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1、一、问题的提出1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第1页/共42页1)“大化大化小小”.2)“常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第2页/共42页3)“近似近似和和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第3页/共42页二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义第4页/共42页类似地定义第5页/共42页2.存在条件：存在条件：3.组合形式
2、组合形式第6页/共42页4.4.推广推广第7页/共42页5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!第8页/共42页三、对坐标的曲线积分的计算定理定理第9页/共42页特殊情形第10页/共42页第11页/共42页例例1解解第12页/共42页第13页/共42页例例2解解第14页/共42页问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第15页/共42页例例3解解第16页/共42页第17页/共42页问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.第18页/共42页1.计算:其中
3、L为圆周（按逆时针方向绕行）第19页/共42页例例4.已已知知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:第20页/共42页例例5.设在力设在力场场作用下,质点由沿移动到解解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为第21页/共42页例例6.求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程第22页/共42页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第23页/共42页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系上的两类曲线积分的联系是是令记 A 在 t 上的投
4、影为第24页/共42页例例7.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周第25页/共42页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结第26页/共42页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第27页/共42页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第28页/共42页原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的
5、功.第29页/共42页练练 习习 题题第30页/共42页第31页/共42页第32页/共42页练习题答案练习题答案第33页/共42页第34页/共42页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!第二节内容小结第二节内容小结第35页/共42页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第36页/共42页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第37页/共42页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第38页/共42页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系上的两类曲线积分的联系是是令记 A 在 t 上的投影为第39页/共42页例例7.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周第40页/共42页厚德载物，厚德载物，自强不息自强不息The Class is over.Goodbye!第41页/共42页感谢您的观看！第42页/共42页