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5.3相似矩阵与矩阵的对角化,定理5,由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得,推论,若n阶矩阵A与对角阵,定理6,推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.,推论1,推论2,例3设矩阵,解,例4设A是3阶矩阵且I+A,3IA,I3A均不可逆.证明：,证,由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.,定理7,实对称矩阵的特征值全为实数.,定理8,定理9,由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。,推论,对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关,若是实对称矩阵A的r重特征根，则对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。,证明（略）,由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到,定理10,实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正,交矩阵P,使P-1AP=，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。,基本要求(1)理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征值与特征向量.(2)了解相似矩阵的概念及性质.(3)理解方阵可对角化的条件,掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法.(4)了解实对称矩阵的性质,掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法.,