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1、离散数学是计算机各专业的专业基础课.(1)程序设计语言(2)离散数学(3)数据结构与算法(4)计算机组成原理(5)计算机网络(6)操作系统(7)数据库(8)软件工程第1页/共96页离散数学研究的对象:离散量及其之间的关系.离散量与连续量及其之间的转换.现今计算机的处理对象是非常特殊的离散量:0和1.学习离散数学的目的:1.培养各种能力.2.为后继专业课程的学习作知识上的准备.第2页/共96页离散数学的主要内容:1.集合与关系Chapter 1 集合、映射与运算 Chapter 2 关系2.数理逻辑Chapter 3 命题逻辑Chapter 4 谓词逻辑3.代数结构(Chapter 5)4.图论
2、Chapter 6 图论Chapter 7 几类特殊的图5.组合计数(Chapter 8)第3页/共96页学习离散数学的方法:1.预习.2.听课.3.复习.4.(分组)作业.第4页/共96页参考文献:屈婉玲,耿素云,张立昂,离散数学,高等教育出版社,2007.(108144学时)傅彦,顾小丰,王庆先,离散数学及其应用,高等教育出版社,2008.(两个学期)第5页/共96页Chapter 1 Sets,Mappings and Operations集合是现代数学的最基本概念(?).映射又称为函数,它是现代数学的基本概念,可以借助于集合下定义.运算本质上是映射,但其研究有其特殊性.(关系也是集合)
3、集合、映射、运算及关系(Chapter 2)是贯穿于本书的一条主线.第6页/共96页1.1 集合的有关概念1.集合在一定范围内,集合(set)是其具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体,其中的每一个对象都称为该集合的元素(element).这里所指范围是全集U(见图1-1).(避免悖论!)在数学中常用 表示整体.第7页/共96页若x是集合A中元素,则记xA,否则xA.Fuzzy set?集合通常用大写字母A,B,C,D,表示.N是自然数集合,包括数0；Z是整数集合；Q是有理数集合；R是实数集合；C是复数集合.第8页/共96页P:2,3,5,7,11,13,17,19,23等.(1)m|n:n=
4、mq.(2)Dn.(3)素数测试与Mersenne素数:2p-1.第9页/共96页表示集合的常用方法:(1)列举法:0,2,4,6,8,N=0,1,2,3,.(2)描述法:x|x满足的条件.可简记:直角三角形,所有人(3)递归法自然数集合N可递归定义,在后面章节定义命题公式及谓词公式时还会用此法.有限集合A的元素个数|A|,card(A).第10页/共96页Remarks 1.集合中的元素可以是集合,例如A=a,a,b,b,c.a,bA,a,bA.2.集合之间的元素原则上是没有次序的,如 A=a,a,b,b,c就是 a,b,c,a,b;3.集合中的元素原则上不重复,如a,a,b,b,b,c还是
5、集合A.不不含含有有任任意意元元素素的的集集合合称称为为空空集集(empty set),记记为为或或.第11页/共96页2.子集A B,特别地是任意集合的子集.A=B.Theorem 1-2(P3)(1)A A.(2)A B,B A A=B.(3)A B,B C A C.Theorem 1-3 A=B A B 且 B A.第12页/共96页注意 与 的不同.例1-2 由A B,B C可否得出A C?Solution 不成立,例如A=a,b,B=a,b,c,C=a,a,b,c.课堂练习:4,5.第13页/共96页3.幂集(power set)X=a,b P(X)=,a,b,a,b.P(P()=P
6、()=,(P5,6(1).,(P5,2)第14页/共96页Theorem 1-4 Proof(加法原理)由乘法原理证明?第15页/共96页4.n元组Def 1-4 将n个元素(?)x1,x2,xn按一定顺序排列就得到一个n元(有序)组(n-tuple).线性代数中的n维向量(?):n=2,n=3(see below)第16页/共96页 n=2:(x,y).n=3:(x,y,z)4元组?显然,一般说来(x,y)(y,x).注意区别(a,b,c),(a,b),c),(a,(b,c)的不同.第17页/共96页n维向量是n元组,长度为n的线性表是n元组,抽象数据结构Data_Structure=(D,
7、S)本身是一个2 元组.2元组常称为有序对(ordered pair)或序偶.5.笛卡儿积(cross product)第18页/共96页例1-4(P4)设A=a,b,B=1,2,C=,求A B,B A,A B C,B C.SolutionAB C=(a,1,),(b,1,),(a,2,),(b,2,).BC=(1,),(2,)Remark A=B =.P5,10?第19页/共96页Theorem Hint 可推广到更多个集合的笛卡儿积的情形:作业 习题1.1 6,9,10.第20页/共96页1.2 映射的有关概念1.映射的定义映射mapping=函数function.C语言是一种函数型语言:
8、从main开始.DefA,B:AB第21页/共96页Ceiling function:Floor function:(取整函数)复杂度:第22页/共96页函数的表示:(1)解析式(2)图形(3)表格(数值计算中出现较多)函数符号的选取(P6):f,g,F,G,sin,exp,main,add,average,注意区别函数f与函数表达式f(x).映射的两个特点:(1)全函数;(2)唯一性.第23页/共96页B上A:例1-5 Theorem 1-6 注意B上A的记号与该结论的关系.x1x2x3y1y2第24页/共96页 Xf(X)Y f-1(Y)第25页/共96页n元函数(n 1):float a
9、verage(flot array,int n)n=0:C语言中的无参函数?一般处理方式:A到B的一个0元函数是B中某一个元素(see P136).第26页/共96页2.映射的性质(1)单射(injection)第27页/共96页(2)满射(surjection)例1-7 是Z到N的满射,但不是Z到Z的满射(?).第28页/共96页(3)双射(bijection,one-to-one correspondence)双射又称为一一对应:既单又满.例1-8例1-9(P8)第29页/共96页Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上的置换(permutation).例1-10第一种方式:123
10、123第30页/共96页第二种方式:A=1,2,3,4上的所有置换有多少个?4!第31页/共96页3.逆映射设f:AB,将对应关系f逆转(改变方向),一般来说,不能得到B到A的映射:abc123第32页/共96页Def 1-12 设f:AB,若将对应关系f逆转后能得出一个得到B到A的映射,则称该映射为f的逆映射(invertible function),记为f-1.abc123第33页/共96页Theorem 1-7 f 的逆映射存在的充要条件是f是双射.对于y=sin x,当 时,有反函数,常记为当 时,y=sin x仍有反函数,但不能 记为arcsin.显然,当 时,无反函数.第34页/共
11、96页4.复合映射(composition function)Theorem1-8 设f:A B,g:B C:则h:A C.xy=f(x)z=g(y)=g(f(x)第35页/共96页Def 1-13 例1-12abc123第36页/共96页Remarks(1)y=sin u,u=x2未引入运算符号,有时是不方便的.(2)顺序问题:有些专业书但会出现一些混乱.第37页/共96页例1-13(P9)f:RR,f(x)=x2,g:RR,g(x)=x+2,求fg和gf.Solution x R:(fg)(x)=g(f(x)=g(x2)=x2+2.(gf)(x)=f(g(x)=f(x+2)=(x+2)2.
12、Remark fg gf.第38页/共96页IA:A ATheorem 1-9理解:abc123abc123abc123第39页/共96页Theorem 1-10(1)若f和g是单射,则fg是单射.(2)若f和g是满射,则fg是满射.(3)若f和g是双射,则fg是双射.Proof(2)任意z C,由于g是满射,存在y B,使得z=g(y).又由于f是满射,存在x A,使得y=f(x).于是z=g(y)=g(f(x)=(fg)(x).故fg是满射(see below).第40页/共96页Theorem 1-11(1)若fg是单射,则f是单射,g不一定.(2)若fg是满射,则g是满射,f 不一定.
13、(3)若fg是双射,则f是单射且g是满射.Proof(1)任意x1,x2 A,若f(x1)=f(x2),第41页/共96页显然,g(f(x1)=g(f(x2),即(fg)(x1)=(fg)(x2).由于fg是单射,因此 x1=x2.故f是单射.g不一定(见上图)?第42页/共96页一般来说fg gf,但Theorem 1-12作业 习题1.2:3,4,7,8,12.Hint 7.使用定理1-10和第3题.8.使用第7题结论.12.使用第7题结论.第43页/共96页1.3 运算的定义及性质 运算是讨论对象之间有何联系的一种方法.其实，我们已经接触过很多运算,如数之间的加法运算、多项式之间的乘法运
14、算、矩阵的逆运算、向量的线性运算等.在讨论离散数据结构时也会经常遇到各种各样的运算，如在下节即将研究的集合间的运算.虽然运算本质上是映射，但研究的侧重点不同，在运算中更注重于运算满足的一些运算性质，而根据这些性质可以对一些离散对象分门别类进行讨论.因此，有必要先把运算的一般定义及其性质进行讨论.第44页/共96页1.运算的定义(1)定义 A1,A2,An到B的n元运算(n-ary operation):A到B(或A上)的n元运算:A上的n元封闭运算(代数运算):第45页/共96页(n=0?一般处理方式:A到B的一个0元运算可理解为B中某一个元素.)例1-14 f:Z N,f(x)=|x|.例1
15、-15(模运算)f:Z N,f(x)=x(mod k),x=qk+r,0 r 1.Proof(?)第85页/共96页2.集合的覆盖Def 设A是集合,由A的若干非空子集构成的集合称为A的覆盖(covering),如果这些非空子集的并等于A.a,b,b,c第86页/共96页集合的划分 集合的覆盖,但反过来不成立.A=a,b,c上所有不同的覆盖有哪些?作业 习题1.5 1,4,7.第87页/共96页1.6 集合的对等集合的对等,它是集合间的另一种关系.通过集合对等以及相关内容的学习,加深对函数概念的理解,提高正确使用函数工具作为研究手段的能力.1.集合对等(equivalent)Def A B:存
16、在双射f:A B.第88页/共96页N E.ZN?(0,1)R.G.Cantor.N N N.Theorem 1-28(对等的性质)(1)A A.(2)A B B A.(3)A B,B C A C.第89页/共96页2.无限集合有了集合对等的概念,就可以给出无限集合及有限集合的严格定义.Def 设A是集合,若存在A的一个子集与自然数集合N对等,则称A为无限集合(infinite set),否则称A为有限集合(finite set).N.0,1.第90页/共96页3.集合的基数有限集合的基数就是的元素个数.借助于集合对等概念,可以将其扩展到无限集合.Def 若集合A和B对等,则称这两个集合的基数
17、(cardinality)相同.|A|,card(A),#(A).G.Cantor被这些问题所折磨难以自拔,1884年后患精神病(受到很多人的批评和攻击,包括他的老师,用脑过度?)第91页/共96页4.可数集合Def 能与自然数集合N对等的集合称为可数集合(countable set).根据无限集合的定义知：任意无限集合均存在一个可列的子集合.根据这一点,可以证明无限集合的特征性质.Theorem 设A是无限集合,则存在A的一个真子集B,使得 A B.第92页/共96页Proof 因为A是无限集合,存在可数的子集合考虑Q是可列集合.第93页/共96页5.不可数集合是否所有无限集合都是可数的?答案是否定的.例 证明:(0,1)是不可数集合.Proof(反证)取第94页/共96页6.基数的比较Def 给定集合A和B,若存在A到B的单射,则称A的基数小于等于B的基数,记为|A|B|.若进一步,不存在A到B的双射,则称A的基数小于B的基数,记为|A|B|.由定义易知,若存在B到A的满射,则|B|A|.显然,Problem 是否存在集合A,满足(著名的连续统假设?!)作业 习题1.6 2,4,6.第95页/共96页感谢您的观看！第96页/共96页