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1、会计学1清华大学弹性清华大学弹性(tnxng)力学冯西桥力学冯西桥FXQChapter张量张量第一页，共101页。目目 录录 引言引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号符号ijij与与ersterst 坐标与坐标转换坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则张量代数，商法则(fz)(fz)常用特殊张量，主方向与主分量常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A第1页/共101页第二页，共101页。引引 言言uu 广义相对论（广义相对论（19151915）、理论物理）、理论物理uu 连续介质力学（固体力学、
2、流体力学连续介质力学（固体力学、流体力学(li t(li t l xu)l xu)）uu 现代力学的大部分文献都采用张量表示现代力学的大部分文献都采用张量表示Appendix A主要(zhyo)参考书:W.Flugge,Tensor Analysis and Continuum Mechanics,Springer,1972黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.第2页/共101页第三页，共101页。张量基本概念张量基本概念标标标标 量（零阶张量）量（零阶张量）量（零阶张量）量（零阶张量）例如：质量，温度例如：质量，温度例如：质量，温度例如：质量，温度 质量密度质量密度质量密度质量密度(
3、md)(md)(md)(md)应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度(md)(md)(md)(md)，等等等等其值与坐标系选取无关。其值与坐标系选取无关。其值与坐标系选取无关。其值与坐标系选取无关。Appendix A.1第3页/共101页第四页，共101页。矢量（一阶张量）矢量（一阶张量）矢量（一阶张量）矢量（一阶张量）位移位移位移位移(wiy)(wiy)，速度，速度，速度，速度，加速度，力，加速度，力，加速度，力，加速度，力，法向矢量，等法向矢量，等法向矢量，等法向矢量，等 Appendix A.1张量基本概念张量基本概念第4页/共101页第五页，共101页。矢矢矢矢 量量量量矢量矢量矢
4、量矢量(sh(sh ling)uling)u在笛卡尔坐标系中分解在笛卡尔坐标系中分解在笛卡尔坐标系中分解在笛卡尔坐标系中分解为为为为Appendix A.1其中其中u1,u2,u3 是是u的三个分量，的三个分量，e1,e2,e3是单位是单位(dnwi)基矢基矢量。量。张量基本概念第5页/共101页第六页，共101页。矢矢矢矢 量量量量Appendix A.1 既有大小又有方向性的物理量既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标其分量与坐标(zubio)系选取有系选取有关，满足坐标关，满足坐标(zubio)转换关系；转换关系；遵从相应的矢量运算规则遵从相应的矢量运算规则张量基本概念第6页/共101
5、页第七页，共101页。矢量矢量(可推广可推广(tugung)(tugung)至张量至张量)的三种记法：的三种记法：实体记法：实体记法：u u 分解式记法：分解式记法：分量记法：分量记法：Appendix A.1张量基本概念第7页/共101页第八页，共101页。Appendix A.1指标符号用法三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成 xi,其中(qzhng)x1=x,x2=y,x3=z。两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：张量基本概念第8页/共101页第九页，共101页。爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定(yudng)如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，如果在表达式的某项
6、中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。重复的指标称为哑指标，简称哑标。Appendix A.1张量基本概念第9页/共101页第十页，共101页。Appendix A.1 由于由于(yuy)aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：，即矢量点积的顺序可以交换：由于由于(yuy)哑标哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：换。例如：只要指标只要指标 j 或或 m 在同项内仅出现在同项内仅出现(chxin)两次，且取值两次，且取值范围和范
7、围和 i 相同。相同。张量基本概念第10页/共101页第十一页，共101页。约定：如果不标明(biomng)取值范围，则拉丁指标i,j,k,表示三维指标，取值1,2,3;希腊指标,均为二维指标，取值1,2。张量基本概念第11页/共101页第十二页，共101页。张量基本概念 拉丁拉丁(l dn)指标指标 希腊希腊(x l)指标指标第12页/共101页第十三页，共101页。张量基本概念张量基本概念二阶张量二阶张量二阶张量二阶张量应变应变应变应变 ，应力，速度，应力，速度，应力，速度，应力，速度(sd)(sd)梯度，变形梯度，梯度，变形梯度，梯度，变形梯度，梯度，变形梯度，等。等。等。等。三阶张量三
8、阶张量三阶张量三阶张量压电张量，等。压电张量，等。压电张量，等。压电张量，等。四阶张量四阶张量四阶张量四阶张量弹性张量，等。弹性张量，等。弹性张量，等。弹性张量，等。Appendix A.1第13页/共101页第十四页，共101页。二阶（或高阶）张量的来源二阶（或高阶）张量的来源 描述一些描述一些(yxi)(yxi)复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量 低阶张量的梯度低阶张量的梯度 低阶张量的并积低阶张量的并积 更高阶张量的缩并，等。更高阶张量的缩并，等。Appendix A.1张量基本概念第14页/共101页第十五页，共101页。张量基本概念张量基本概念应力应
9、力(yngl)张量张量Appendix A.1第15页/共101页第十六页，共101页。张量的三种张量的三种(sn zhn)(sn zhn)记法：记法：实体记法：实体记法：分解式记法：分解式记法：分量记法：分量记法：Appendix A.1张量基本概念第16页/共101页第十七页，共101页。爱因斯坦求和爱因斯坦求和(qi h)约定约定Appendix A.1张量基本概念第17页/共101页第十八页，共101页。Appendix A.1采用指标采用指标(zhbio)符号后，线性变换表示为符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和利用爱因斯坦求和(qi h)约定，写成：约定，写成：其中其中 j 是哑
10、指标是哑指标(zhbio)，i 是自由指标是自由指标(zhbio)。张量基本概念第18页/共101页第十九页，共101页。Appendix A.1在表达式或方程中自由指标可以出现(chxin)多次，但不得在同项内出现(chxin)两次，若在同项内出现(chxin)两次则是哑指标。例：若若i为自由为自由(zyu)指标指标张量基本概念第20页/共101页第二十一页，共101页。Appendix A.1自由自由(zyu)(zyu)指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。关系式将始终成立。例如：表达式例如：表达式 在自由在自由(zyu)(zyu
11、)指标指标 i i 取取1 1，2 2，3 3时该式始终成立，即有时该式始终成立，即有张量基本概念第21页/共101页第二十二页，共101页。同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程自由指标必须整体换名，即把方程(fngchng)(fngchng)或表或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。Appendix A.1i换成换成k张量基本概念第22页/共101页第二十三页，共101页。Appendix A.1指标符号也适用指标符号也适用(
12、shyng)于微分和导数表达式。例如，三于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度维空间中线元长度 ds 和其分量和其分量 dxi 之间的关系之间的关系可简写成：可简写成：场函数场函数(hnsh)f(x1,x2,x3)的全微分：的全微分：张量基本概念第23页/共101页第二十四页，共101页。Appendix A.1可用同项内出现两对可用同项内出现两对(或几对或几对)不同哑指标的方法不同哑指标的方法(fngf)(fngf)来表示多重求和。来表示多重求和。例如：例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行若要对在同项内出现两次以上的指标进行(jnxng)(jnxng)遍历求和，一般应加求和号。如
13、：遍历求和，一般应加求和号。如：张量基本概念第24页/共101页第二十五页，共101页。Appendix A.1一般说不能由等式一般说不能由等式两边消去两边消去ai导得导得但若但若ai可以任意取值等式始终成立可以任意取值等式始终成立(chngl)，则可以通过，则可以通过取特殊值使得上式成立取特殊值使得上式成立(chngl)张量基本概念第25页/共101页第二十六页，共101页。Appendix A.1小结(xioji)通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程
14、中，若有一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独个独立的自由指标，其取值范围是立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表，则这个方程代表了了nk 个分量个分量(fn ling)方程。在方程的某项中若同时方程。在方程的某项中若同时出现出现m对取值范围为对取值范围为1n的哑指标，则此项含相互迭的哑指标，则此项含相互迭加的加的nm个项。个项。张量基本概念第26页/共101页第二十七页，共101页。张量分析初步张量分析初步(chb)矢量和张量的记法，求和约定 符号(fho)ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appen
15、dix A第27页/共101页第二十八页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst ij符号符号(fho)(Kronecker delta)定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)(i,j=1,2,n)特性特性1.对称性，由定义可知指标对称性，由定义可知指标 i 和和 j 是对称的，即是对称的，即第28页/共101页第二十九页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst2.ij 的分量集合对应的分量集合对应(duyng)于单位矩阵。例如在三维空间于单位矩阵。例如在三维空间3.换标符号，具有换标符号
16、，具有(jyu)换标作用。例如：换标作用。例如：即：如果符号即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它因子的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的另的另一个指标，而一个指标，而自动消失。自动消失。第29页/共101页第三十页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst 类似类似(li s)地有地有第30页/共101页第三十一页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst erst符号符号(排列符号或置换排列符号或
17、置换(zhhun)符号符号)定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)当当r,s,t为正序排列时为正序排列时当当r,s,t为逆序排列时为逆序排列时当当r,s,t中两个指标值相同时中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到(d do)的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到(d do)的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。或或第31页/共101页第三十二页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst 特性特性共有共有(n yu)27个元素，其中三个元素为个元素，其中三个元素为1，三，三个元素个元素 为为
18、-1，其余的元素都是，其余的元素都是0对其任何两个指标都是反对称的，即对其任何两个指标都是反对称的，即当三个指标轮流换位时当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次相当于指标连续对换两次)，erst的值不变的值不变 第32页/共101页第三十三页，共101页。常用实例常用实例三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：它具有如下重要性质：每个基矢量的模为每个基矢量的模为1，即，即eiej1(当当ij时时)不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即eiej0(当当ij时时)上述两个性质可以用上述两个性质可以用ij 表示统一表示统一(
19、tngy)形形式：式：eiej ijAppendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst第33页/共101页第三十四页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst 当三个基矢量ei,ej,ek构成(guchng)右手系时，有 而对于而对于(duy)左手系，左手系，有：有：第34页/共101页第三十五页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst2.矢量矢量(shling)的点积：的点积：3.矢量矢量(shling)的叉积的叉积(或称矢量或称矢量(shling)积积)：
20、如果没有特殊说明，我们如果没有特殊说明，我们(w men)一般默认为右手系。一般默认为右手系。第35页/共101页第三十六页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst叉积的几何意义是叉积的几何意义是“面元矢面元矢量量”，其大小等于由矢量，其大小等于由矢量a和和b构成构成(guchng)的平行的平行四边形面积，方向沿该面元四边形面积，方向沿该面元的法线方向。的法线方向。第36页/共101页第三十七页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst第37页/共101页第三十八页，共101页。三个矢量三
21、个矢量a,b,ca,b,c的混合积是一个标量，其定义为：的混合积是一个标量，其定义为：若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当反号。当a,b,ca,b,c构成右手构成右手(yushu)(yushu)系时，混合积系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。左手系，则为体积的负值。符号符号(fho)ij与与erst第38页/共101页第三十九页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst 由此可见符号由此可见符号i
22、j和和erst分别与矢量代数分别与矢量代数(dish)中的点积中的点积和叉积有关。和叉积有关。利用利用(lyng)(A.24)和和(A.23a)式有式有第39页/共101页第四十页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst5.三阶三阶(sn ji)行列式的值行列式的值第40页/共101页第四十一页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst5.三阶三阶(sn ji)行列式的值行列式的值第41页/共101页第四十二页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与e
23、rsterst5.三阶三阶(sn ji)行列式的值行列式的值第42页/共101页第四十三页，共101页。Appendix A.2符号符号(fho)(fho)ijij与与ersterst5.e-恒等式，其一般(ybn)形式为：6.即7.退化形式为：第43页/共101页第四十四页，共101页。附录附录(fl)A 张量分张量分析引论析引论 矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程(fngchng)张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A第44页/共101页第四十五页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与
24、坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(单位单位(dnwi)(dnwi)直角坐标系直角坐标系)第45页/共101页第四十六页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3 笛卡尔坐标笛卡尔坐标(zubio)(zubio)系系(单位直角坐标单位直角坐标(zubio)(zubio)系系)坐标坐标(zubio)(zubio)变化时，矢径的变化为变化时，矢径的变化为 第46页/共101页第四十七页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zu
25、bio)转换转换Appendix A.3 任意坐标任意坐标(zubio)(zubio)系系坐标坐标(zubio)(zubio)变化时，矢径的变化为变化时，矢径的变化为 第47页/共101页第四十八页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3 概念概念 坐标线坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持当一个坐标任意变化而另两个坐标保持(boch)(boch)不变时，空不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。基矢量基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量矢径对坐标的偏导数
26、定义的三个基矢量gi gi 第48页/共101页第四十九页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3参考架参考架 空间空间(kngjin)(kngjin)每点处有三个基矢量，它们组成一个参每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：对笛卡尔坐标系：第49页/共101页第五十页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)
27、转换转换Appendix A.3三个相互正交的单位基矢量三个相互正交的单位基矢量(shling)ei构成正交标准化基构成正交标准化基第50页/共101页第五十一页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3欧氏空间中的一般坐标系欧氏空间中的一般坐标系 现在的坐标线可能不再正交；现在的坐标线可能不再正交；不同点处的坐标线可能不再平行；不同点处的坐标线可能不再平行；基矢量基矢量(shling)(shling)的大小和方向都可能随点而异；的大小和方向都可能随点而异；各点处的参考架不再是正交标准化基。各点处的参考架不再是正交
28、标准化基。第51页/共101页第五十二页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3 坐标(zubio)转换第52页/共101页第五十三页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3将新基将新基 对老基对老基 分解分解(fnji)：转换系数：转换系数：反之：反之：第53页/共101页第五十四页，共101页。向新坐标轴向新坐标轴 投影投影(tuyng)(tuyng)，即用，即用 点乘上式两边，则点乘上式两边，则左边：左边：右边：右边：坐标坐标
29、(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3第54页/共101页第五十五页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3由上述两式可得新坐标由上述两式可得新坐标(zubio)(zubio)用老坐标用老坐标(zubio)(zubio)表示表示的表达式的表达式 经过类似推导可得老坐标经过类似推导可得老坐标(zubio)(zubio)用新坐标用新坐标(zubio)(zubio)表表示的表达式示的表达式 第55页/共101页第五十六页，共101页。坐标坐标(zubio)(
30、zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3坐标转换坐标转换(zhunhun)(zhunhun)的矩阵形式的矩阵形式(设新老坐标原点重合设新老坐标原点重合)第56页/共101页第五十七页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3 坐标转换的一般定义坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，和和 是同一是同一(tngy)(tngy)空间点空间点P P的新、老坐标值，则方程组的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐
31、标转换，称正转换定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换其逆变换为其逆变换为对对(A.53)(A.53)式微分式微分(A.53)第57页/共101页第五十八页，共101页。处处不为处处不为(b wi)(b wi)零，则存在相应的逆变换，即可反过来用零，则存在相应的逆变换，即可反过来用 唯一确定唯一确定坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubio)转换转换Appendix A.3其系数其系数(xsh)(xsh)行列式行列式(雅克比行列式雅克比行列式)第58页/共101页第五十九页，共101页。坐标坐标(zubio)(zubio)与坐标与坐标(zubio)(zubi
32、o)转换转换Appendix A.3 容许转换容许转换 由单值、一阶偏导数连续由单值、一阶偏导数连续(linx)(linx)、且、且J J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换处处不为零的转换函数所实现的坐标转换 正常转换正常转换 J J 处处为正，把右手系转换右手系处处为正，把右手系转换右手系 反常转换反常转换 J J 处处为负，把右手系转换成左手系处处为负，把右手系转换成左手系第59页/共101页第六十页，共101页。张量分析引论张量分析引论(yn ln)矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量(fn ling)转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方
33、向与主分量(fn ling)Appendix A第60页/共101页第六十一页，共101页。分量转换分量转换(zhunhun)(zhunhun)规律规律Appendix A.4 张量的分量转换规律 张量，都不会因人为选择(xunz)不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择(xunz)密切相关 所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性第61页/共101页第六十二页，共101页。Appendix A.4 标量分量(fn ling)转换规律 设一个标量在新、老坐标系中的值为 和 t，则 矢量分量(fn ling)转换规律 分量转换分量转换(zhunhun)规
34、律规律第62页/共101页第六十三页，共101页。Appendix A.4 张量分量转换张量分量转换(zhunhun)(zhunhun)规律规律 即：即：分量转换分量转换(zhunhun)规律规律第64页/共101页第六十五页，共101页。Appendix A.4高阶张量的分量高阶张量的分量(fn ling)(fn ling)满足如下转换规律满足如下转换规律分量转换分量转换(zhunhun)规律规律第65页/共101页第六十六页，共101页。Appendix A.4 张量方程 定义 每项都由张量组成的方程称为张量方程。特性 具有与坐标选择无关的重要(zhngyo)性质，可用于 描述客观物理现象
35、的固有特性和普遍规律。分量转换分量转换(zhunhun)规律规律第67页/共101页第六十八页，共101页。张量分析引论张量分析引论(yn ln)矢量(shling)和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A第68页/共101页第六十九页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 相 等 若两个张量 和 相等 则对应分量(fn ling)相等若两个张量在某个坐标系中的对应分量(fn ling)相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量(fn ling)也相等。第69页/共101页第七十页，共1
36、01页。张量代数张量代数&商判则商判则 和、差和、差 两个两个(lin)(lin)同阶张量同阶张量 与与 之和之和(或差或差)是另一个同阶张量是另一个同阶张量其分量关系其分量关系第70页/共101页第七十一页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 数数 积积 张量张量A A和一个和一个(y)(y)数数(或标量函数或标量函数)相乘得另一同维同阶张量相乘得另一同维同阶张量T T其分量关系为其分量关系为第71页/共101页第七十二页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 并并 积积 两个两个(lin)(lin)同维不同阶同维不同阶(或同阶或同阶)张量张量A A和和B B的并积的并积T T
37、是一个阶数等于是一个阶数等于A A、B B阶数之和的高阶张量。设阶数之和的高阶张量。设则则其分量关系为其分量关系为 注意注意(zh y)：第72页/共101页第七十三页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 缩缩 并并 若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。其分量其分量(fn ling)(fn ling)关系为关系为第73页/共101页第七十四页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果(ji(ji gu
38、)gu)也不同。例如若也不同。例如若第74页/共101页第七十五页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 内内 积积 并积加缩并运算称为内积。例如并积加缩并运算称为内积。例如(lr)(lr)和和 的一种内积是的一种内积是第75页/共101页第七十六页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 点 积 前张量A的最后基矢量与后张量 B的第一基矢量缩并的结果，记为 ，是最常用(chn yn)的一种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。第76页/共101页第七十七页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 双点积 对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为(chn wi)双点积，共
39、有两种：并双点积串双点积第77页/共101页第七十八页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 并矢并矢 把把K K个独立个独立(dl)(dl)矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个K K阶张量。阶张量。由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各个由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各个(gg)(gg)矢量的排列顺序不得任意调换。矢量的排列顺序不得任意调换。第78页/共101页第七十九页，共101页。张量代数张量代数&商判则商判则 商判则和任意矢量(shling)的内积(包括点积)为 K-1 阶张量的量一定是个 K 阶张量。一个一个 K 阶张量连续
40、地和阶张量连续地和 n 个任意矢量个任意矢量(shling)求求内积，其缩并的结果是一个内积，其缩并的结果是一个 K-n 阶张量阶张量第79页/共101页第八十页，共101页。张量分析引论张量分析引论(yn ln)矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程(fngchng)张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量Appendix A第80页/共101页第八十一页，共101页。特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量 常用(chn yn)特殊张量
41、 零 张 量 则：第81页/共101页第八十二页，共101页。特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与主分量与主分量与主分量与主分量 单位(dnwi)张量 笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量 I，即单位张量和任意张量的点积就等于单位张量和任意张量的点积就等于(dngy)该张量该张量本身：本身：I aa，I AA第82页/共101页第八十三页，共101页。特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量 球形张量
42、球形张量 主对角主对角(du jio)(du jio)分量为分量为 ，其余分量为零的二阶张量。它是数，其余分量为零的二阶张量。它是数 与单位张量的数积。即与单位张量的数积。即第83页/共101页第八十四页，共101页。特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与主分与主分与主分与主分量量量量 转置张量转置张量 对于二阶张量对于二阶张量 ，由对换分量，由对换分量(fn ling)(fn ling)指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量称为张量称为张量 T T 的转置
43、张量。的转置张量。第84页/共101页第八十五页，共101页。特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与主分与主分与主分与主分量量量量 对称张量对称张量 对称张量对称张量 第85页/共101页第八十六页，共101页。特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与主分与主分与主分与主分量量量量 加法加法(jif)(jif)分解分解 任意二阶张量任意二阶张量T T均可分解为对称张量均可分解为对称张量 S S 和反
44、对称张量和反对称张量 A A 之和：之和：第87页/共101页第八十八页，共101页。特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量 偏斜偏斜(pin xi)(pin xi)张量张量 任意二阶对称张量任意二阶对称张量 S S 均可分解为球形张量均可分解为球形张量 P P 和偏斜和偏斜(pin xi)(pin xi)张量张量 D D 之和：之和：其中其中(qzhng)第88页/共101页第八十九页，共101页。特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing
45、)(fngxing)(fngxing)与主分量与主分量与主分量与主分量 置换置换(zhhun)(zhhun)张量张量笛卡尔系中以笛卡尔系中以ersterst为分量的三阶张量，又称排列张量为分量的三阶张量，又称排列张量第90页/共101页第九十一页，共101页。特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与主分与主分与主分与主分量量量量各向同性张量各向同性张量所有分量均不因坐标转换而改变的张量。所有分量均不因坐标转换而改变的张量。例如：单位例如：单位(dnwi)(dnwi)张量张量I I、球形张量、置换张
46、量等。、球形张量、置换张量等。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。第91页/共101页第九十二页，共101页。一般说，矢量一般说，矢量 a a 与与 b b 并不同向。对于给定的任意二阶张并不同向。对于给定的任意二阶张量量 T T 能否找到某个能否找到某个(mu)(mu)矢量矢量 ，它在线性变换后能，它在线性变换后能保持方向不变，即保持方向不变，即或或特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)(fngxing)(fngxing)与主分量与主分量与主分量与主分量 主方向(fn
47、gxing)与主分量 二阶张量可定义为一种由矢量 a 到矢量 b 的线性变换，即第92页/共101页第九十三页，共101页。其中其中(qzhng)是标量。上式是求是标量。上式是求 j 的线性齐次的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件是系数行代数方程组，存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零列式为零特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)与主分量与主分量与主分量与主分量第93页/共101页第九十四页，共101页。这是关于这是关于的特征方程；其中的特征方程；其中是是TijTij的主对角分量的主对角分量(fn ling)(fn l
48、ing)之和，称为张量之和，称为张量T T的迹，记作的迹，记作trTtrT是矩阵是矩阵TijTij的二阶主子式之和。的二阶主子式之和。特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量第94页/共101页第九十五页，共101页。是矩阵是矩阵(j zhn)的行列式，记作的行列式，记作detT。特征方程的三个特征根称为张量特征方程的三个特征根称为张量T的主分量。当的主分量。当T是实对称张量时，存在三个实特征根是实对称张量时，存在三个实特征根 特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主
49、分量张量，主方向与主分量第95页/共101页第九十六页，共101页。由特征由特征(tzhng)(tzhng)方方程求特征程求特征(tzhng)(tzhng)根：根：特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向特殊张量，主方向(fngxing)(fngxing)与主分量与主分量与主分量与主分量由每个由每个(k)(k)分别分别(fnbi)(fnbi)求求特征方向：特征方向：方向矢量方向矢量 j(k)第96页/共101页第九十七页，共101页。特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量由上述由上述(sh
50、ngsh)方法求得的三个单位矢量方法求得的三个单位矢量(k)j(k)ej称为称为张量张量T的主方向的主方向注 若(1),(2),(3)互不相等，则(1),(2),(3)互相垂直。对于二重根情况，例如(1)(2)，则垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任选其中两个互相垂直方向作为(zuwi)(1)和(2)。对于三重根情况，例如(1)(2)(3)，则任何方向都是主方向，可任选三个互相垂直的方向作为(zuwi)(1),(2)和(3)第97页/共101页第九十八页，共101页。特殊特殊特殊特殊(tsh)(tsh)(tsh)(tsh)张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方向与主分量张量，主方