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1、数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group第六章 多元函数的微分学多元函数的微分学 第一节 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 第二节 偏导数偏导数 第三节 全微分全微分第四节第四节 复合函数的微分法复合函数的微分法第五节第五节 二元函数微分学在几何上的应用二元函数微分学在几何上的应用第六节第六节 二元函数的极值二元函数的极值 12/24/2022数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 第五节 二元函数微分学在几何上的应用2数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics
2、 Group 1、空间曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面2、曲面的切平面与法线、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与曲面的切平面一、空间曲线的切线与曲面的切平面3数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 复习复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程在点有4数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 1、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画
3、开始或暂停5数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 1.1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程6数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.因此得法平面方程法平面方程 7数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:由于对应的切向量为在,故8数学与生物信息学教研室Mathematics&Bio
4、informatics Group 1.2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当以x为自变量时,曲线上一点,且有 可表示为处的切向量为 法平面方程法平面方程=？9数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 例例2.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.解：方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得10数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向量11数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinfo
5、rmatics Group 2、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.12数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 证:在 上,由链式法则得由此知，过曲面上任一点的光滑曲线在该点的切线都垂直于13数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 曲面故当函数 法线方程法线方程在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方
6、程14数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,15数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 例例3.求椭圆抛物面在点(2,3,2)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(2,3,2)处有:切平面方程切平面方程 法线方程法线方程法向量16数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结17数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.如果 可表示为18数学与生物信息学教研室Mathematics&Bioinformatics Group 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程法线的方向余弦方向余弦法向量法向量2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线19