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1、第9章 多元函数微分法,及其应用,2,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,9.6 多元函数微分学的,几何应用,全微分的几何意义,小结 思考题,第9章 多元函数微分法及其应用,一元向量值函数及其导数,引言：,在多元函数部分，我们可以利用偏导数来 确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。,在一元函数微分学中，我们可以利用导数确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线和法线方程。,设空间曲线的参数方程为,一、一元向量值函数及其导数,若记,则 方程成为：,1、一元向量值函数的定义：,其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。,说明：,（1）向量值函数是数量值函数的推广,（2）在R3中，若向量
2、值函数的三个分量依次为 f1(t)、 f2(t)、 f3(t),则可表示为,（3）向量值函数的图像,设向量 r 的起点在坐标原点，则终 点M随t的改变而移动，点M的轨迹 称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 线，也称为该函数的图像，记作,反过来，向量值函数,称为曲线 的向量方程。,2、一元向量值函数的极限：,说明, 计算方法 , 等价条件 ,3、一元向量值函数的连续性：,说明：,（1）向量值函数连续等价于它的分量函数都连续； （2）若在某个区域内每一点都连续，则称该函数是该区域上的连续函数,4、一元向量值函数的导数：,记作：,说明,（1）向量值函数可导等价于它的分量函数都可导，且,（2）若在
3、某个区域内每一点都可导，则称 该函数是该区域上的可导函数；,（3）向量值函数的导数与数量值函数的导数运算法则形式相同（教材P92）.,（4）向量值函数导向量的几何意义：,得切线的方向向量：,结论：,注意：该切向量指向与t 的增长方向一致！,（5）向量值函数导向量的物理意义：,小结,求向量值函数的极限：各分量取极限,求向量值函数的导数：各分量求导数,例,解：,例,解：,所求单位切向量一个是：,其指向与t的增长方向一致,另一个是：,其指向与t的增长方向相反,17,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,1. 空间曲线的方程为参数方程,二、空间曲线的切线与法平面,18,考察割线趋近于极限位置
4、,上式分母同除以,割线 的方程为,切线的过程,19,曲线在M处的切线方程,切向量,法平面,切线的方向向量称为曲线的切向量.,过M点且与切线垂直的平面.,平面的点法式方程,20,解,切线方程,法平面方程,例,即,21,设曲线直角坐标方程为,法平面方程为,2. 空间曲线的方程为,曲线的参数方程是,由前面得到的结果,在M(x0, y0, z0)处,令,切线方程为,x为参数,两个柱面,的交线,22,例 在抛物柱面 与 的交线上,x为参数,于是,解,所以交线上与,对应点的切向量为:,交线的参数方程为,取,求对应 的点处的切向量.,23,设空间曲线方程为,3.空间曲线的方程为,确定了隐函数,(此曲线方程仍
5、可用方程组:,表示.),两个曲面,的交线,利用2. 结果,切线方程为,法平面方程为,在M(x0, y0, z0)处,两边分别对,x求导:,下面求出.,24,利用2.结果,两边分别对,x求全导数:,25,法平面方程为,切线方程为,在点 M(x0, y0, z0)处的,26,解,例,切线方程和法平面方程.,法一,直接用公式.,令,代入公式, 得切线方程,令,27,代入公式, 得法平面方程,法平面方程公式:,28,切线方程,解,将所给方程的两边对x求导, 得,法平面方程,例,切线方程和法平面方程.,推导法,法二,即,29,设曲线,练习,证,因原点(0,0,0)在法平面上,即,于是,证明此曲线必在以原
6、点为中,的法平面都过原点,在任一点,心的某球面上.,曲线过该点的法平面方程为,故有,任取曲线上一点,30,今在曲面上任取一条,1. 设曲面的方程为F(x, y, z) = 0的情形,隐式方程,三、曲面的切平面与法线,函数F(x, y, z),的偏导数在该点连续且不同,点M 对应于参数,不全为零.,过点M 的曲线,设其参数,方程为,时为零.,过点M 的曲线,过点M 的曲线,31,由于曲线在曲面上,所以,在恒等式两端对t 求全导数,并令,则得,若记向量,曲线在点M处切线的方向向量记为,则式可改写成,即向量,垂直.,32,因为曲线是曲面上过点 M 的任意一条,所有这些曲线在点 M 的切线都与同一向量
7、,垂直,因此这些切线必共面,称为曲面在点M的,过点M且垂直于切,法线,又是法线的方向向量.,向量,称为曲,法向量.,切平面,由切线形成的这一,平面,平面的直线称为曲面在,点M的,面在点M的,曲线,33,曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:,切平面方程为,法线方程为,所以曲面上在点M的,34,解,令,切平面方程,法线方程,例,35,上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于yOz平面.,解,设所求点为(x, y, z),则切平面的法向量为,练习,由题意,由此得,所求之点:,36,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,或,显式方程,2. 曲面方程形为z = f (x, y)的
8、情形,37,例,证,则法向量为,切平面方程为,设(x0, y0, z0)是曲面上任一点,38,所以这些平面都过,原点.,39,考研数学(一), 3分,的切平面的方程是( ).,练习,解,则法向量为,切平面方程为,即,平行,设(x0, y0, z0)是曲面上一点,40,例,证,的所有切平面都与一常向量平行.,则曲面在任一点处的法向量:,则,即,所以, 所有的切平面均与,平行.,取,41,3. 曲面方程为参数方程的情形,(u,v为双参变量),求(u0, v0 )对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量,固定v = v0, 让u变,它在M0处的切向量为,曲面的参数方程为,得到曲面上一条所谓的
9、u,曲线,双切线法,42,(u,v为双参变量),求(u0, v0 )对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量,它在M0处的切向量为,曲面的参数方程为,同样, 固定u = u0, 让v变,得到另一条所谓的v曲线,曲面的法向量,同时与,垂直,故有公式,双切线法,43,例,求马鞍面,对应点处的切平面方程.,解,u = 1 , 得曲线, 即,v = 1,它们在点(u , v) = (1, 1)处的切向量分别为,在曲面上分别令,切平面的法向量为,切平面方程为,双切线法,44,例,求马鞍面,对应点处的切平面方程.,解,将每个方程的两端求微分, 得,切平面方程为,全微分法,45,令,解,切线方程和法
10、平面方程.,垂直于,曲线在点,例,当空间曲线方程为一般式时,求切向量曾采用了推导法.,处切线向量,再用向量代数法做此题.,应同时,46,令,切线方程和法平面方程.,例,47,切线方程和法平面方程.,解,双切平面法,由于两曲面的交线的切线等,于两曲面的切平面的交线,所以求出两曲面在点P0,处的切平面方程,再将两切平面方程联立即为所求.,48,一元函数微分的,(如图),四、全微分的几何意义,对应的增量.,增量时;,当y是曲线的纵坐标,dy就是切线纵坐标,回忆,几何意义,49,因为曲面在M处的切平面方程:,全微分的几何意义,表示,平面上的点的竖坐标的增量.,切平面上点的竖坐标的增量,曲面z = f
11、(x, y)在点(x0, y0, z0)处的切,z = f (x, y)在点(x0, y0)的全微分,曲面z = f (x, y),函数z = f (x, y)在点(x0, y0)的全微分,50,其中,法向量,表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与,z 轴的正向所成的角,是锐角,则法向量的,方向余弦为,51,思考,求旋转抛物面,因为,(第三个分量为负),解,而,为向下的法向量,故向上的法向量应为:,在任意点,在任意点P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为,锐角的法向量).,52,研究生考题,填空,3分,解,令,练习,的旋转面在点,处的指向外侧的单位,法向量为( ).,旋转面方程为,53,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,小 结,注意: 向量的方向余弦的符号.,当空间曲线方程为一般式时,采用推导法、向量代数法或用双切面法.,求法平面可,空间曲面三种不同形式方程以及求法.,54,思考题,思考题解答,证,两边对t求导,得,设F(x, y, z)具有连续偏导数, 且对任意实数 t,有,试证曲面,55,设(x0, y0, z0)是曲面上任一点,则过这点的,切平面为,这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点.,