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1、 Today:2/18/2023第二章 概率与概率分布主讲人：阮禄章主讲人：阮禄章生活中最重要的问题，其中占大生活中最重要的问题，其中占大多数实际上只是概率的问题。多数实际上只是概率的问题。拉普拉斯拉普拉斯 Today:2/18/2023引言引言第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率1.11.1基本概念基本概念1.21.2随机事件的概率随机事件的概率1.31.3概率的定义与性质概率的定义与性质1.41.4条件概率条件概率1.51.5事件的独立性与相关性事件的独立性与相关性小结小结内容提要内容提要第二节第二节 概率分布概率分布随机变量随机变量离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分
2、布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布补充材料补充材料1 1：1 1维随机变量维随机变量补充材料补充材料2 2：多维随机变量：多维随机变量 Today:2/18/2023教学重点：教学重点：概率论的基本运算方法。概率论的基本运算方法。教学要求：教学要求：了解概率与概率分布的相关知识。了解概率与概率分布的相关知识。Today:2/18/2023引 言概率概率(然率或几率然率或几率)随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中
3、叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B.帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C.惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题，解决了解决了“合理合理分配赌注问题分配赌注问题”(即得分问题即得分问题).概率论是一门研究客观世界随机现象数量概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.Today:2/18/2023发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上
4、的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现
5、象的分析产生了概率 Today:2/18/2023统计方法的数学理论要用到很多近代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用.但是它们是两个并行但是它们是两个并行的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.Today:2/18/2023本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有概率统计理论
6、与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中部门中.例如：例如：1.气象、水文、地震预报、人口控制及预气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与测都与 概率论概率论 紧密相关；紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样验收，新研制的药品能否在3.寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设计实验设计 和和数据处理；数据处理；临床中应用，均需要用到临床中应用，均需要用到 假设检验；假设检验；Today:2/18/20234.4.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、
7、病人候诊、存货控制、水库调度、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到型来描述，其涉及到 的知识就是的知识就是 排队论。排队论。正如法国数学家正如法国数学家 拉普拉斯所说拉普拉斯所说 :“:“生活中最生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。的问题。”Today:2/18/2023第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 1.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机现象随机现象1.1.2 1.1.2 随机现象的统计规律性随机
8、现象的统计规律性 1.1.3 1.1.3 样本空间样本空间1.1.4 1.1.4 随机事件及其运算随机事件及其运算 Today:2/18/20231.1 基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机现象随机现象 客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象（inevitable phenomenainevitable phenomena）确定性现象确定性现象（definite definite phenomenaphenomena）；另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象或或 不不 确确 定定 性性 现现 象象（indefinite p
9、henomenaindefinite phenomena）。）。在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数在重力的作用下，物体的位移随时间变化的函数x(t)x(t)，由二阶微分方程，由二阶微分方程 来描述，其中来描述，其中g g为为重力加速度，这是确定的，必然的。重力加速度，这是确定的，必然的。Today:2/18/2023随机现象随机现象掷一枚硬币掷一枚硬币,观察向上的面观察向上的面;下一个交易日观察股市的指数上升情况下一个交易日观察股市的指数上升情况;某人射击一次某人射击一次,考察命中环数考察命中环数;从一批产品中抽取一件从一批产品中抽取一件,考察其质量考察其质量;确定性现象确定性现象1.
10、1.导体通电导体通电,考察温度考察温度;2.2.异性电菏放置一起异性电菏放置一起,观察其关系观察其关系;Today:2/18/20231.1.2 1.1.2 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面正面”与与“反面反面”这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充充其量假定它可能是任意的实数。可见其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能全
11、部可能的结果的集合是已知的的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。且它会给我们的学习研究带来许多方便。Today:2/18/2023 进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，进行一次试验，如果其所得结果不能完全预知，但其全体可能结果是已知的，则称此试验为但其全体可能结果是已知的，则称此试验为随机试随机试验验，一般地，一个随机试验要具有下列特点：，一般地，一个随机试验要具有下列特点：（1 1）可重复性：可重复性：试验原则上可在相同条件下重复试验原则上可在相同条件下重复进行进行;（2 2）可观察性可观察性：试验结果是可观察的，所有可能：试
12、验结果是可观察的，所有可能的结果是明确的；的结果是明确的；（3 3）随机性随机性：每次试验将要出现的结果是不确：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。定的，事先无法准确预知。Today:2/18/2023 由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来，随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。的规律性。这一点被历史上许
13、多人的试验所证明。这一点被历史上许多人的试验所证明。抛掷硬币的试验结果可表明，在相同条件下抛掷硬币的试验结果可表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。机现象中数量规律的数学学科。下一节下一节下一节下一节 Today:2/18/2023 表表1.11.1抛掷硬
14、币试验抛掷硬币试验试验者试验者抛硬币次数抛硬币次数出现正面次数出现正面次数出现正面频率出现正面频率BuffonDe MorganFellerPearsonPearsonLomanovskii404040921000012000240008064020482048497960191201239699 0.5069 0.50050.49790.50160.50050.4923表表1.11.1列出列出BuffonBuffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近正面出现的频率非
15、常接近0.50.5，就是说，出现正面，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。与出现反面的机会差不多各占一半。下下下下一一一一节节节节 Today:2/18/20231.1.3 1.1.3 样本空间样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点）一个样本点）（不不 能能 再再 分的事件称为分的事件称为基本事件）基本事件），因而一个随，因而一个随机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称机试验的所有样本点也是明确的，它们的全体，称为为样本空间样本空间，习惯上分别用，习惯上分别用 与与 表示样本点与样表示样本点与样本空间。本空间。例例 抛掷两枚硬币观察其
16、正面与反面出现的情况。抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的情况。其样本空间由四个样本点组成。即其样本空间由四个样本点组成。即 =（正，正），（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）（正，反），（反，正），（反，反）。这里，比。这里，比如样本点如样本点 =（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而（正，反）表示第一枚硬币抛出正面而第二枚抛得反面。第二枚抛得反面。Today:2/18/2023 例例 连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以样本空间，我们约定以“0”“0”表示一次射击未中，而表示一次射击未中，而以以“1”“1”表示命中。则样本空间
17、表示命中。则样本空间 =1 =1，0101，001001，00010001，例例 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：个：t t小时，小时，样本空间为：样本空间为：例例 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有可数无穷多个：其样本点有可数无穷多个：i i次，次，i=0,1,2,i=0,1,2,样本空间为样本空间为=0=0次，次，1 1次，次，2 2次次,Today:2/18/2023写出下列各个试验的样本空间写出下列各个试验的样本空间:1 1 掷一枚均匀硬币，观察正面掷一枚均匀硬币，观察正面(H)
18、(H)反面反面(T)(T)出现的情况；出现的情况；2.2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；3.3.某袋子中装有某袋子中装有5 5个球个球,其中其中3 3个红球个红球,编号编号A A、B B、C,C,有有2 2 个黄球，编号个黄球，编号D D、F F，现从中任取一个球，现从中任取一个球,观察颜色观察颜色.若是观察编号呢？若是观察编号呢？4.袋中有编号为袋中有编号为1,2,3,n的球的球,从中任取一个从中任取一个,观察球的号码；观察球的号码；5.从自然数从自然数 1,2,3,N(N 3)中接连随意取三个中接连随意取三个,每取一个还原后再取下一个每取一
19、个还原后再取下一个.若若是不还原呢？若是一次就取三个呢？是不还原呢？若是一次就取三个呢？6.接连进行接连进行n次射击次射击,记录命中次数记录命中次数.若是记录若是记录n次射击中命中的总环数呢？次射击中命中的总环数呢？课堂练习课堂练习 Today:2/18/20231.1.4 1.1.4 随机事件及其运算随机事件及其运算 我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为出现。称这种由部分样本点组成的试验结果为随机随机事件事件，简称，简称事件事件。通常用大写的字母。通常用大写的字母 等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本
20、等表示。某事件发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。记点在试验中出现。记 为试验中出现的样本点，那为试验中出现的样本点，那么事件么事件A A发生当且仅当发生当且仅当 时发生。由于样本空间时发生。由于样本空间 包含了全部可能结果，因此在每次包含了全部可能结果，因此在每次试验中试验中 都会发都会发生，故称生，故称 为为必然事件必然事件。相反，空集。相反，空集 不包含任不包含任何样本点，每次试验必定不发生，故称何样本点，每次试验必定不发生，故称 为为不可不可能事件能事件。Today:2/18/20231.1.事件的包含事件的包含如果事件如果事件A A发生必然导致发生必然导致B B发生，即属于
21、发生，即属于A A的每一的每一个样本点一定也属于个样本点一定也属于B B，则称，则称事件事件B B包含事件包含事件A A，或，或称称事件事件A A包含于事件包含于事件B B。记作。记作 。2.2.事件相等事件相等如果事件如果事件A A包含事件包含事件B B，事件，事件B B也包含事件也包含事件A A，则，则称称事件事件A A与与B B相等相等。记作。记作 A=B A=B。3.3.事件的并事件的并“事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生”这一事件称作这一事件称作事事件件A A与与B B的并的并，记作。，记作。Today:2/18/20234.4.事件的交事件的交 “事件事件A A与
22、与B B都发生都发生”这一事件称作这一事件称作事件事件A A与与B B的的交交,记作记作 或或 。5.5.事件的差事件的差“事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生”这一事件称作这一事件称作事件事件A A与与B B的差的差,记作记作 A-B.A-B.事件事件A A与与B B不能同时发生，也就是说不能同时发生，也就是说ABAB是不可是不可能事件能事件,即即 ，则称，则称A A与与B B是是互不相容事件互不相容事件.6.6.互不相容事件互不相容事件7.7.对立事件对立事件 “事件事件A A不发生不发生”这一事件称作事件这一事件称作事件A A的的对立事对立事件件，记作，记作 ，易见，易见，。To
23、day:2/18/2023 8.8.完备事件组完备事件组 则称则称 是一个完备事件组。显然，是一个完备事件组。显然，A A与与 构成一个构成一个完备事件组完备事件组。为了帮助大家理解上述概念，现把集合论的有关结论为了帮助大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：与事件的关系和运算的对应情况列举如下：表表1.21.2符号符号集合论集合论概率论概率论全集全集样本空间：必然事件样本空间：必然事件空集空集不可能事件不可能事件 Today:2/18/2023 中的点（或称元素）中的点（或称元素）样本点样本点 单点集单点集 基本事件基本事件 的子集的子集A A事件事件A
24、A集合集合A A包含在集合包含在集合B B中中事件事件A A包含于事件包含于事件B B中中集合集合A A与集合与集合B B相等相等事件事件A A与事件与事件B B相等相等集合集合A A与集合与集合B B的并的并事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生集合集合A A与集合与集合B B的交的交事件事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生集合集合A A的余集的余集事件事件A A的对立事件的对立事件集合集合A A与集合与集合B B的差的差事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生集合集合A A与与B B没有公共元素没有公共元素事件事件A A与与B B互不相容（互斥）互不相容（互斥）续
25、上张续上张续上张续上张符号符号集合论集合论概率论概率论 Today:2/18/2023推广推广:注注:Today:2/18/20231.1.设事件设事件A=A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销，则则A A的对立事件为（的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.2.设设x x表示一个沿数轴做随机运动的质点位表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a
26、|A=|x-a|,B=x-a,B=x-a(0(0）A=x A=x2020，B=x20B=x20 A=x A=x2222，B=xB=x1919课堂练习课堂练习 Today:2/18/20231.2 1.2 随机事件的概率随机事件的概率1.2.1 1.2.1 概率和频率概率和频率1.2.2 1.2.2 组合记数组合记数 1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率1.2.4 1.2.4 几何概率几何概率1.2.5 1.2.5 主观概率主观概率第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率 Today:2/18/20231.2 1.2 随机事件的概率随机事件的概率1.2.1 1.2.1 概率和频率概率和
27、频率 概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）（即数量化）.这种量的大小我们称为这种量的大小我们称为事件的概率事件的概率。随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。确定随机事件发生的可能性大小。Tod
28、ay:2/18/2023 若随机事件若随机事件A A在在 n n 次试验中发生了次试验中发生了m m 次，则量次，则量 称为事件称为事件A A在在n n 次试验中次试验中 发生的发生的频率频率，记作，记作 ，即：，即：。它满足不等式：它满足不等式：如果如果A A是必然事件是必然事件,有有m=n,m=n,则则 ;如果如果A A是不是不 可能事件，有可能事件，有m=0,m=0,则则 ;就是说：必然事件的频率为就是说：必然事件的频率为1 1，不可能事件的频，不可能事件的频率为率为0 0。Today:2/18/2023 通过表通过表1.1投硬币实验可以看出，随着试验次投硬币实验可以看出，随着试验次数数
29、n的增加的增加,A发生的频率围绕发生的频率围绕0.5这个数值摆动的这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件幅度越来越小。即随机事件A发生发生的频率具有稳的频率具有稳定性。一般地，在大量重复试验中，定性。一般地，在大量重复试验中，随机事件随机事件A发发生的频率，总是在某个确定值生的频率，总是在某个确定值p附近徘徊，而且附近徘徊，而且试验次数越多，事件试验次数越多，事件A的频率就越来越接近的频率就越来越接近p,数数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的客观规律性，它是事件机现象的客观规律性，它是事件A在一次随机试在一次随机试验时发生可能性大小的度量
30、。验时发生可能性大小的度量。Today:2/18/2023投一枚硬币观察正面向上的次数投一枚硬币观察正面向上的次数 n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069 n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰(Buffon)投币投币 皮尔森皮尔森(Pearson)投币投币 Today:2/18/2023 概率的统计定义：概率的统计定义：在相同条件下重复进行的在相同条件下重复进行的 n 次次试验试验中中,事件事件 A 发生的频率稳定地在某一发生的频率稳定地在某一常常数数
31、p 附近摆动附近摆动,且随且随 n 越大摆动幅度越越大摆动幅度越小小,则称则称 p 为事件为事件 A 的概率的概率,记作记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用 Today:2/18/2023乘法原理乘法原理：完成一件事情有完成一件事情有n 个步骤，第个步骤，第 i 个个步骤中有步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情种具体的方法，则完成这件事情共有共有 种不同的方法。种不同的方法。1.2.2 1.2.2 组合记数组合记数加法原理：加法原理：完成一件事情有完成一件事情有n n 类方法，第类方法，第 i i 类方
32、法中有类方法中有 m mi i 种具体的方法，则完成这件种具体的方法，则完成这件事情共有事情共有 种不同的方法种不同的方法。Today:2/18/2023排列排列:从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个(不放不放 回地）按一定的次序排成一排不同的回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有排法共有全排列全排列:逐个取完逐个取完可重复排列可重复排列:从从 n 个不同的元素中可重复地个不同的元素中可重复地 取出取出 m 个排成一排个排成一排,不同的排法有不同的排法有种种.Today:2/18/2023重复组合重复组合:从从 n 个不同元素中每次取出一个，个不同元素中每次取出一个，放
33、回后再取下一个，如此连续取放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合次所得的组合称为重复组合，此种重复组合数共有称为重复组合，此种重复组合数共有组合组合:从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m 个个(不放回地）不放回地）组成一组，组成一组，不同的分法共有不同的分法共有 Today:2/18/2023例如例如:两批产品各两批产品各5050件件,其中次品各其中次品各5 5件件,从这两批产品中各从这两批产品中各抽取抽取1 1件件,(1)(1)两件都不是次品的选法有多少种两件都不是次品的选法有多少种?(2)(2)只有一件次品的选法有多少种只有一件次品的选法有多少种?解解(1)(1)用乘法原
34、理用乘法原理,结果为结果为(2)(2)结合加法原理和乘法原理得选法为结合加法原理和乘法原理得选法为:Today:2/18/2023(1)(1)古典概型古典概型 设设为试验为试验E E的样本空间，若的样本空间，若(2)a、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；b、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；c、试验的所有可能结果两两互不相容。(1)(1)古典概型概率的定义古典概型概率的定义 设E为古典概型,为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为:1.2.3 1.2.3 古典概率古典概率 Today:2/18/2023(1)(1)古典
35、概型的判断方法古典概型的判断方法（有限性（有限性、等概性）；、等概性）；(2)(2)古典概率的计算步骤：古典概率的计算步骤：弄清试验与样本点弄清试验与样本点;数清样本空间与随机事件中的样本点数数清样本空间与随机事件中的样本点数;列出比式进行计算。列出比式进行计算。注意注意:Today:2/18/2023例例1.2.1.2.将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1 1）两次掷得的点数之和为）两次掷得的点数之和为8 8；（；（2 2）第二次掷得）第二次掷得3 3点点.表示表示“点数之和为点数之和为8”8”事件，事件，表示表示“第二次掷得第二次掷得3
36、3点点”事件事件 解：解：设设所以所以则则 Today:2/18/2023例例1.2.1.2.箱中有箱中有6 6个灯泡个灯泡,其中其中2 2个次品个次品4 4个正品个正品,有放回地从中有放回地从中任取两次任取两次,每次取一个每次取一个,试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：（1 1）取到的两个都是次品）取到的两个都是次品;（2 2）取到的两个中正、次品各一个）取到的两个中正、次品各一个,（3 3）取到的两个中至少有一个正品）取到的两个中至少有一个正品.解：解：设设A=A=取到的两个都是次品取到的两个都是次品，B=B=取到的两个中取到的两个中正、次品各一个正、次品各一个,C=,C=取到的两个中
37、至少有一个正品取到的两个中至少有一个正品.（1 1）样本点总数为）样本点总数为6 62 2，事件，事件A A包含的样本点数为包含的样本点数为2 22 2，所以所以 P(A)=4/36=1/9 P(A)=4/36=1/9（2 2）事件）事件B B包含的样本点数为包含的样本点数为42+24=1642+24=16，所以所以P P（B B）=16/36=4/9=16/36=4/9（3 3）事件）事件C C包好的样本点数为包好的样本点数为6 62 2-22=32-22=32，P(C)=32/36=8/9P(C)=32/36=8/9所以P(C)=32/36=8/9 思考：思考：若改为无放回地抽取两次呢若改
38、为无放回地抽取两次呢?若改为一次抽取两个呢？若改为一次抽取两个呢？Today:2/18/2023(1)(1)几何概型几何概型 设设为试验为试验E E的样本空间，若的样本空间，若(2)(2)试验试验的样本空间是直线上某个区间，的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点样本点;(3)(3)每个样本点发生具有等可能性每个样本点发生具有等可能性;则称则称E E为为几何概型几何概型。(2)(2)几何概型概率的定义几何概型概率的定义 设试验的每个样本点是等可能落入区域设试验的每个样本点是等可能落入区域上上的随机点的随机点M M，且
39、，且D D含在含在内内,则则M M点落入子域点落入子域D(D(事件事件A)A)上的概率为上的概率为:1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 几何概型几何概型几何概型几何概型 (等可能概型的推广等可能概型的推广等可能概型的推广等可能概型的推广)Today:2/18/2023例例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率十分钟的概率.9点点10点点10分钟分钟 及及 在在是区间时，表示相应的长度；在是区间时，表示相应的长度；在是平面或空间区域时，表示相应的
40、面积或体积是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积。注：注：Today:2/18/2023例例 两船欲停靠同一个码头两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是是1 1 小时与小时与2 2 小时小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率需要等待空出码头的概率.解解:设船设船1 1 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为 x x，0 0 x 24 x 24 船船
41、2 2 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为 y y，0 0 y y 24 0,)0,则则 称称P(AB)/P(A)P(AB)/P(A)为事件为事件 A A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B B 发生的发生的条件概率条件概率，记为，记为定义定义:1.4.2 1.4.2 条件概率的定义条件概率的定义 Today:2/18/2023表表1.51.5给出乌龟的寿命表给出乌龟的寿命表.寻求下面一些事件的条寻求下面一些事件的条件概率件概率.表表1.51.5乌龟的寿命表乌龟的寿命表年龄年龄(岁岁)存活概率存活概率年龄（岁）年龄（岁）存活概率存活概率0 01.001.001401400.700.702020
42、0.920.921601600.610.6140400.900.901801800.510.5160600.890.892002000.390.3980800.870.872202200.080.081001000.830.832402400.0040.0041201200.780.782602600.00030.0003 （1 1）活到）活到6060岁的乌龟再活岁的乌龟再活4040年的概率是多少？年的概率是多少？（2 2）2020岁的乌龟能活到岁的乌龟能活到200200岁的概率是多少岁的概率是多少?Today:2/18/20231.4.3 1.4.3 条件概率的性质条件概率的性质 非负性非负
43、性 规范性规范性 可列可加性可列可加性 Today:2/18/2023利用条件概率求积事件的概率即利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式推广推广1.4.4 1.4.4 乘法公式乘法公式 Today:2/18/2023 某某公司生产的公司生产的PCRPCR仪能用仪能用10001000小时的概率为小时的概率为0.8,0.8,能用能用15001500小时的概率为小时的概率为0.4,0.4,求已用求已用10001000小小时的时的PCRPCR仪能用到仪能用到15001500小时的概率？小时的概率？解解 令令 A PCR A PCR仪能用到仪能用到10001000小时小时 B PCRB PCR仪用
44、到仪用到15001500小时小时所求概率为所求概率为 Today:2/18/2023 某批核酸试剂中，甲厂生产占某批核酸试剂中，甲厂生产占60%60%，已知甲厂的次，已知甲厂的次品率为品率为10%10%，从这批核酸试剂中随意的抽取一瓶，求该，从这批核酸试剂中随意的抽取一瓶，求该试剂是甲厂生产的次品的概率。试剂是甲厂生产的次品的概率。解解:设设 A A 表示事件表示事件“核酸试剂是甲厂生产的核酸试剂是甲厂生产的”，B B 表示事件表示事件“试剂是次品试剂是次品”由题设知由题设知根据乘法公式，有根据乘法公式，有 Today:2/18/2023 一批产品一批产品100100件件7070件正品件正品3
45、030件次品件次品甲厂生产甲厂生产4040件件乙厂生产乙厂生产3030件件甲厂生产甲厂生产2020件件乙厂生产乙厂生产1010件件从中任取从中任取1 1件件,记记A=“A=“取到正品取到正品”,B=“”,B=“取到甲厂产品取到甲厂产品”,”,试计算试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解:Today:2/18/2023 从混有从混有5 5张假钞的张假钞的2020张百元钞票中任意抽出张百元钞票中任意抽出2 2张张,将其中将其中1 1张放到验钞机上检验发现是假钞张放到验钞机上检验发现是假钞.求求2 2 张都张
46、都是假钞的概率是假钞的概率.解解:令令 A A 表示表示“抽到抽到2 2 张都是假钞张都是假钞”.”.B B表示表示“2“2 张中至少有张中至少有1 1张假钞张假钞”则所求概率是则所求概率是 而不是而不是 ！）！）.所以所以 Today:2/18/2023 人人们们在在计计算算某某一一较较复复杂杂的的事事件件的的概概率率时时，有有时时根根据据事事件件在在不不同同情情况况或或不不同同原原因因或或不不同同途途径径下下发发生生而而将将它它分分解解成成两两个个或或若若干干互互不不相相容容的的部部分分的的并并，分分别别计计算算概概率率，然然后后求求和和。全全概概率率公公式式是是概概率率论论中中的的一一个
47、个基基本本公公式式，它它使使一一个个复复杂杂事事件件的的概概率率计计算算问问题题化化繁繁就就简简，得以解决。得以解决。例如：股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影例如：股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为估计利率下调的概率为60%,60%,利率不变的概率为利率不变的概率为40%.40%.根据经验根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为为80%80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的
48、概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%40%，求该支股票将上涨的概率。求该支股票将上涨的概率。1.4.5 1.4.5 全概率公式全概率公式 Today:2/18/2023解解解解:A:A:A:A记为事件记为事件记为事件记为事件“利率下调利率下调利率下调利率下调”，那么即，那么即，那么即，那么即 为为为为“利率不变利率不变利率不变利率不变”，B B B B记为事件记为事件记为事件记为事件“股票价格上涨股票价格上涨股票价格上涨股票价格上涨”.”.”.”.据题设知据题设知据题设知据题设知:于是于是=60%80%+40%40%=64%=60%80%+40%40%=64%Today:2/
49、18/2023定义定义 把基本空间分为把基本空间分为n n个事件，假如个事件，假如（1 1）（2 2）互不相容互不相容（3 3）则称事件组则称事件组 为基本空间的一个为基本空间的一个分割分割。B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5 Today:2/18/2023定定理理1.4.31.4.3 设设 是是基基本本空空间间 的的一一个个 分割，则对分割，则对 中任一事件中任一事件 ，有，有 上述公式称为上述公式称为全概率公式全概率公式。证明：由事件运算知（见图证明：由事件运算知（见图1.21.2）由由 互不相容，可导出互不相容，可导出 亦亦 互不相容，互不相容，再由可加性和乘法
50、公式可得再由可加性和乘法公式可得 Today:2/18/2023 这个定理的运用关键在于寻找一个合适的分割，这个定理的运用关键在于寻找一个合适的分割，使诸概率和条件概率容易求得。使诸概率和条件概率容易求得。Today:2/18/2023 (敏感性问题的调查敏感性问题的调查敏感性问题的调查敏感性问题的调查)学生考试作弊会严重影响学风和大学生考试作弊会严重影响学风和大学生考试作弊会严重影响学风和大学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩学生身心健康