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1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与面积最值定值问题1.如图，抛物线ya(x2)22与y轴交于点A(0，2)，顶点为B(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P(t，y1)，Q(t3，y2)都在抛物线上，且y1y2，求P，Q两点的坐标；(3)在(2)的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线yxm与y轴交于点D，连接DQ，DB，求BDQ面积的最大值和最小值2.如图，抛物线yax2xc与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，2)，连接AC，BC(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；(2)将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否
2、落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax2bxc交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，)(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BEOD，垂足为E，若BE2OE，求点D的坐标；(3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记BMN的面积为S1，ABN的面
3、积为S2，求的最大值4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(13，10)(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当PBQ的面积最大时，求P的坐标5.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，且A(1，0)，对称轴为直线x2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C当CAB45时，求点C的坐标；(3)点D在抛物线上与点C关
4、于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P(xP，yP)，当1xPa，1a5时，求PCD面积的最大值(可含a表示)6.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A和点C(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDx轴于点D，交AB于点E(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，作PFPD于点P，使PFOA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF当矩形PEGF的面积是BOC面积的3倍时，求点P的坐标；(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围7.如图，等腰直角三角形O
5、AB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴(1)求直线AB的解析式；(2)求过B，C两点的抛物线yx2bxc的解析式；(3)抛物线yx2bxc与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；(4)若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax22ax3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB2OA(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CFy轴交抛物线于点F，连接DF
6、，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；(3)在(2)的条件下，过F作FMy轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当BAD2AMN90，MN：EG2：5，求点D的坐标9.如图，已知抛物线yax21.6xc与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，直线l:y4与x轴交于点D，点P是抛物线yax21.6xc上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S求S关于m的函数解析式及S的最大值；点Q是直线PE
7、上一动点，当S取最大值时，求QOC周长的最小值及FQ的长10.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒(t0)，抛物线yx2bxc经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，5)，D(4，0)(1)求c，b(含t的代数式表示)；(2)当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式并求t为何值时，MPN的面积为答案1.解：(1)将A(0，2)代入到抛物线解析式中，得，4a22，解得，a1，抛物线解析式为
8、y(x2)22；(2)y1y2，(t2)22(t32)22，解得，t，P(,)，Q(,)；(3)由题可得，顶点B为(2，2)，将直线yxm进行平移，当直线经过B点时，22m，解得m0，当直线经过点Q时，+m，解得m，经过点C直线yxm与y轴交于点D，D为(0，m)，点C是线段QB上一动点，0m，延长QB交y轴于点E，设直线QB的解析式为ykxb，代入点Q、B坐标得，解得，QB的解析式为：，令x0，则y5，E(0，5)，由图可得，SBDQSDEQSDEB，0m，当m0时，SBDQ最小值为，当m时，SBDQ最大值为2.解：(1)抛物线yax2xc过点A(1，0)，C(0，2)，解得：抛物线的表达式
9、为yx2x2设直线AC的表达式为ykxb，则，解得：直线AC的表达式为y2x2(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由是：抛物线的表达式为yx2x2，点B坐标为(4，0)OA1，OC2，又AOCCOB90，AOCCOBACOCBOACOBCOOBCBCO90，ACBC将ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DCAC，过点D作DEy轴交y轴于点E，如图1又ACODCE，ACODCE(AAS)DEAO1，则点D横坐标为1，抛物线的对称轴为直线x故点D不在抛物线的对称轴上(3)设过点B、C的直线表达式为ypxq，C(0，2)，B(4，0)，解得：过点B、C的直线解析式为yx2
10、过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为(1，)，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2设点P坐标为(m，m2m2)，则点N坐标为(m，m2)，PNm2(m2m2)m22m，PNAM，AQMPQN若分别以PQ、AQ为底计算BPQ和BAQ的面积(同高不等底)，则BPQ与BAQ的面积比为，即0，当m2时，的最大值为，此时点P坐标为(2，3)3.解：(1)依题意，设ya(x1)(x3)，代入C(0，)得：a1(3)，解得：a，y(x1)(x3)x2x；(2)BE2OE，设OE为x，BE2x，由勾股定理得：OE2BE2OB2，x24x29，解得：x1，x2(舍)，OE，BE，过点E
11、作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BGTG于G，ETOOEB，OE2OBTE，TE，OT，E(，)，直线OE的解析式为y2x，OE的延长线交抛物线于点D，解得：x11，x23(舍)，当x1时，y2，D(1，2)；(3)如图所示，延长BC于点F，AFy轴，过A点作AHBF于点H，作MTy轴交BF于点T，过M点作MGBF于点J，AFMT，AFHMTJ，AHBF，MJBF，AHFMJT90，AFHMJT，S1NBMJ，S2NBAH，设直线BC的解析式为ykxb，将B，C两点代入得，解得：，直线BC的解析式为yx，当x1时，y(1)2，F(1，2)，AF2，设M(x，x2x)，MTx(x2x)(x)
12、2，a0，MTmax，4.解：(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：由题意得EOBDHC90，ABCD，EBODCH，EBODCH，B(2，0)、C(8，0)、D(13，10)，BO2，CH1385，DH10，解得：EO4，点E坐标为(0，4)，设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：ya(x2)(x8)，将E点代入得：4a2(8)，解得：a，过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y(x2)(x8)x2x4；(2)抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：由(1)可知该抛物线对称轴为直线x3，当x3时，y，该抛物线的顶点坐标为(3，)，又F是AD的中点，F(8，10)，设直线EF的解析式为：yk
13、xb，将E(0，4)，F(8，10)代入得，解得：，直线EF解析式为：y，把x3代入直线EF解析式中得：y，故抛物线的顶点在直线EF上；(3)由(1)(2)可知：A(3，10)，设直线AB的解析式为：ykxb，将B(2，0)，A(3，10)代入得：，解得：，直线AB的解析式为：y2x4，FQAB，故可设：直线FQ的解析式为：y2xb1，将F(8，10)代入得：b16，直线FQ的解析式为：y2x6，当x0时，y6，Q点坐标为(0，6)，设M(0，m)，直线BM的解析式为：yk2xb2，将M、B点代入得：，解得：，直线BM的解析式为：y，点P为直线BM与抛物线的交点，联立方程组有：，化简得：(x2
14、)(x82m)0，解得：x12(舍去)，x282m，点P的横坐标为：82m，则此时，SPBQMQ(|xP|xB|)(m)2，a10，当m时，S取得最大值，点P横坐标为82()9，将x9代入抛物线解析式中y，综上所述，当PBQ的面积最大时，P的坐标为(9，)5.解：(1)抛物线过A(1，0)，对称轴为x2，解得，抛物线表达式为yx24x5；(2)过点C作CEx轴于点E，CAB45，AECE，设点C的横坐标为xc，则纵坐标为ycxc1，C(xc，xc1)，代入yx24x5得，xc1xc24xc5，解得xc1(舍去)，xc6，yc7，点C的坐标是(6，7)；(3)由(2)得C的坐标是(6，7)，对称
15、轴x2，点D的坐标是(2，7)，CD8，CD与x轴平行，点P在x轴下方，设PCD以CD为底边的高为h，则h|yp|7，当|yp|取最大值时，PCD的面积最大，1xpa，1a5，当1a2时，1xpa，此时yx24x5在1xpa上y随x的增大而减小，|yp|max|a24a5|54aa2，h|yp|7124aa2，PCD的最大面积为：SmaxCDh8(124aa2)4816a4a2；当2a5时，此时yx24x5的对称轴x2含于1xpa内，|yp|max|22425|9，h9716，PCD的最大面积为SmaxCDh81664，综上所述：当1a2时，PCD的最大面积为4816a4a2；当2a5时，PC
16、D的最大面积为646.解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为yx2x3；(2)对于yx2x3，令yx2x30，解得x4或1，故点A的坐标为(4，0)，则PF2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为yx3，设点P的坐标为(x，x2x3)，则点E(x，x3)，则矩形PEGF的面积PFPE2(x2x3x3)3SBOC3BOCO31，解得x1或3，故点P的坐标为(1，)或(3，3)；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x，故点Q的坐标为(，n)，当ABQ为直角时，如图21，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tanBAO，则tanBHO，故设直线BQ的表达式为yxt，该直线过点B(0，
17、3)，故t3，则直线BQ的表达式为yx3，当x时，yx35，即n5；当BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，BQNMQA90，MQAMAQ90，BQNMAQ，tanBQNtanMAQ，即，解得n；当BAQ为直角时，同理可得，n；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为n或n57.解：(1)点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，点A的坐标为(0，4)且OA4，OAB是等腰直角三角形，AOB90，OBOA4，点B的坐标为(4，0)，设直线AB的解析式为：ymxn，由题意得 ，解得：，直线AB的解析式
18、为：yx4；(2)抛物线yx2bxc过B，C两点，解得：，抛物线的解析式为：yx23x4；(3)BDOC；理由：抛物线的解析式为yx23x4x)2，抛物线的对称轴直线为x，点B的坐标为(4，0)，点B与点D关于对称轴对称，点D的坐标为(1，0)，BD4(1)5，点C的坐标为(3，4)，OC5，BDOC；(4)点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，AC3，SABCACyC346，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作MNy轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，t23t4)，则N的坐标为(t，t4)，MNt23t4(t4)t24t，SAMBMNxB(t24t)42t28t，ABM的面积
19、与ABC的面积相等，2t28t6，解得：t1或t3(舍，该点为点C)，此时M的坐标为(1，6)或(3，4)；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作MNx轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，t23t4)，则N的坐标为(t23t，t23t4)，MNt23ttt24t，SABMMNyA(t24t)42t28t，ABM的面积与ABC的面积相等，2t28t6，解得：t2，此时M的坐标为(2，1)或(2，1)；综上可得，M的坐标为(2，1)或(2，1)或(1，6)8.解：(1)抛物线yax22ax3与y轴正半轴交于点C，与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，C(0，3)，对称轴x1，BO
20、1AO1，BOAO2，BO2AO，AO2，BO4，即 A(2，0)，B(4，0)，把B(4，0)代入yax22ax3，得：016a8a3，解得：a，y(x2)(x4)，即yx2x3；(2)过点D作DTy轴于点T，由(1)得：C(0，3)，点F与点C关于对称轴对称，坐标为F(2，3)，CF2，点D的横坐标的t，点D是第四象限内抛物线上一点，D(t，t2t3)，A(2，0)，tanBAD(t4)，OEAOtanBAD2(t4)t3，CECOOE3(t3)t，SCEDCEDT(t)tt2，SCFDCFCT23(t2t3)t2t，S四边形CEDFSCEDSCFDt2t2tt2t；即St2t；(3)过点
21、E作ELFM于点L，过点M作MSx轴于点S，四边形CFMS、四边形CFLE是矩形，SMCF2OA，SMAO，1，OEESt3，CEt，CSCEESt3，由(2)知：D(t，t2t3)，tanBAD(t4)，tanCDTt，CFDT，FCGCDT，即tanFCGtanCDT，FGCFtanCDTt，GLFLFGCEFGt(t)，EG，MN：EG2：5，MN，NS3，NENSES3(t3)6tME，在RtESM中，ESM90，由勾股定理得：ES2SM2EM2，(t3)222(6t)2，解得：t，D(，)9.解：(1)抛物线yax21.6xc经过A(2，0)、C(0，4)，解得：，该抛物线的表达式为
22、yx21.6x4；(2)如图1，连接BP，抛物线yx21.6x4，令y0，得x21.6x40，解得：x110，x22，B(10，0)，设P(m，m21.6m4)，PEx轴，E(m，0)，OEm，BEm10，PE(m21.6m4)m21.6m4，SSPBES梯形OCPE(m10)(m21.6m4)(m21.6m44)(m)m210m20，Sm210m20(m5)245，当m5时，S的最大值为45；由得：当m5时，S的最大值为45，P(5，7)，E(5，0)，OEBE5，PEx轴，直线PE是线段OB的垂直平分线，点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QOQB，QOQCQBQCBC，此
23、时QOQC最小，即QOC的周长最小，在RtBCO中，BC2，QOC的周长的最小值为：BCOC24，设直线BC的解析式为ykxb，把B(10，0)，C(0，4)代入，得，解得：，直线BC的解析式为yx4，当x5时，y(5)42，Q(5，2)；直线l的解析式为yx4，当x5时，y(5)4，F(5，)，FQ(2)，故QOC周长的最小值为24，FQ的长为10.解：(1)将(0，0)代入yx2bxc，c0，由题可知P(t，0)，t2bt0，bt；(2)AMP的大小不会变化，理由如下：由(1)知yx2tx，四边形ABCD是矩形，M(1，1t)，AMt1，P(t，0)，A(1，0)，APt1，AMAP，AMAP，AMP45；A(1，0)，D(4，0)，M(1，1t)，N(4，164t)，AMt1，DN4t16，SMNPSDPNS梯形NDAMSPAM(t4)(4t16)(4t16t1)3(t1)2t2t6，MPN的面积为，t2t6，解得t或t，4t5，t学科网（北京）股份有限公司