知，要想证明弧长因为公式，只
7、需要证明由(6.12)可知在上连续，从而一致连续，22目录 上页 下页 返回 结束 证毕。于是只要 便有故特别当 时有23目录 上页 下页 返回 结束 平面曲线为空间曲线的特例(z=0)：对于平面曲线 弧长为(1)如果曲线弧由直角坐标方程给出:则参数方程为 x=x,y=f(x),于是有24目录 上页 下页 返回 结束(2)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得25目录 上页 下页 返回 结束 例例 计算摆线一拱的弧长.解解:26目录 上页 下页 返回 结束 例：求平面曲线的弧长：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：27目录 上页 下页 返回 结束 弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数 t
8、的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：则t 增大的方向也是 s 增大的方向，且有28目录 上页 下页 返回 结束 自然参数既然弧长可以视为参数 t 的函数将反函数 t=t(s)代入曲线参数方程即弧长 s 成为曲线的参数，称之为自然参数自然参数性质性质：为单位切向量29目录 上页 下页 返回 结束 6.3 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的参数方程圆柱面方程其参数方程为向量的形式即圆柱面可以看作平面区域 到 的连续映射下的像。30目录 上页 下页 返回 结束 解解：任取一点如右图，则因此，球面可以看成是平面区域到 的连续映射（6.22）的像。例例6.6 建立半径为 的球面的参数方程。3
9、1目录 上页 下页 返回 结束 一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续映射的像，从而S的方程可表为或写成向量的形式此二式称为曲面的参数方程，曲面上的曲线的表示曲面上的曲线的表示若在D中固定则此映射r下的像点的集合应是曲面S上的一条曲线，称为曲面S上的u曲线，方程是32目录 上页 下页 返回 结束 同理可得曲面S上的v曲线的方程为这样，过曲面S上的每一点P，就有u曲线和一条v曲线，它们的交点就是P。u曲线族和v曲线族构成曲面S上的参数曲线网。曲面S可以看成是映射r将平面uOv上的区域D在R3中变形后得到的，而D内的坐标网相应的变成了曲面S的参数曲线网。如图33目录 上页 下页 返回
10、结束 即为球面的经线。即为球面的纬线。34目录 上页 下页 返回 结束 复习 例例6.7 机械工程中常见的一种曲面称为正螺面，它是当长为l的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向下运动时，该直线段的运动轨迹.试建立它的方程。解解 建立坐标系，设运动开始时直线段位于x轴的正方向上，且直线段以原点为起点。记为OM。设OM的旋转角速度为垂直移动的速度为b0.正螺面上的任一点P(x,y,z)与z轴的距离为u。35目录 上页 下页 返回 结束 令于是正螺面的参数方程为曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面S的参数方程为其中r在D内连续，在点 存在偏导数
11、36目录 上页 下页 返回 结束 且（点 称为曲面的正则点）曲面S上过点 的u曲线为 其在 的切向量为在点 的切向量为同理可得v曲线上述u曲线和v曲线的切线若 是正则点，所以向量不平行，以 为法线方向确定了一个平面它是过点 且向量的平面。37目录 上页 下页 返回 结束 其方程为在S上过点 任一条光滑曲线 其中上式两端在 处对 求导，是何种关系？曲面S上过点 的任一曲线在点 的切线与平面线性表示，于是曲线 在点 的切向量可用故曲线 在点 的切线必在平面 上。由曲线 的任意性知：曲面S上过点 的任一曲线在38目录 上页 下页 返回 结束 点 的切线均在平面 上。于是称平面 为曲面在点 的切平面。
12、过点 且垂直于切平面 的直线称为曲面在点 处的法线。的方向向量称为法向量。法线于是S在点 的切平面方程是：法线方程为：39目录 上页 下页 返回 结束 若均在区域D内连续，则称曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐标方程且不妨设确定二元函数于是方程于是得曲面的参数方程于是故法向量取40目录 上页 下页 返回 结束 于是曲面在点 的切平面方程为：法线方程为：若曲面S的方程是直角坐标方程于是曲面在点 的切平面方程为：法线方程为：41目录 上页 下页 返回 结束 全微分的几何意义全微分的几何意义二元函数 在点的全微分为二元函数的全微分是：用切平面上的改变量代替曲面上的改变量。-局部线性化42目录
13、 上页 下页 返回 结束 例6.8求正螺面 在处的切平面与法线方程，其中常数a为非零常数。解于是对应于点（a，-a，2）处的法向量可取为43目录 上页 下页 返回 结束 从而得切平面方程法线方程44目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)45目录 上页 下页 返回 结束 例例10.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)46目录 上页 下页 返回 结束 补充题补充题 1.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.47目录 上页 下页 返回 结束 2.证明曲面与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒48