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1、教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分重点：凑微分法、根式置换法求不定积分难点：凑微分法求不定积分教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：6课时返回第1页/共20页 第二节第二节 换元积分法换元积分法 引例：求 解:错在哪里？一、第一类换元积分法（凑微分法）一、第一类换元积分法（凑微分法）定理1、若 则这种将利用中间变量化为，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将还原成的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法。这里将凑微分成du是难点，理解起来较困难，我们这样处理：dx=故第2页/共20
2、页例1：求解：设u=2x我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下：、被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量，例2：求解：设 则 在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写格式如下：解：=第3页/共20页例3求解：练习：求下列不定积分1、2、3、4、被积函数是两个函数乘积形式 1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式。例1、求解：第4页/共20页例2、求解：=例3、求解例4、求解：例5、求解：练习：求下列不定积分1、2、3、4、5、第
3、5页/共20页 2、被积函数中，其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因式。例1求解 例2求 解例3求解 例4求解第6页/共20页例5求解例1、例6求解练：求1、2、3、4、5、6、第7页/共20页第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为，其中u可以是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)常用的凑微分形式有：第8页/共20页例：求
4、 解：方法一：方法二：方法三：上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们的正确性。第9页/共20页使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角变换对被积函数作适当变形才能积分。例1求练习：求 例2求：解：练习：第10页/共20页例3求：练习：例4 求：练习：求第11页/共20页例5求：练习：求 例6 求：练习：求 第12页/共20页例7 求：练习：求 例8 求：练习：求 练习 求 第13页/共20页二、第二类换元积分法定理2：设是单调可微函数，且若则：下面通过例题说明第二类换元积分的应用。、被积分函数中含有 类型-根式置换法 例
5、1：求解：设 ,则注意：在最后的结果中必须代入,返回到原积分变量.练习：返回第14页/共20页例2求解：被积函数含 、，为了去掉根号，设t=则 x=练习：求例3求解：设则第15页/共20页1、被积分函数中含有类型-三角置换法例1 求 解 设则第16页/共20页例2、求解 设则为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形如图由图可得 其中空第17页/共20页例3、求解 设则 与前例相同，为了返回原积分变量，由作出辅助三角形如图由图可得：其中 空第18页/共20页第二类换元积分法是基本积分方法之一，使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换，消除被积式中的根号，最常见的形式有：（1）被积函数中含有：设（2）被积函数中含有：设,为、的最小公倍数（3）被积函数中含有：设（4）被积函数中含有：设（5）被积函数中含有：设在作三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，以返回原积分变量。本节讲过的一些例子的结论可作为基本积分公式。第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页