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1、3.1.3 空间向量的数量积运算 sFW= |F| |s| cos 根据功的计算根据功的计算, ,我们定义了平面两向量的数我们定义了平面两向量的数量积运算量积运算. .一旦定义出来一旦定义出来, ,我们发现这种运算非常我们发现这种运算非常有用有用, ,它能解决有关长度和角度的问题它能解决有关长度和角度的问题. .O OA AB Ba a b b 思考:a，b与与b，a的关系是怎样的？的关系是怎样的？a，b与与a，b、a，b的关系呢？的关系呢？提示：a，bb，a，a，ba，ba，b注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定规定:零向量与任意向量的数量积都等
2、于零零向量与任意向量的数量积都等于零.abA1 1B1 1BA性质性质是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质是求向量的长度（模）的依据性质是求向量的长度（模）的依据. .注：注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.三垂线定理三垂线定理 在平面内的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这如果和这个平面的一条斜线的射影垂直个平面的一条斜线的射影垂直, ,那么它也和这条那么它也和这条斜线垂直斜线垂直. . P O A l分析：分析：用向量来证明两直线用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！向向
3、量的数量积为零即可！O 探究点探究点5 向量方法与两个定理向量方法与两个定理 P O A la 逆命题成立吗?在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.设l 的方向向量为 a，则l PA aPA=0PA=PO+OA aPA=a(PO+OA)=.=0分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. , ,:2. 线线内内两两条条线线证证已已知知直直是是平平面面的的相相交交直直果果例例如如求求m nlm lnl lmngn g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线g,g
4、,拿相关直线的拿相关直线的方向向量来分析方向向量来分析, ,看条件可以转化为向量的什么看条件可以转化为向量的什么条件条件? ?要证的目标可以转化为向量的什么目标要证的目标可以转化为向量的什么目标? ?怎怎样建立向量的条件与向量的目标的联系样建立向量的条件与向量的目标的联系? ? 注意向量m, n,g 共面存在实数，使得：g=m+n l.g=. 基础训练CD2D5如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC夹角的余弦值题型探究探究一空间向量的数量积的运算方法归纳在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的
5、组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模(4)代入公式ab|a|b|cosa，b求解A跟踪训练探究二利用数量积研究垂直问题方法归纳利用数量积证明垂直问题(1)将所证明垂直线段转化为向量(2)用已知向量表示未知向量(3)利用数量积运算完成判定跟踪训练探究三利用数量积求角与距离方法归纳利用数量积求夹角与距离(1)转化：将所求角或距离转化为向量夹角与向量模(2)表示：用已知向量表示相关向量(3)求值：根据数量积运算计算夹角与模(4)结论：做出回答求夹角两条异面直线所成角求距离跟踪训练B规范解答易错疑难辨析课堂练习DAA600