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1、数数=线线性性代代5.35.3相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化数数=线线性性代代定理定理 5 5数数=线线性性代代 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理所以由定理5得得推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A与对角阵与对角阵数数=线线性性代代定理定理 6 6数数=线线性性代代数数=线线性性代代推论推论1 如果矩阵如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则的特征值都是单特征根，则 A 与与对角矩阵相似对角矩阵相似.推论推论1数数=线线性性代代推论推论 2 2数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数
2、=线线性性代代例例3 设矩阵设矩阵解数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代例例4 设设 A 是是 3 阶矩阵且阶矩阵且 I+A,3IA,I3A 均不均不可逆可逆.证明证明：证数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代 由前面的例题可知由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵但是当方阵A为实对称矩阵时为实对称矩阵时,A必可对角化必可对角化,且实对称矩阵对且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要于我们讨论下面的二次型非常重要.数数=线线性性代代定理定理 7 7实对
3、称矩阵的特征值全为实数实对称矩阵的特征值全为实数.数数=线线性性代代定理定理 8 8数数=线线性性代代定理定理 9 9 由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。推论推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若若是实对称矩阵是实对称矩阵A的的r重特征根，则对应特重特征根，则对应特征值征值恰有恰有r个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。证明证明（略）（略）由定理由定理6，定理，定理7，定理，定理8和定理和定理9可以得到可以得到定理定理 10 10实对称矩阵实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正一定可以对角化。即存在正交矩阵交矩阵P,使使P-1AP=，其中其中是以是以 A的的n个特征值为对角元素的个特征值为对角元素的对角矩阵。对角矩阵。数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代 基本要求基本要求(1)理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征值与特征向量.(2)了解相似矩阵的概念及性质.(3)理解方阵可对角化的条件,掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法.(4)了解实对称矩阵的性质,掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法.