《2022年《点集拓扑讲义》第一章集合论初步学习笔记 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《点集拓扑讲义》第一章集合论初步学习笔记 .pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载点集拓扑学第一章 集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运
2、算，大小的比较 (和)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等集合也常称为集，族，类名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 23 页
3、- - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载集合（即通常所谓的“集体”） 是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素元素也常称为元，点，或成员集合也可以没有元素例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1又小于 2 的整数的集合都没有任何元素这种没有元素的集合我们称之为空集，记作此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集集合的表示法：（1） 用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样） ，是定义集合的一个重要方式（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号x| 关于x的
4、一个命题 P 表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的所有元素x 构成的集合例如，集合x|x为实数，并且 0 x1即通常所谓开区间（0， 1） 在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合是实数 便是集合 ，其中x是实数 的简略表示 ,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的集合表示方式中的竖线“ | ”也可用冒号“：”或分号“；”来代替名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料
5、欢迎下载（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合例如 表示由元素构成的集合如果确实不至于发生混淆， 在用列举的办法表示集合时容许某种省略例如，有时我们可以用 1 ，2，3，表示全体正整数构成的集合，用1，3，5，表示全体正奇数相成的集合但我们并不鼓励这种做法，因为后面的规律不是很清楚，容易产生误解我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的在本书中，我们用：表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体
6、实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合以下是一些常用的记号：表示元素与集合的关系，如：xX ， xx 等：表示集合与集合的关系，如：AB （等价于）( 这个记号即是通常数学课本中的) ：表示与上述相反的含义=：表示两个集合相等，如：A=B （等价于）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的定理 1.1.1
7、 设 A，B，C都是集合，则（l ）AA；（2）若 AB，则 BA；（3）若 AB，B=C ，则 AC定理 1.1.2 设 A，B，C都是集合，则（l ）A A；（2）若 A B，BA，则 AB；（3）若 A B，BC，则 A C证明 （l ）显然（2）A B意即：若 xA，则 xB；BA意即：若 xB，则 xA这两者合起来正好就是AB的意思（3）xA由于 A B，故 xB；又由于 B C，从而 xC综上所述，如果 xA 就有 xC此意即 AC因为空集不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中由此我们可以得出结论：空集是惟一的设 A，B是两个集合如果AB，我们则称 A为 B的子集；名师归纳总结
8、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载如果 A是 B的子集，但 A又不等于 B，即 A B，AB，也就是说 A的每一个元素都是B 的元素，但 B 中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称 A为 B的真子集 . 我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族 . 例如，A=1,1,2,1,2,3是一个集族 .它的三个元素分别为 :1,1,2,1,2,3及. 设
9、X是一个集合， 我们常用P（X）表示 X的所有子集构成的集族，称为集合 X的幂集例如，集合1,2 的幂集是P=1,1,2,2,. 本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的正因为如此， 历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素即：若A是集合则 AA 不成立这一点是容易理解的例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样
10、一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了也因此，我们应当能够了解一个元素a 和仅含一个元素 a 的单点集 a 是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别作业：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“”与“”的意义1.2集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种
11、运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联定义 1.2.1 设 A与 B是两个集合集合x|x A 或 xB称为集合 A与集合 B的并集或并，记作 AUB ，读为 A并 B集合x|x A 且 xB称为集合 A与集合 B的交集或交，记作 AB，读为 A交 B若 AB=，则称集合 A与集合 B无交或不相交；反之，若AB，则称集合 A与集合 B有（非空的）交集合x|x A 且 x B称为集合 A与集合 B的差集，记作 AB或 AB，读为 A差 B，或 A减 B关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律定理 1.2.1 设 A，B，C都是集合则以下等式成立：（1）幂等律AAA AA=
12、A（2）交换律名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ABBAAB=B A （3）结合律(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)（4）分配律(AB)C(AC)(BC)(AB)C(AC)(BC)（5）DeMongan 律A-(BUC)=（(A- B)(A-C) A-(B C)(A-B)U(A-C) 集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联定理 1.2.2 设 A
13、，B是两个集合下列三个条件等价：（l ）AB；（2）ABA；（3）ABB定义 1.2.2 设 X是一个基础集对于X的任何一个子集 A，我们称 XA为 A（相对于基础集X而言）的补集或余集记作我们应当提醒读者，补集的定义与基础集的选取有关所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载定理 1.2.3 设 X是一个
14、基础集若A，B为 X的子集，则以上证明均只须用到集合的各种定义, 此处不证 , 略去. 作业:熟记这两节的各种公式 . 掌握证明两个集合A=B与 AB的基本方法（）1.3关 系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念定义 1.3.1 设 X和 Y是两个集合集合 （x，y）|x X，yY称为 X与 Y 的笛卡儿积，记作XY，读为 X叉乘 Y其中 (x ，y) 是一个有序偶， x 称为（x，y）的第一个坐标， y
15、称为（ x，y）的第二个坐标X称为 XY 的第一个坐标集， Y称为 XY 的第二个坐标集集合X与自身的笛卡儿积XX 称为 X的 2 重 （笛卡儿）积， 通常简单记作名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合
16、，这个办法对于读者并不陌生以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法我们应当注意， 一般说来集合 X与集合 Y的笛卡儿积 XY 完全不同于集合 Y与集合 X的笛卡儿积 YX定义 1.3.3 设 X， Y是两个集合如果 R是 X与 Y的笛卡儿积 XY的一个子集，即 R XY，则称 R是从 X到 Y的一个关系定义 1.3.4 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，即 R XY 如果(x ，y）R，则我们称 x 与 y 是 R相关的，并且记作 xRy如果 A X，则 Y的子集y Y|存在 xA 使得 xRy 称为集合 A 对于关系 R而言的象集，或者简单地称为集
17、合A的象集，或者称为集合 A的 R象，并且记作 R（A），R（X）称为关系 R的值域关系的概念是十分广泛的读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例这里有两个特别简单的从集合X到集合 Y的关系，一个是XY本身，另一个是空集请读者自己对它们进行简单的考查名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载定义 1.3.5 设 R是从集合 X到
18、集合 Y的一个关系，即 R XY 这时笛卡儿积 YX 的子集 （y，x）YX|xRy是从集合 Y 到集合 X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作如果 B Y，X 的子集（B）是集合 B的象,我们也常称它为集合 B对于关系 R而言的原象，或者集合B的 R原象特别，关系的值域（Y）也称为关系 R的定义域定义 1.3.6 设 R是从某个 X到集合 Y的一个关系，即 R XY，S是从集合 y 到集合 Z的一个关系，即 S YZ集合（x，z）XY|存在 yY 使得 xRy并且 ySz是笛卡儿积 XZ 的一个子集，即从集合X到集合 Z的一个关系， 此关系称为关系 R与关系 S的复合或积， 记作S R
19、定理 1.3.1 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系， S是从集合 Y到集合 Z的一个关系， T是从集合 Z到集合 U的一个关系则：证明(略) 定理 1.3.2 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系， S是从某个 Y到集合 Z的一个关系则对于X的任意两个子集A和 B，我们有：（1）R（AB） R（A）R（B）；（2）R（AB）R（A）R（B）；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资
20、料欢迎下载（3）（S R）（A）S(R(A) 证明(略) 在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广定 义1.3.7设是n 1个 集 合 集 合称为的笛卡儿积，并且记作或者其中为有次序的 n 元素组，(i=1,2,n)称为 n 元素组的第 i 个坐标，（i 1，2，n）称为笛卡儿积的第 i 个坐标集n1 个集合 X的笛卡儿积 XXX 常简单地记作n 个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中 n 维欧氏空间作为集合而言就是n 个直线（作为集合而言）的笛卡儿积需要提醒读者的是，如果你在给定的n 个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的
21、笛卡儿积会是完全不同的集合至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”， 此事将来再以某种方式补充（参见9 1）作业:理解“关系”的概念 , 掌握“关系”与“映射”的异同, “映射”与“函数”的异同 .( 映射要求象惟一 , 关系没要求 . 函数要求定义域与值域是数域 , 而映射不一定 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式1
22、.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间定义 1.4.1 设 X是一个集合从集合 X到集合 X的一个关系将简称为集合 X中的一个关系集合X中的关系 （x，x）|x X称为恒同关系，或恒同，对角线，记作（X）或定义 1.4.2 设 R是集合 X中的一个关系 . 关系 R称为自反的，如果(X)R， 即对于任何 xX， 有 xRx； 关系 R称为对称的，如果，即对于任何x，yX，如果 xRy 则 yRx；关系 R称为反对称的
23、，如果，即对于任何x，yX，xRy 和 yRx 不能同时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何 x，y，zX，如果 xRy，yRz，则有 xRz集合 X 中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合 X中的一个等价关系容易验证集合X 中的恒同关系（ X）是自反、对称、传递的, 因此是 X中的一个等价关系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载集合 X的幂集P(
24、X) 中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X) P(X) 的子集 （A，B）|A，BP(X) ，A=B 从定理 1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系集合 X的幂集P(X) 中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）P(X) 的子集 （A，B）|A，BP (X) ，AB 根据定理 1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X) 中的一个等价关系集合 X的幂集P(X) 中两个元素（即集合 X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X) P(X) 的子集 (A
25、 ，B)|A ，BP(X) ，A B,AB根据定理 1.1.3 可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X) 中的一个等价关系实数集合 R中有一个通常的小于关系，即RR 的子集 （x，y）|x ，yR，xy 容易验证关系是反对称的，传递的，但不是自反的设 p 是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系p 如下：=（x，y）ZZ|存在 nZ 使得 xy=np 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - -
26、 - - - 优秀学习资料欢迎下载关系常称为模 p 等价关系，容易验证模 p 等价关系是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系定义 1.4.3 设 R是集合 X中的一个等价关系 集合 X中的两个点x，y，如果满足条件： xRy，则称 x 与 y 是 R等价的，或简称为等价的；对于每一个 xX，集合 X的子集： y X|xRy 称为 x 的 R等价类或等价类，常记作或x ，并且任何一个y都称为 R等价类的一个代表元素；集族 | xX称为集合 X相对于等价关系 R而言的商集，记作 XR我们考虑整数集合Z 中的模 2 等价关系, 易见， 13 和 28 因此 1 与 3 是等价的， 2 和
27、 8 也是等价的整数 2 所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素此外易见，商集Z/有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中. 定理 1.4.1 设 R是非空集合 X中的一个等价关系则：（1）如果 xX，则 x，因而；（2）对于任意 x，yX，或者=，或者证明（1）设 xX，由于 R是自反的，所以 xRx，因此 x, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
28、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（3）对于任意x，yX，如果，设zx y.此时有zRx,且zRy由于 R是对称的，所以xRz又由于 R是传递的，所以xRy对于任何一个 t ， 有 tRx， 由上述 xRy和 R的传递性可见 tRy，即 t 这证明同理可证因此=( 注意: 要证或者或者 , 应从以下入手: 否定掉一个 , 去证另一个) 在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p 的等价关系将整数集合 Z分为互不相交的等价类，每一个等
29、价类记作，称为整数 x 的模 p 同余类让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n 维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合 （暂时记为 X）中定义一个关系， 使得两个固定向量 x 和 y相关（即 xy）当且仅当 x 能通过平面（或 n 维欧氏空间）的一个平移与 y 重合容易验证这个关系是X中的一个等价关系 每一个等价类便称为一个自由向量作业:熟练掌握等价关系, 等价类的概念 . 掌握商集的概念 . 明确商集的构成名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
30、 - - - - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1.5映射数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念定义 1.5.1 设 F是从集合 X到集合 Y的一个关系如果对于每一个 xX存在惟一的一个 yY 使得 xFy， 则称 F是从 X到 Y的一个映射，并且记作 F：XY换言之， F是一个映射，如果对于每一个xX：（1）存在 yY，使得 xFy；（2）如果对于Y 有和，则定义 1.5.2 设 X和 Y是两个集合， F：XY(
31、读做 F是从 X到 Y的一个映射 ) 对于每一个 xX，使得 xFy 的唯一的那个 yY 称为 x 的象或值，记作 F（x）；对于每一个 yY，如果 xX 使得 xFy（即 y 是x 的象），则称x 是 y 的一个原象（注意： yY 可以没有原象，也可以有不止一个原象）由于映射本身便是关系，因此，如果F 是从集合 X到集合 Y的一个映射，那么：（1）对于任何 A X，象 F（A）有定义，并且F(A)=F(x)|xA（2）对于任何 B Y，原象（B）有定义，并且（B）=xX|F(x) B( 注意 :(x) 与 (x)的异同, 前者不一定有意义 , 而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合) 名师
32、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（3）如果 Z也是一个集合并且G ：YZ，则关系的复合G F作为一个从 X到 Z的关系有定义；（4）作为从 Y到 X的一个关系有定义，但一般说来不是一个从 Y到 X的映射 ( 这要看 F是否是一一映射 )；（5）F的定义域有定义，并且它就是X；(意味着 X中的每个元素都必须有象 ) （6）F的值域有定义，并且它就是F（X）(F(X) 不一定充满
33、 Y) 定理 1.5.1 设 X，Y和 Z 都是集合如果F：XY 和 G ：YZ，则 G F：XZ；并且对于任何xX，有 G F（x）G(F(x)(这实际上是映射的积的本质) 证明( 略)( 但要理解上式等号左右两边的不同含义, 前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x 上, 后者是 F 先作用在 x 上, 然后 G再作用在 F(x) 上) 今后我们常用小写字母f ，g，h，表示映射定理 1.5.2 设 X和 Y是两个集合， f:X Y如果 A，B Y则（1）（AB）（A）（B）；（2）（AB）（A）（B）；（3）（A-B）（A）-（B）简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算证明( 略)
34、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载定义 1.5.3 设 X和 Y是两个集合， XY如果 Y中的每一个点都有原象（即 f 的值域为 Y，亦即 f（X）=Y），则称 f 是一个满射，或者称 f 为一个从 X到 Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何，如果，则有，则称f是一个单射；如果f 既是一个单射又是一个满射，则称f 为一个既单且满的映射，或者一一映射如果
35、 f （X）是一个单点集，则称f 是一个常值映射，并且当f （X）=y 时，我们也说 f 是一个取常值 y 的映射易见，集合 X中的恒同关系（ X）是从 X到 X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X 上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号或 i ：XX 来表示它根据定义易见，对于任何 xX，有 i(x)=x 概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射定理 1.5.3 设 X和 Y是两个集合又设f:X Y如果 f 是一个一一映射，则便是一个从 Y到 X的映射（因此我们可以写：YX），并且是既单且满的此外我们还有：和证明(略)
36、 定理 1.5.4 设 X，Y 和 Z 都是集合， f:X Y， g：YZ如果 f和 g 都是单射，则 gof:X Z 也是单射；如果 f 和 g 都是满射，则 g 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载f:X Z 也是满射因此，如果f 和 g 都是一一映射，则g f:X Z 也是一一映射这个定理的证明留给读者定义 1.5.4 设 X和 Y是两个集合，A是 X的一个子集映射 f
37、:X Y和 g：AY 如果满足条件 g f 即对于任何 aA 有 f（a）=g（a），则称 g 是 f 的限制，也称 f 是 g 的一个扩张，记作特别地，恒同映射：XX 在 X的子集 A上的限制：AX 称为内射这时我们有对于任何 aA，(a)=a 将映射定义作为一种特别的关系， 从理论上来说是十分清晰的 这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象如果每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象以下我们定义往后经
38、常要用到的两个映射作为例子定义 1.5.5 设是 n0 个集合， 1i n从笛卡儿积到它的第 i 个坐标集的投射（或称第 i 个投射）：X定义为对于每一个定义 1.5.6 设 R是集合 X中的一个等价关系 从集合 X到它的商集 X/R的自然投射： p:XX/R 定义为对于每一个xX，p（x）=作业:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载熟练掌握本节的所有定义与定理；注意定理 1
39、.3.2(2)与定理 1.5.2 的区别；熟练记忆 P23习题 1. 2与定理 1.5.2 1.6集族及其运算设 是一个集合如果对于每一个，指定了一个集合A，我们就说给定了一个有标集族， 或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族，同时 称为（有标）集族的指标集定理 1.6.2 设是一个非空的有标集族，A是一个集合则（1）对于任何，（2）分配律：（3）DeMorgan律：证明（略）如果集族满足条件：对于每一个，都是某一个集合 X的子集，这时我们称这个集族为集合X的一个子集族以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
40、- - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载定理 1.6.3 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，则对于集合 X的任何一个非空子集族，有证明（略）（这个定理对关系成立，当然对映射更成立注意这两个公式，一个是等式，一个是包含于关系）定理 1.6.4 设 X和 Y是两个集合， f ：XY则对于集合Y的任何一个非空子集族，有简言之，集族的原象保持集族的并与交运算证明（略）作业：熟练记忆这 3 个定理！1.7可数集，不可数集，基数定义 1.7.1 设 X
41、是一个集合如果 X是空集或者存在正整数nN使得集合 X和集合 1 ，2，n 之间有一个一一映射，则称集合X是一个有限集，不是有限集的集合称为无限集；如果存在一个从集合X到正整数集的单射，则称集合X 是一个可数集，不是可数集的集合称为不可数集 ( 注意: 无限集可能是可数集 , 也可能是不可数集 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载显然，凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限
42、集例如，正整数集本身便是一个可数集，但它不是有限集定理 1.7.1 任何可数集的任何一个子集都是一个可数集定理 1.7.2 设 X和 Y是两个集合， f:X Y 是一个映射如果X是可数集，则 f （X）也是一个可数集定理 1.7.3 集合 X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集到集合 X的一个满射定理 1.7.4 如果集合 X 和集合 Y都是可数集，则笛卡儿积XY也是一个可数集特别，集合是一个可数集定理 1.7.5 设是一个集族如果指标集 是可数集并且对于每一个 ,也是可数集，则并集是可数集定理 1.7.8 实数集合 R是不可数集作业:以上这些定理均要熟练记忆, 证明过程不要求记 . 1.8选
43、择公理 ( 略)本章总结 ：本章是点集拓扑学的预备知识，点集拓扑学需要对集合进行各种运算，因此就必须熟记本章的各种有关集合的运算公式：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（1）若干个集合的并、交、差运算：定义1.2.1 与定理1.2.1 ，定义 1.6.1 与定理 1.6.2 （2）若牵涉到两个空间之间集合的关系，则就要用到：定义1.5.2 ，定理 1.5.2 ，定理 1.6.4 与定理 1.6.3( 此定理中的关系R当然适用于映射 f) ，及课本 P23习题 1.2. 另：本章中有关等价类的概念及乘积空间，乘积空间到分空间的投射等概念也要深刻地理解好名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -