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1、第一章 集合论初步郇中丹2006-2007学年第一学期数学系2006级集合论初步1.集合论和数学的严密性2.集合及其运算3.笛卡尔积4.映射和函数5.集合的势1.集合论和数学的严密性什么是数学的严密性或逻辑性数学如何实现其严密性什么是数学的严密性或逻辑性数学的严密性在于：交待清楚要讨论的问题或对象交待清楚定义、证明或叙述中要用到的概念和关系（叫做原始概念和原始关系）只利用这些概念和关系，遵循逻辑规则完成对问题证明、叙述或模型的建立数学的严格性是历史的，其逻辑性是在科学和数学的发展中不断深化的数学如何实现其严密性皮亚诺公理系统ZFC公理集合论系统现代数学方法：集合论+公理化数学严格性与实用的妥协
2、皮亚诺系统基本前提：自然数集合存在，在上面可以定义相等公理1.1是自然数公理2.每个自然数可以定义惟一的后邻公理3.任何后邻都不会是1公理4.若两数的后邻相等，则两数相等公理5.归纳法成立ZFC公理集合论系统原始概念：集合原始关系：属于公理：外延公理（相等）、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理（归纳法）、公式F的替换公理、正则公理、选择公理现代数学方法：集合论+公理化集合是定义任何数学对象的原始概念。数学上说，任何数学概念都是用集合定义的，简单地说，任何数学对象都是某种类型的集合。数学系统都以公理化的形式和精神来陈述的探索的。数学严格性与实用的妥协在现实的数学学习和从事数学研究的
3、过程中，人们并非真的能够和没有意义抽象符号打交道，而是用人们能够赋予实际意义的符号处理问题。因此不少时候人们试图去给集合下“定义”，实际上是让初学者理解其实际含义。另一方面数学中所发现的悖论在不时地提醒人们这种直观能够走多远。2.集合及其运算集合(直观描述)集合相等和子集合子集的表示方式和全集常用数学符号和常用集合记号集合的并集合的交集合的差运算和余(补)运算集合运算的性质集合(直观描述)具有某种属性的对象总体(通常用大写字母表示，如A,B等)，这些对象称为其元素或点(通常用小写字母表示，如x,y等).x是A的元素记为:xA(读作x属于A)x不是A的元素记为:xA(读作x不属于A)集合的基本特
4、性是，对于给定的集合A，任何对象x,xA与xA中有且只有一个成立.集合相等和子集合集合相等集合相等：如果两个集合A和B有同样的元素组成，就说集合A和B相等，记作A=B或B=A.子集合:如果集合B的元素都是集合A的元素，B叫做A的子集合(简称子集).记作BA(读作B包含于A)，或AB(读作A包含B).命题：A=B当且仅当AB且AB.子集的表示方式和全集设A是一个集合,其子集B通常用下面的形式表示：B=xA|P(x),其中P(x)表示x在B中所要满足的条件空集：不含任何元素的集合叫做空集,用符号表示,空集是任何集合的子集：=xA|x x在数学的讨论中，常常涉及到的是某个固定集合的子集，例如，实数的
5、子集.这个固定集合叫做全集.一般用E表示.常用数学符号和常用集合记号：表示存在，读作“存在”(there exist(s)!：表示存在惟一的，读作“存在惟一的”(there exists unique)：表示对于所有的或任意的，读作“对于任意的”或“对于所有的”(for all)：表示能够推得，读作“蕴含”(imply)自然数N,整数Z,有理数Q,实数R集合的并集合A和B的并是由A或B的所有元素组成的集合,记为AB,也就是AB=x|xA或xB集合并运算的性质：交换律 A B=B A结合律A (B C)=(A B)C集合族Aa:aI的并：aIAa=aAa=x|aI,xAaI为自然数时的记法集合的
6、交集合A和B的交是由所有A和B的公共元素组成的集合,记为A B,也就是A B=x|xA且xB集合交运算的性质：交换律 A B=B A结合律A (B C)=(A B)C集合族Aa:aI的交:aIAa=aAa=x|aI,xAaI为自然数时的记法集合的差运算和余(补)运算集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记作AB,也就是AB=xA|xB对称差：AB=(AB)(AB)设集合AE,EA叫做A关于E的余集，当E是公认的时候，简称为A的余集，记为A.集合运算的性质(I)1.AA2.AB,(且)BA A=B3.AB,BC AC4.A,A 5.(a Aa)B=a(Aa
7、 B)6.(a Aa)B=a(Aa B)7.AB AB=B,A B=A8.AA=E,A A=集合运算的性质(II)9.=E,E=10.(aAa)=aAa11.(aAa)=aAa12.AB=(AB)(BA)证明举例：3,4,5,8,10.强调如何证明集合相等利用运算的定义习题：6,7,9,11,123.笛卡尔积集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有元素对(a,b)的集合,其中aA,bB.也就是AB=(a,b)|aA,bB笛卡尔积是定义种种数学概念的基本手段之一4.映射和函数映射的现代定义和传统定义与映射相关的术语映射的分类映射的现代定义和传统定义映射的定义:集合A,B的笛卡尔积AB的子集f叫做集合
8、A到集合B的映射,如果下列条件成立:xA,!(x,y)f映射、函数和变换等等说法在现代数学的意义下是同义词，在实际使用中有所侧重映射的记法:f:AB,或Af B由集合A到集合B映射f是这样一个法则：xA,!yB与x对应,记作y=f(x)与映射相关的术语 考虑映射f:AB.有xA,!yB使得(x,y)f.元素y叫做x在映射F下的像,并且记为y=f(x)元素x叫做元素y在映射f下的一个原像A叫做映射f的定义域f(A)=yB|xA,y=f(x)叫做f的值域xA叫做自变量的值(简称自变量)y=f(x)叫做函数在x处的值映射的分类考虑映射f:AB.满射:如果f(A)=B.f也叫做是映上的或覆盖单射:如果
9、每个f(x)只有一个原像,也就是若f(x1)=f(x2),则x1=x2.f也叫做是嵌入双射:如果f既是满射也是单射.f也叫做是双方单值的.此时可以定义逆映射f-1:BA使得若y=f(x),则f-1(y)=x,f-1与f满足xA,f-1f(x)=x;yB,ff-1(y)=y双射又叫双方单值对应或一一对应习题一(I)1.证明:P5,集合并的性质2.证明:P6,集合交的性质3.证明:P6-7,集合运算的性质4.请用笛卡尔积的观点解释下列集合:矩形区域、圆柱侧面、圆柱体、圆环面、圆环体习题一(II)5.确定下列集合是否定义映射(说明理由)(x,y)RR|x2+y=1(x,y)RR|x2-y2=1(x,
10、y)RR|xy=16.考虑映射f:XY.设AX,CY.称f(A)=f(x)|xA为A在f下的像(集),f-1(C)=xX|f(x)C为C在f下的原像(集).证明:A,BX,f(AB)=f(A)f(B),f(A B)f(A)f(B)C,DY,f-1(CD)=f-1(C)f-1(D),f-1(C D)=f-1(C)f-1(D)习题一(III)7.考虑映射f:XY,g:YZ.定义f与g的复合映射h=gf:XZ为xX,h(x)=g(f(x)证明:如果f和g都是单射,则h是单射;如果f和g都是满射,则h是满射；如果f和g都是双射,则h是双射.5.集合的势等势的概念自然数和有限集可数集幂集不可数集等势的概
11、念如何说清有限集:自然数的构造数数的澄清和推广-等势:如果两个集合A和B之间存在双射,就说A与B是对等的或等势的.记做AB.等势的性质:1.自返性:AA;2.对称性:ABBA;3.传递性:AB,BCAC.自然数和有限集自然数:0:=,1:=递归定义:n+1:=0,1,n自然数集:N=0,1,N+=1,2,有限集:如果集合A与某个自然数对等，就说A是有限集.约定:空集是有限集两个不同自然数是不对等的.自然数可以看成是有限集势的代表可数集(I)无限集:不是有限集的集合叫做无限集可数集:与自然数集N等势的集合叫做可数集命题1.有理数集Q=m/n|mZ,nN+是可数的证明：利用高度h=|m|+n命题2
12、.可数集的子集是有限的或可数的可数集(II)命题3.有限多个或可数多个可数集的并集仍然是可数的证明:次对角排列法.事实1.任何无限集都有可数子集事实2.设A是无限集,B可数集,则ABB说明:有些数学书或文章中把有限或可数集一起叫做至多可数的(at most countable)或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的幂集幂集:集合A的所有的子集所成的集合叫做A的幂集,记做P(A)或2A幂集的势:存在A到P(A)的单射,但不存在A到P(A)的双射证明:1.f(a)=a给出AP(A)的单射;2.设f:AP(A)是满射.令B=aA|af(a).由f满,存在bA,f(b)=B.则bBbB.
13、不可数集不可数集:不对等于N的无限集叫做不可数的连续统势:与P(N)对等的集合叫做具有连续统的势事实3.F=f:N0,1与P(N)等势事实4.X=AP(N)|kN,nk,nA是可数的事实5.在二进制中1=0.11.(1循环)0,1的势命题4.线段I=0,1具有连续统的势证明:考虑0,1中实数的二进制表示,对于形式为c1/2+ck/2k形式的实数其表示为0.c1c2ck,而不是0.c1ck-1011(1循环).如此就得到0,1)中的一个点对应到N0,1的一个函数,注意到事实2-4就可以完成证明.习题二1.证明下列集合是可数的:整数集Z笛卡尔坐标平面上的有理点,即Q22.证明事实1-43.证明R0,10,120,1