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1、问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法:利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.5.2.1 第一类换元法第一类换元法的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,uFyu一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性duuFudF)()(第三章第五节中有如下结论：第三章第五节中有如下结论：.)()(CuFduuf.)()(),()(CxFdxxfxfxF则：若CxFxdxf)()()()(xu令CxFdxxxf)()()(第一类换元公式第一类换元公式关键思路：关键思路：设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf )(xu 可可导导，
2、则有换元公式则有换元公式定理定理1 1 dxxg)(dxxxf)()()()(xdxfudufxu)()(代换也称也称“凑微分法凑微分法”CxF)(解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx .2sin1xdx求例解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx .2312dxx求例.332dxexx求例.1sin142dxxx求例.53dxxex求例.)ln21 (6xxdx求例练习：.)21 (199dxx求
3、、.sincos2xdxx求、.ln13dxxx求、 被积函数的初步变形很重要，故要被积函数的初步变形很重要，故要求熟悉常见的凑微形式。求熟悉常见的凑微形式。415(1)例 、dxx x 常常见见凑凑微微分分形形式式一一(1)()f axb dx 1() ()(0)f axb d axb aa 1(2)()nnf axb xdx 1() () (0,1)nnf axb d axbnaan 1(3)()fxdxx 2() ()fx dx 211(4)()fdxx x 11() ()fdxx 1(5)(ln )fxdxx (ln ) (ln )fx dx (6)(sin )cosfxxdx (si
4、n ) (sin )fx dx (7)(cos )sinfxxdx (cos ) (cos )fx dx 常常见见凑凑微微分分形形式式二二2(8)(tan )secfxxdx (tan ) (tan )fx dx 2(9)(cot)cscfxxdx (cot) (cot)fx dx (10)(sec )sectanfxxxdx (sec ) (sec )fx dx (11)(csc )csccotfxxxdx (csc ) (csc )fx dx (12)()xxf ee dx () ()xxf ed e 21(13)(arcsin )1fxdxx (arcsin ) (arcsin )fx
5、dx 21(14)(arctan )1fxdxx (arctan ) (arctan )fx dx .tan7xdx求例.coslntan)16(Cxxdx.sinlncot)17(Cxxdx.1822dxxa求例.dxax2219 求例.arctan)(Caxadxxa112022.ln)(Caxaxadxax2112122.11022dxxa求例.arcsin)(Caxdxxa22122.2581112dxxx求例解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx .sec12xdx求例.tanseclnsec)(Cxx
6、xdx18.cotcsclncsc)19(Cxxxdx使用三角使用三角恒等变形恒等变形.2cos3cos13xdxx求例),cos()cos(21coscosBABABA 复习：.cossin1452xdxx求例)(sincossinxxdx42化为说明：说明：1. 当被积函数是三角函数奇次时，当被积函数是三角函数奇次时， 拆开奇次拆开奇次项去凑微分项去凑微分. 2. 当被积函数是三角函数偶次时，当被积函数是三角函数偶次时， 通过降次通过降次求积分求积分.1115dxex求例).(,cos)(sin1622xfxxf求设例解解令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)
7、(,212Cuu .21)(2Cxxxf .2arcsin41)4(2dxxx.1)3(2dxeexx.cos11) 1 (dxx.)1 ()2(3dxxx练习：例例1010 求求解解 dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx dxxcos11例例 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.)11(12dxexxx 联合凑微分法联
8、合凑微分法例例6 6 求求(1)().1xxx edxxe 1sin().cosxdxxx 例例7 7 求求练习：练习：22tan 11.1xx dxx 53 8. tansecxxdx 37. sincosdxxx 323.9xdxx 3sincos2.sincosxxdxxx 64.(4)dxx x ln6.cossintgxdxxx arctan5.(1)xdxxx 5.2.2 换元积分法换元积分法第一类换元法第一类换元法（凑微分法）（凑微分法）复复习习设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf )(xu 可可导导，则则有有换换元元公公式式定理定理1 1
9、.1dxeexx求求例例.11dxex求求.12dxeexx求求解决方法：解决方法：利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.问题问题?12dxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxx21tdtt cossin12dtt2cos（再应用（再应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法 2,2t第二类换元积分公式第二类换元积分公式.)()()()()()()(0)()(21)(1的反函数的反函数是是其中其中，则有换元公式：则有换元公式：具有原函数，具有原函数，又设，又设并且并
10、且，是单调的，可导的函数是单调的，可导的函数设设定理定理txxdtttfdxxfttfttxxt回忆回忆被被积积函函数数含含有有根根式式. 1nbax.111dxx求求例例.212dxxxx求求例例.133dxxx求求例例说明说明(1)(1)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为根式代换根式代换，目的是目的是化掉根式化掉根式.被被积积函函数数含含有有根根式式. 22222axxa或或.122dxxa求求例例).0(
11、1222adxax求求例例Caxxdxax)ln(1)23(2222.1322dxax求求例例Caxxdxax)ln(1)24(2222说明说明(2)(2) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换，三角代换的目的是三角代换的目的是化掉根式化掉根式.一般一般规律规律如下：当被积函数中含有如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 积分中为了化掉根式除采用三角代换外，积分中为了化掉根式除采用三角代换外，还可用还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,s
12、inh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定来定.另一种常用的方法是直接把根式设为变量。另一种常用的方法是直接把根式设为变量。dxxx2514 求求例例（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdtt
13、t 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解.115dxex求求例例3. 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx dxxxa4221例例基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln
14、211)21(22Caxaxadxax 三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二） 根式代换、三角代换、倒代换根式代换、三角代换、倒代换基本积分表基本积分表(2).(,cos)(sin122xfxxf求求设设例例解解令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 四、综合四、综合.2arcsin41)4(2dxxx.cos11) 1 (dxx.)1 ()2(3dxxx.4)3(23dxxx练习：练习：解解 dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 d
15、xxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx dxxcos11.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 解解 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx .423dxxx例例. 求.
16、d)e1 (1xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)e1 () 1(xexe)e(d)e11e1(xxxxxxxxelnxxe1lnCCxxxxe1lnln例例. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xxe1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xte1令xt12. 已知,1d)(25Cxxxfx求.d)
17、(xxf解解: 两边求导, 得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) xxxd11) 132备用题备用题 1. 求下列积分:) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin52.求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1 (d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得分子分母同除以3.求不定积分解解:.d1)1 (122xxx令,sintx ,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1 (cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct )tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222