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1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与矩形存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m以PQ，QM为边作矩形PQMN(1)求抛物线的解析式；(2)当点Q与点M重合时，求m的值；(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)
2、，过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m以PQ，QM为边作矩形PQMN(1)求b的值(2)当点Q与点M重合时，求m的值(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围3.在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc(b、c是常数)经过点(0，1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标
3、为12m当ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式(3)设点D的坐标为(m，2m)，点E的坐标为(1m，2m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围4.如图1，抛物线yax2xc(a0)与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m(1)求抛物线的表达式；(
4、2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；(3)如图2，过点P作PFCE，垂足为F，当CFEF时，请求出m的值；(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标5.如图，已知抛物线C1：ya1x2b1x1c和C2：ya2x2b2xc2(|a1|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)(2)若抛物线C1的解析
5、式为yx22x，确定对称抛物线C2的解析式(3)若MN4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式6.如图，抛物线yax23xc与x轴交于点A，B，直线yx1与抛物线交于点A，C(3，n)点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标(2)已知直线l：xm5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PEl于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 (请直接写出)在的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值7.已知二次函数yx2nxn22n3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n1，点B
6、的横坐标为2n2，在点A和点B之间的图象为G(1)当n2时，求二次函数图象的顶点坐标；当1x3时，求y的取值范围(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作ADy轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值(3)当图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围8.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的
7、直角坐标系，则该抛物线的解析式为 (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值如图，过原点作一条yx的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问：在直
8、线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由9.如图；已知抛物线yax23xc与直线yx1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上(1)求a，c，n的值；(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m直线l：xm5与直线AB交于点C，过点P作PDl于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部直接写出：m的取值范围是 ；求PDCD的最小值10.已知抛物线L：yx24xa(a0)(1)抛物线L的对称轴为直线 (2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围(3)当a0时，直线xa、x3a与抛物
9、线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且ABy轴若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长(4)点M的坐标为(4，1)，点N的坐标为(1，1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围答案1.解：(1)当x2时，y点B的坐标为(2，)，当y0时，x2x0解得x11，x23抛物线yx2x与x轴正半轴交于点A，点A的坐标为(3，0)由题意，得，解得，直线AB对应的函数关系式为yx(2)当点P与点A重合时，m13解得m22m4点D的纵坐标为1点E的坐标为(4，1)(3)将yx2x配方，得y(x1)22抛物线的顶点坐标为(1
10、，2)由题意，得点E的坐标为(2m,m21)点E在该抛物线上，解得，当2m1时，即m，顶点(1，2)在EF的左边，抛物线的顶点到EF的距离为综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为或(4)当点F(2m，m3)在抛物线上时，m32m22m，解得m或1，当E在抛物线上时，m，当点P与A重合时，m2，观察图1，图2，图3可知，当或或m2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交也可以写成：当或m1或m2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交2.解：(1)把点A(3，0)代入yx2bx，得到03b，解得b1(2)抛物线的解析式为yx2x，P(m，m2m)，M，Q重合，mm2m，解得m0或4(3)yx2x
11、(x1)22，抛物线的顶点坐标为(1，2)，由题意PQMQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，3mm(m2m)且m2，得m解得m1或1(不合题意舍弃)，m1(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有mm2m，m24m0，解得0m4，观察图象可知当0m3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图41中，当3m4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图42中，综上所述，满足条件的m的值为0m3或m43.解：(1)把(0，1)和(2，7)代入yx2bxc，得：
12、，解得：，抛物线对应的函数表达式为：yx22x1，yx22x1(x1)22，顶点C的坐标为(1，2)；(2)当x12m时，y(12m1)224m22，B(12m，4m22)当ABC是以AB为底的等腰三角形时，则ACBC，又点C在抛物线对称轴x1上，点A、点B关于直线x1对称，A(2m1，4m22)，点A的横坐标为m，2m1m，解得：m1，A(1，2)，B(3，2)，由(1)得，C(1，2)，SABC1(3)2(2)8；A(m，(m1)22)，B(12m，4m22)当点A是最高点，即m1或m时，则h(m1)22(2)(m1)2；当点B是最高点，即m1时，则h4m22(2)4m2，综上，h与m之间
13、的函数关系式为：h(m1)2(m1或m)或 h4m2(m1)；(3)当m1时，则2m3，1m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；当1m1时，则12m3，01m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当1m2时，则02m1，11m0，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当2m3时，则12m0，21m1，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；当3m4时，则22m1，31m2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；当m4时，则2m2，1m3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点)；当m4时，则2m2，1m3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个
14、交点综上，当m1或m4时，抛物线与矩形有3个交点4.解：(1)抛物线yax2xc(a0)与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，解得：，抛物线的表达式为yx2x3；(2)抛物线yx2x3与y轴交于点C，C(0，3)，设直线BC的解析式为ykxb，把B(6，0)、C(0，3)代入，得：，解得：，直线BC的解析式为yx3，设点P的横坐标为m，则P(m，m2m3)，E(m，m3)，hm2m3(m3)m2m，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，0m6，hm2m(0m6)；(3)如图，过点E、F分别作EHy轴于点H，FGy轴于点G，P(m，m2m3)，E(m，m3)，PEm2m，PFCE，EPFPEF
15、90，PDx轴，EBDBED90，又PEFBED，EPFEBD，BOCPFE90，BOCPFE，在RtBOC中，BC3，EF(m2m)，EHy轴，PDx轴，EHOEDODOH90，四边形ODEH是矩形，EHODm，EHx轴，CEHCBO，即，CEm，CFEF，EFCEm，m(m2m)，解得：m0或m1，0m6，m1；(4)抛物线yx2x3，抛物线对称轴为直线x2，点Q在抛物线的对称轴上，设Q(2，t)，设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ3t，CG2，CGQ90，当点O恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO，即CQOD，COPOCQ90，又四边形OCPD
16、是矩形，CPOD4，OC3，OCP90，PCQOCQ90，PCQCOP，tanPCQtanCOP，tanPCQ，解得：t，Q(2，)；当点O恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，点O与点O关于直线CQ对称，CQ垂直平分OO，OCQDCQ，GHOC，CQGOCQ，DCQCQG，CKKQ，C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GHOCPD，点K是CD的中点，K(2，)，GK，CKKQt，在RtCKG中，CG2GK2CK2，22()2(t)2，解得：t11(舍去)，t21，Q(2，1)；当点O恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O作OKy轴于点K，连接OO交CQ于点
17、M，点O与点O关于直线CQ对称，CQ垂直平分OO，OCMOCM，OMCOMC90，OCOC3，OKCDOC90，OCKDCO，OCKDCO，即，OK，CK，OKOCCK3，O(，)，点M是OO的中点，M(，)，设直线CQ的解析式为ykxb，则，解得：，直线CQ的解析式为yx3，当x2时，y234，Q(2，4)；综上所述，点Q的坐标为(2，)或(2，1)或(2，4)5.解：(1)观察函数图象，可得出对称抛物线的特征：点M，N关于原点O对称；两抛物线的顶点坐标关于原点O对称(2)抛物线C1的解析式为yx22x，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(1，1)；当y0时，x22x0，解得：x10，x2
18、2，点M的坐标为(2，0)，点N的坐标为(2，0).将B(1，1)，N(2，0)代入ya2x2b2x中，得：，解得：，对称抛物线C2的解析式为yx22x(3)MN4，OMMN42，抛物线C1的对称轴为直线x1，点M的坐标为(2，0)，点N的坐标为(2，0)设点A的坐标为(1，m)，则AM2(12)2m2，AN21(2)2m2四边形ANBM是矩形，AMN为直角三角形，AM2AN2MN2，即(12)2m21(2)2m242，解得：m1，m2，点A的坐标为(1，)或(1，)当点A的坐标为(1，)时，将A(1，)，M(2，0)代入ya1x2b1x，得：，解得：，对称抛物线C1的解析式为yx22x；当点
19、A的坐标为(1，)时，将A(1，)，M(2，0)代入ya1x2b1x，得：，解得：，对称抛物线C1的解析式为yx22x；点A，B关于原点O对称，点B的坐标为(1，)或(1，)，同理，可得出对称抛物线C2的解析式为yx22x或yx22x综上所述，对称抛物线C1和C2的解析式为yx22x，yx22x或yx22x，yx22x6.解：(1)yx1，当y0时，x1，A(1，0)直线yx1与抛物线交于点A，C(3，n)将C(3，n)代入yx1，得n314，C(3，4)将A(1，0)，C(3，4)分别代入yax23xc，得，解得，抛物线的解析式为yx23x4，抛物线的顶点坐标为；(2)m，由题意可知，P(m
20、，m23m4)，E(m5，m23m4)，D(m5，m6)抛物线的顶点在矩形PEDF内部，可得：，解得：，故答案为：m；DFPE(5m)m5，DEm6(m23m4)m22m2(m1)21m，当m1时，DE最小，最小值为1，矩形PEDF周长的最小值为2125127.解：(1)当n2时，yx22x1(x2)21，顶点为(2，1)； 1x3，当x1时，函数有最小值3.5，当x2时，函数有最大值1，3.5y1；(2)yx2nxn22n3(xn)22n3，顶点为(n，2n3)，点A的横坐标为n1，A(n1，2n3.5)，点B的横坐标为2n2，B(2n2，n24n5)，ADy轴，D(0，2n3.5)，设直线
21、AB的解析式为ykxb，解得，y(n)xn22，C(0，n22)，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，E(n1，n22)，当n10时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不能落在矩形ADCE的边上；当n10，即n1，顶点在CD边上时，n0；(3)如图1，当2n2n，即n2时，2nn24n5，解得n3或n1，当n3时，3n42n3，3n42n33时，解得n4时，图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为3；如图2，当n12n2时，即n1，2n3n43，3n4(n24n5)3，解得n；综上所述：n4或n时，图象G上存在两个点到直线y3n4的距离为38.解：(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5，6.25
22、)，且图象过(10，0)点，代入顶点式得：ya(x5)26.25，0a(105)26.25，解得：a0.25，y0.25(x5)26.25；故答案为：y0.25(x5)26.25(2)当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，10324，422，x2代入解析式得：y0.25(25)26.25；y4，43.50.5，隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；(3)I假设AOx，可得AB102x，AD0.25(x5)26.25；矩形ABCD的周长为l为：l20.25(x5)26.252(102x)0.5x2x20，l的最大值为：20.5如图，当以P、N、Q为顶点的三角形
23、是等腰直角三角形，P在yx的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点QPOAOPA45，Q点的纵坐标为5，5，解得：m5，如图，当P3NQ390时，过点Q3作Q3K1对称轴，当NQ3K1为等腰直角三角形时，NP3Q3为等腰直角三角形，Q点在OM的上方时，P3Q32Q3K1，P3Q3x2x，Q3K15x，Q点在OM的下方时，P4Q42Q4K2，P4Q4x(x2)，Q4K2x5，x2x100，解得：x14，x210，P3(4，4)，P4(10，10)使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：(5，5)或(5，5)或(4，4)或(10，10)9.解：(1)对直线yx1，当x3时，n4
24、，当y0时，x1，点A(1，0)，B(3，4)，将点A和点B的坐标代入抛物线yax23xc，得，解得：(2)a1，c4，抛物线的解析式为yx23x4(x)2，P的坐标为(m，m23m4)，顶点坐标为(,)，点D的坐标为(m5，m23m4)，直线l：xm5与直线AB交于点C，C(m5，m6)，抛物线的顶点在矩形PDCE内部，解得：m，m的取值范围为mP的坐标为(m，m23m4)，点D的坐标为(m5，m23m4)，C(m5，m6)，PD5，CDm6(m23m4)m22m2，PDCDm22m25(m1)26，当m1时，PDCD的最小值为610.解：(1)yx24xa(x2)24a，抛物线的对称轴为直
25、线x2，故答案为：x2；(2)抛物线开口向下，y3与抛物线有两个不同的交点，抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，34a3，即7a1；(3)由题意可知A(a，a25a)，B(3a，a25a)，C(3a，9a211a)，D(a，9a211a)，由题意可得9a211a2，解得a1或a，当a时，AB4a，AD9a211aa25a8a216a，矩形ABCD的周长2()；当a1时，AB4，AD8，矩形ABCD的周长2(48)24；综上所述：矩形ABCD的周长为24或；(4)当a0时，界点(1，5a )在点N 处或下方满足条件，此时5a1，所以0a4 当a0时，若界点(4，a )在x 轴下方，MN 上方，且界点(1，5a )在点N 处或其下方满足条件，解得1a0，若顶点(2，4a )与MN 相切，满足条件，此时4a1，解得a5综上，1a4且a0或a5学科网（北京）股份有限公司