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1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与菱形存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：yx2bxc经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x1，顶点为点B(1)求这条抛物线的解析式；(2)将抛物线L1平移到抛物线L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E已知点C(2，1)，若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB3OA3，点P是抛物线上一动点(1)求抛物线的解析式及点C坐标；(2)如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，
2、求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由3.如图，抛物线yax2bx6(a0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M，使得BMO45，过点O作OHOM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，
3、请说明理由4.如图，已知直线y=x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yax23xc经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(0,)(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5.如图，直线y2x8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线yx2bxc过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PDx轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，
4、使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EFBC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y4x交于点H，若，求点G的坐标6.如图，已知直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bxc经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x1(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由7.如图，在平面
5、直角坐标系中，抛物线yax2xc(a0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点COA、OB的长是不等式组的整数解(OAOB)，点D(2，m)在抛物线上(1)求抛物线的解析式及m的值；(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE ；(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处当ADFB时，抛物线向上平移了 个单位；(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x4，抛物线与x轴相交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，6)，点E为抛物线的顶点(
6、1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180，点C、E的对应点分别是点C、E，当以C、E、C、E为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，B(4，0)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE4：5时，求tanDAB的值；(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，
7、请说明理由10.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)连接AP，CP，设P点的横坐标为m，ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由答案1.解：(1)抛物线L1：yx2bxc经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x1，解得：，该抛物线的解析式为yx22x2；(2)设抛物线L2的顶点记为D(m，n)，
8、则E(m，0)，如图，DE|n|，DEy轴，A(2，2)，C(2，1)，AC2(1)3，ACy轴，ACDE，又AD，AE，以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，DEAC，即|n|3，n3，当n3时，D(m，3)，E(m，0)，ADAC3，AD29，即(m2)2(32)29，解得：m22或22，D(22，3)或(22，3)；当n3时，D(m，3)，E(m，0)，AEAC3，AE29，即(m2)2(02)29，解得：m2或2，D(2，3)或(2，3)；综上所述，点D的坐标为(22，3)或(22，3)或(2，3)或(2，3)2.解：(1)OB3OA3，B(3，0)，A(1，0)，将(3，0)，(1，
9、0)代入yx2bxc得，解得，yx22x3，将x0代入yx22x3得y3，点C坐标为(0，3)(2)设直线BC解析式为ykxb，将(3，0)，(0，3)代入ykxb得，解得，yx3，作PFx轴交BC于点F，OBOC，CBO45，PEx轴，PEFOBC45，PFPE，设点P坐标为(m，m22m3)，则点F坐标为(m，m3)PFPEm22m3(m3)m23m(m)2，m时，PE的最大值为，此时点P坐标为(，)(3)如图，PMCM，设点P坐标为(m，m22m3)，则M(m，m3)，由(2)得PMm23m，点C坐标为(0，3)，CMm，m23mm，解得m0(舍)或m3，GCCM32，OGOCCG332
10、31，点G坐标为(0，31)如图，PMCG时四边形PCGM为平行四边形，PGCM时四边形PCGM为菱形，PMm23m，点C坐标为(0，3)，点G坐标为(0，m23m3)，作GNPM，CBO45，GPNPMCBNQ45，GNPN，即mm22m3(m23m3)，解得m0(舍)或m2，点G坐标为(0，1)如图，PMCM，由可得m23mm，解得m3，PMCGCM32，点G坐标为(0，13)综上所述，点G坐标为(0，31)或(0，1)或(0，13)3.解：(1)抛物线yax2bx6经过点A(1，0)，B(3，0)两点，解得：，抛物线的解析式为y2x24x6；(2)由(1)得，点C(0，6)，设直线BC的
11、解析式为ykxc，直线BC经过点B(3，0)，C(0，6)，解得：直线BC的解析式为y2x6，设点M的坐标为(m，2m6)(0m3)，如图1，过点M作MNy轴于点N，过点H作HKy轴于点K，则MNOOKH90，OHOM，MOH90，OMB45，MOH是等腰直角三角形，OMOHMONKOH90，OHKKOH90，MONOHK，OMNHOK(AAS)，MNOK，ONHKH(2m6，m)，点H(2m6，m)在直线y2x6上，2(2m6)m，解得：m，把m代入y2x6得：y，当OMB45时，点M的坐标为(,)；(3)存在，理由如下：抛物线的解析式为y2x24x62(x1)28，顶点为D，点D的坐标为(
12、1，8)，分两种情况讨论：当CD为菱形的边时，如图2，过C作CEDQ于EC(0，6)，D(1，8)，CD，DQCD，Q点的坐标为(1，8)或(1，8)；当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q(1，m)，P(0，n)，C(0，6)，D(1，8)，mn6814，n14m，P(0，14m)，PC14m68m，CQ，PCCQ，8m，解得：m，点Q的坐标为(1，)；综上所述，点Q的坐标为(1，8)或(1，8)或(1，)4.解：(1)在y=x+中，令x0得y，令y0得x3，B(3，0)，C(0，)，把B(3，0)，C(0，)代入yax23xc得：，解得，抛物线的函数表达式是yx23x；(2)在抛物线上存在
13、点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：yx23x(x1)26，抛物线的对称轴是直线x1，E(0，)，F关于抛物线的对称轴直线x1对称，F(2，)，设Q(1，t)，P(m，m23m)，当EF，PQ是对角线时，EF的中点即是PQ的中点，如图：，解得m1，E(0，)，F关于抛物线的对称轴直线x1对称，EQFQ，以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，P(1，6)；当EQ，FP为对角线时，EQ，FP的中点重合，如图：，解得，P(1，0)，Q(1，0)，而F(2，)，FQ2PQ，以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，P(1，0)；当EP，FQ为对角线，EP，FQ的中点重合，如图：，解得
14、，P(3，0)，Q(1，0)，而F(2，)，FPQP2，以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，P(3，0)，综上所述，P的坐标是(1，6)或(1，0)或(3，0)5.解：(1)直线y2x8分别交x轴，y轴于点B，C，B(4，0)，C(0，8)，抛物线yx2bxc过B，C两点，解得：，抛物线的解析式为yx22x8；(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形理由如下：设P(t，2t8)，PDx轴，PDy轴，即PQy轴，则Q(t，t22t8)，PQt22t8(2t8)t24t，yx22x8(x1)29，抛物线的顶点为M(1，9)，对称轴为直线x1，N(1，6)，MN963，MNy轴，PQMN，要使四边
15、形MNPQ为菱形，必须PQMNPN，由t24t3，解得：t1或t3，当t1时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；当t3时，P(3，2)，Q(3，5)，PQ523，PQMN，PQMN，四边形MNPQ是平行四边形，PN2，PNMN，故四边形MNPQ不能为菱形(3)如图(2)，连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，设G(0，m)，EFBC，直线BC：y2x8，直线EF的解析式为y2xm，直线EF与直线y4x交于点H，解得：，H(m，2m)，HKm，GKm，在RtGHK中，HGm，直线EF与抛物线交于点E，F，x22x82xm，整理得：x24xm80，xExF4，xExF
16、m8，在RtBOC中，OB4，OC8，BC4，sinBCO，EFBC，FGTEGLBCO，sinFGTsinEGLsinBCO，EGxE，FGxF，解得：m8，点G的坐标为(0，8)6.解：(1)当x0时，y4，C (0，4)，当y0时，x40，x3，A (3，0)，对称轴为直线x1，B(1，0)，设抛物线的表达式：ya(x1)(x3)，43a，a，抛物线的表达式为：y(x1)(x3)x2x4；(2)如图1，作DFAB于F，交AC于E，D(m，m2m4)，E(m，m4)，DEm2m4(m4)m24m，SADCDEOA(m24m)2m26m，SABC8，S2m26m82(m)212.5，当m时，
17、S最大12.5，当m时，y5，D(，5)；(3)设P(1，n)，以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，PAPC，即：PA2PC2，(13)2n21(n4)2，n，P(1，)，xPxQxAxC，yPyQyAyCxQ3(1)2，yQ4，Q(2，)7.解：(1)所给不等式组的解集为2x4，其整数解为2，3，OA、OB的长是所给不等式组的整数解，且OAOB，OA2，OB3，则A(2，0)，B(3，0)，点A、B在抛物线上，解得a=1,c=-6，所求的抛物线的解析式为yx2x6，点D(2，m)在抛物线上，m22264；(2)如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AEED最小，设直线AD
18、的解析式为ykxb(k0)，点A(2，0)，D(2，4)在直线AD上，解得，直线AD的函数解析式为yx2，当x0时，y2，即E(02)，OE|2|2，故答案为：2；(3)如图1，ADFB，AEOBFO，OEOA2，OFOB3，C(0，6)，OC|6|6，CFCOOF639，抛物线向上平移9个单位，故答案为：9；(4)以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，由OAOB，AB与MN不能作为一组对角线，分两种情况：以AM与BN为对角线时，如图2和图2，如图2，ABOAOB235，四边形ABMN是菱形，MNABx轴，MNMBAB5，在RtMBO中，OM4，M(0，4)，N(5，4)
19、，如图2，同理可得：N(5，4)，以AN与BM为对角线时，如图2和图2，如图2，菱形的边长仍为5，MNx轴，MO，M(0，)，N(5，)，如图2，同理可得：N(5，)，综上所述，两种情况，符合条件的点N的坐标为：N1(5，4)、N2(5，4)、N3(5，)、N4(5，)8.解：(1)抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x4，抛物线与x轴相交于A (2，0)，B两点，点B(6，0)，设抛物线的解析式为：ya(x2)(x6)，抛物线图象过点C (0，6)，6a(02)(06)，a，抛物线的解析式为：y(x2)(x6)x24x6，yx24x6(x4)22，顶点E坐标为(4，2)；(2)将该抛物
20、线的图象绕x轴上一点M旋转180，点C、E的对应点分别是点C、E，CMCM，EMEM，四边形CECE是平行四边形，设点M(m，0)，点C (0，6)，点E(4，2)，CMCM，EMEM，点C(2m，6)，点E(2m4，2)，以C、E、C、E为顶点的四边形是菱形，CECE，m12，m26，点M(2，0)或(6，0)，当M(2，0)时，点E(8，2)，旋转后的抛物线解析式为：y(x8)22；当M(6，0)时，点E(8，2)，旋转后的抛物线解析式为：y(x8)22；综上所述：点M(2，0)或(6，0)，旋转后的抛物线解析式为：y(x8)22或y(x8)229.解：将A(1，0)，B(4，0)代入ya
21、x2bx3，得，解得，解析式为；(2)当x0时，C(0，3)，设直线BC的解析式为ykxb，将B(4，0)，C(0，3)分别代入得，解得：，直线BC的解析式为：y=+3，过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，A(1，0)，当x1时，y，G(-1,)，AG=，AGy轴DF，DEFAEG，DF3，设，解得：t1t22，D(2,)，DH=，AH123，在RtADH中，tanDAB=；(3)存在，分三种情况：如图2，四边形ACPQ是菱形，则PCAC，设P(x，x3)，A(1，0)，C(0，3)，得：x，当x时，P(，+3)，Q(1，)，当x时，P
22、(，+3)，Q(1，)；如图3，四边形APCQ是菱形，BCAB5，B在AC的垂直平分线上，P与B重合，Q(5，3)；如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(1.6，)，Q(2.6，)；综上，点Q的坐标为(1，)或(1，)或(5，3)或(2.6，)10.解：(1)将A(3，0)，B(1，0)代入yx2bxc得：，解得：，yx22x3；(2)如图1，过点P作PMy轴交直线AC于点M，A(3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式为：ykxn，AC的解析式为：yx3，P点的横坐标为m，P的坐标是(m，m22m3)，则M的坐标是(m，m3)，PMm3(m22m3)m23m，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，3m0，SPMOA(m23m)m2m(3m0)；(3)分两种情况：如图2，四边形CDEB是菱形，设D(t，t3)，则E(t1，t)，四边形CDEB是菱形，CDBC，(t0)2(t33)21232，t，t0，t，E(1，)；如图3，四边形CBDE是菱形，设D(t，t3)，则E(t1，t6)，四边形CBDE是菱形，CEBC，(t10)2(t63)21232，t0(舍)或2，E(3，4)；综上所述，点E的坐标为(1，)或(3，4)学科网（北京）股份有限公司