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1、应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第1页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力第2页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力n 体 力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。n 面 力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。第3页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 定 义 式体力：第4页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 定 义 式面力：第5页
2、/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 内 力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。第6页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 应 力 应力矢量第7页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力,也称柯西应力。应力矢量：第8页/共118页 外力、
3、内力与应力Chapter 3.1应力的定义第9页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而且和面元法线方向 有关。第10页/共118页 外力、内力与应力 作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。第11页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1应力矢量和 面力矢量的数学定义和物理量纲都相同。区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。第12页/共118页 外
4、力、内力与应力Chapter 3.1正六面体微元:外法线与坐标轴同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的单位法向矢量为iei，ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。第13页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1第14页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1应力分量的正负号规定第15页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1应力分量的个数第16页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1x222x11131e1e2 e3x3333213232112第17页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1把作用在正面
5、dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：x222x11131e1e2e3x3333213232112第18页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1共出现九个应力分量：第19页/共118页 外力、内力与应力Chapter 3.1 第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。当ij时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。第20页/共118页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第22页/共118页Chapte
6、r 3.2柯西公式四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中为方向的方向余弦。斜截面上的应力第23页/共118页Chapter 3.2斜截面上的应力柯西公式第24页/共118页Chapter 3.2 的面积为dS,则三个负面的面积分别为斜截面的面元矢量为：柯西公式第26页/共118页Chapter 3.2四面体的体积为：dh为顶点 O 到斜面的垂直距离n柯西公式第27页/共118页Chapter 3.2四面体上作用力的平衡条件是：第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：柯西公式第28页/共118页Chapter 3.2根据商判则，知 必是一个二阶张量，于是
7、定义应力张量柯西公式第29页/共118页这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。Chapter 3.2柯西公式第30页/共118页Chapter 3.2把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为即柯西公式第31页/共118页Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的大小柯西公式第32页/共118页Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的方向即柯西公式第33页/共118页Chapter 3.2斜面正应力斜面剪应力 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式第34页/共118页Chapter 3.2 若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知
8、应力场的力边界条件：其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为写成指标符号 柯西公式应用给定应力边界条件柯西公式第35页/共118页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第36页/共118页Chapter 3.2应力转换公式 应力分量转换公式新、老两个笛卡尔坐标系 和坐标间转换关系为：第37页/共118页Chapter 3.2考虑垂直于新轴 的正截面，其法向矢量即为 。利用柯西公式，该截面上的应力为 是新正截面上的应力 对老坐标轴 分解的结果。应力转换公式第38页/共118页Chapter 3.2将 对
9、新坐标轴 分解可以得到新坐标系中的应力分量：应力转换公式第39页/共118页上式就是应力分量转换公式，简称转轴公式。Chapter 3.2应力转换公式第40页/共118页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第41页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量第42页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量 概 念 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。主平面上的正应力称为主应力。第43页/共118页Chapter 3.3 主应
10、力&应力不变量 主应力和应力不变量假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力 pn，亦即n方向截面上剪应力为零。则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为第44页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量对斜面BCD运用柯西公式，可得：由剪应力互等定理可得：第45页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量由(1)和(2)式得：第46页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量由于 ，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：第47页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量展开行列式得到应力
11、状态的特征方程：式中第48页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量第49页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：1，2，3，即为该点的三个主应力。第50页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：第51页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量 I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立的。通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主应力1、第二主应力2和第三主应力3，且 第
12、52页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量 主应力的性质 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。实数性 即特征方程的根永远是实数。第53页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量 极值性主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：第54页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量正交性 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交；特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向；特征方程出现三重根时
13、，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。第55页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量 在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的主轴。处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线。以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系。在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型 主应力坐标系第56页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量在主坐标系中，主不变量表示为 主应力坐标系第57页/共118页例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa）试求主应力分量及主方向余弦。解：此点的应力状态张量的矩阵形式为：主应力&应力不变量第58页/共118页首
14、先，求出应力不变量为于是，特征方程为 主应力&应力不变量第59页/共118页求解此特征方程，得三个主应力分别为 主应力&应力不变量第60页/共118页将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式 ，联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求1的方向余弦，l1、m1、n1，将1214.6代入上式的前两式得 主应力&应力不变量第61页/共118页 主应力&应力不变量第62页/共118页同样可得其余两组方向余弦为：主应力：主方向方向余弦：主应力&应力不变量第63页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量 应力偏量将应力张量分解成球形张量和偏斜张量其中球形应力张量：第64
15、页/共118页Chapter 3.3 主应力&应力不变量应力偏量第65页/共118页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第66页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力第67页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力 在主应力坐标系中：约束条件：第68页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力引进拉格朗日乘子，求泛函 的极值。相应极值条件为于是，可得如下方程组第69页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力可
16、解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。第70页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力剪应力的三个极值：方向：与对应的两个主应力夹角为 45。O第71页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 正八面体第72页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力第73页/共118页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力八面体正应力0为由可得八面体剪应力0 为第74页/共118页冯 西 桥清华大学工程力学系第三章 应力理论 Theory of stresses 第75页/
17、共118页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第76页/共118页第79页/共118页第80页/共118页第81页/共118页第82页/共118页第83页/共118页第84页/共118页第85页/共118页第86页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程同理，得到 y 方向和 z 方向的平衡方程式分别为第92页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下：用指标符号可缩写成第93页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程对于弹性动力学问题，可把惯性力作
18、为体力，于是由平衡方程导出运动微分方程其中，为材料密度，ui为位移分量，t为时间。第94页/共118页 剪应力互等定理第95页/共118页 剪应力互等定理第96页/共118页第97页/共118页 剪应力互等定理第98页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下：用指标符号表示为：用实体符号表示为：第101页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程平衡微分方程另外一种推导方法第102页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程平衡微分方程另外一种推导方法平衡条件：即：第103页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程 圆柱坐标系中的平衡方
19、程 工程实践中常常要分析圆柱、圆筒等物体的受力及变形问题，在这些情况下采用柱坐标系比较方便，为此以下将给出柱坐标系下平衡方程的相应形式。第104页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程 圆柱坐标系中的应力张量第105页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程 圆柱坐标系中的应力张量或第106页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程第107页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程将单元体向roz平面投影第109页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程将单元体向xoy平面投影第110页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程第111页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程简化，得由于d是小量，所以可取第112页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程同理可求得圆周方向(方向)及轴向(z方向)的平衡微分方程，于是可得柱坐标系下的平衡微分方程为：第113页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程或表示为：第114页/共118页Chapter 3.5平衡微分方程 球坐标系中的应力平衡方程第115页/共118页应力理论Chapter 3 应力的定义 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第116页/共118页谢 谢！第117页/共118页感谢您的观看！第118页/共118页