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1、 6.16.1 集合集合 映射映射一、集合一、集合二、映射二、映射6.1 集合集合映射映射第1页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射一、一、集合集合(set)(set)把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C 等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 ；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作 .1 1、定义、定义组成集合的这些事物称为集合的元素（element）用小写字母a、b、c 等表示集合的元素 第2页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德国数
2、学家康托尔（GCantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果；集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.注意注意第3页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射集合的表示方法一般有两种：描述法描述法、列举法列举法 描述法（描述法（描述法（描述法（descriptiondescriptiondescriptiondescription）：）：）：）：列举法（列举法（列举法（列举法（enumerationenumerationenumerationenumeration）：）：）：）：Mx
3、|x具有性质P Ma1，a2，an把构成集合的全部元素一一列举出来.给出这个集合的元素所具有的特征性质.第4页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射例例1 1例例2 2 N ，2Z 例例3 3 空集：不含任何元素的集合，记为 注意注意注意注意 约定：约定：空集是任意集合的子集合.第5页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射2、集合间的关系、集合间的关系 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集（子集（subset），记作，（读作B包含包含 于于A）.当且仅当 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等相等，记作AB.AB当且仅当 且 第6页/共27页 6.
4、16.1 集合集合 映射映射3、集合间的运算、集合间的运算 交：交：；并：并：；显然有，第7页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射二、映射二、映射设M、M是给定的非空集合，如果有 一个对应法则，通过这个法则对于M的每一个元素a，都有M中一个确定的元素a与它对应,则称 为称 a为 a 在映射下的象（象（image），而 a称a在M到M的映射（映射（mapping），记作 .1、定义、定义映射下的原象（原象（inverse image），记作(a)a或第8页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射1.1.设映射 ,集合称之为M在映射下的象象，通常记作 Im2.集合M 到M 自身的映射称
5、为M 的一个变换变换 显然，注意注意 第9页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射例例4 4M是一个集合，定义I：I(a)a，即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射，例例5 5 任意一个在实数集R上的函数yf(x)都是实数集R到自身的映射，称 I 为 M 上的恒等映射（恒等映射（identity mapping）或即，函数可以看成是映射的一个特殊情形 单位映射单位映射 第10页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射2 2、映射的乘积、映射的乘积设映射 ，(a)(a)即相继施行和的结果，是 M 到 M 的一个 映射 乘积乘积定义为：第11页/共27页 6.16.1 集合集
6、合 映射映射1.对于任意映射 ，有 2.设映射，有注意注意注意注意第12页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射3 3、映射的性质、映射的性质设映射（1）若，即对于任意，均存在（surjection）或称 为映上（映上（onto）的的；，使 ，则称 是M到M的一个满射满射第13页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射（3）若既是单射，又是满射，则称为双射（双射（bijection）,（或称为 1-1对对应应）.则称是M到M的一个单射（单射（injection）或称（或），（2）若M中不同元素的象也不同，即 为1-1（one to one）；第14页/共27页 6.16.1 集合集合
7、 映射映射例例6 6 判断下列映射的性质（1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2（既不单射，也不是满射）：(a)3，(b)2，(c)1（2）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是满射，但不是单射）（3）M，MP，（P为数域）：(A)|A|，（是满射，但不是单射）（双射）第15页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射（4）MP，M P为数域,E为n级单位矩阵：(a)aE，（是单射，但不是满射）：(a)a0，（既不单射，也不是满射）（6）MMPx，P为数域：(f(x)f(x)，（是满射，但不是单射）（5）M、M为任意非空集合，为固定元素 第16页/共27页 6.16.1
8、集合集合 映射映射（7）M是一个集合，定义I：I(a)a，（8）M=Z，M2Z，：(n)2n,（双射）（双射）第17页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射4 4、可逆映射、可逆映射定义定义定义定义 设映射若有映射使得则称为可逆映射（可逆映射（invertible mapping），为的的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作1逆映射逆映射，第18页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射 1.若为可逆映射，则1也为可逆映射，且 （1）1注意注意2.2.为可逆映射，若则有则有3.3.为可逆映射的充要条件是 为1-1对应第19页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射证：若
9、映射为1-1对应，则对均存在唯一的，使(x)y，作对应 即；即 为可逆映射 则是一个M到M的映射,且对 第20页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射即,所以为满射.其次，对，则 即为单射.所以为1-1对应反之，设 为可逆映射，则 第21页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射例例7 7 设映射，证明：（1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射；这与h是单射矛盾，f 是单射证：若 f 不是单射，则存在 于是有第22页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射（2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射；证：h 是满射，即，g 是满射又第23页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射（3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且证：因为 g 是满射，存在,使又因为 f 是满射，存在，使 h是满射第24页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射若，由于 f 是单射，有又因为 g 是单射，有即,因而 h 是双射h 是单射.第25页/共27页 6.16.1 集合集合 映射映射第26页/共27页6.1 集合 映射感谢您的观看！第27页/共27页