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1、1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程冯 西 桥清华大学工程力学系2007.10.10第三章 应力理论 Theory of stresses 2病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程3病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter
2、 3.1 外 力4病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力n 体 力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。n 面 力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。5病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1 定 义 式体力：6病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定
3、部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1 定 义 式面力：7病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1 内 力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。8病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chap
4、ter 3.1 应 力 应力矢量9病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力,也称柯西应力。应力矢量：10病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1应力的定义11病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部
5、位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1 应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而且和面元法线方向 有关。12病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力 作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。13病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1应力矢量和 面力矢量的数学定义和物理量纲都
6、相同。区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。14病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1正六面体微元:外法线与坐标轴同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的单位法向矢量为iei，ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。15病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter
7、3.116病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1应力分量的正负号规定17病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1应力分量的个数18病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1x222x11131e1e2 e3x3 33321323211219病原体侵入机体，消弱机体防御机
8、能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：x222x11131e1e2e3x3 33321323211220病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1共出现九个应力分量：21病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 外力、内力与应力Chapter 3.1 第一指标i表示面元的法线方向，称面
9、元指标；第二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。当i j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。23病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程24病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2柯西公式四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中为方向的方
10、向余弦。斜截面上的应力25病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2斜截面上的应力柯西公式27病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2 的面积为dS,则三个负面的面积分别为斜截面的面元矢量为：柯西公式28病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2四面体的体积为：dh为顶点 O 到斜面的垂直距离n柯西公式29病原体侵入机体，消弱
11、机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2四面体上作用力的平衡条件是：第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：柯西公式30病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2根据商判则，知 必是一个二阶张量，于是定义应力张量柯西公式31病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。Chapter 3.2柯西公式32病原体侵入
12、机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为即柯西公式33病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的大小柯西公式34病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的方向即柯西公式35病原体侵入机体，消弱机体防
13、御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2斜面正应力斜面剪应力 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式36病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2 若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件：其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为写成指标符号 柯西公式应用给定应力边界条件柯西公式37病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3
14、 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程38病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2应力转换公式 应力分量转换公式新、老两个笛卡尔坐标系 和坐标间转换关系为：39病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2考虑垂直于新轴 的正截面，其法向矢量即为。利用柯西公式，该截面上的应力为 是新正截面上的应力 对老坐标轴 分解的结果。应力转换公式40病原体侵入机体，消
15、弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.2将 对新坐标轴 分解可以得到新坐标系中的应力分量：应力转换公式41病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程上式就是应力分量转换公式，简称转轴公式。Chapter 3.2应力转换公式42病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微
16、分方程43病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量44病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量 概 念 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。主平面上的正应力称为主应力。45病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不
17、变量 主应力和应力不变量假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力 pn，亦即n方向截面上剪应力为零。则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为46病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量对斜面BCD运用柯西公式，可得：由剪应力互等定理可得：47病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量由(1)和(2)式得：48病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破
18、坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量由于，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：49病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量展开行列式得到应力状态的特征方程：式中50病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量51病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳
19、定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：1，2，3，即为该点的三个主应力。52病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：53病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量 I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，
20、称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立的。通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主应力1、第二主应力2和第三主应力3，且 54病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量 主应力的性质 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。实数性 即特征方程的根永远是实数。55病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量 极值性主应力
21、1和3是一点正应力的最大值和最小值。在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：56病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量正交性 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交；特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向；特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。57病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.
22、3 主应力&应力不变量 在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的主轴。处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线。以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系。在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型 主应力坐标系58病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量在主坐标系中，主不变量表示为 主应力坐标系59病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa）
23、试求主应力分量及主方向余弦。解：此点的应力状态张量的矩阵形式为：主应力&应力不变量60病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程首先，求出应力不变量为于是，特征方程为 主应力&应力不变量61病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程求解此特征方程，得三个主应力分别为 主应力&应力不变量62病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式，联立求
24、解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求1的方向余弦，l1、m1、n1，将1214.6代入上式的前两式得 主应力&应力不变量63病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 主应力&应力不变量64病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程同样可得其余两组方向余弦为：主应力：主方向方向余弦：主应力&应力不变量65病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量
25、应力偏量将应力张量分解成球形张量和偏斜张量其中球形应力张量：66病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.3 主应力&应力不变量应力偏量67病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程68病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.
26、4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力69病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力 在主应力坐标系中：约束条件：70病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力引进拉格朗日乘子，求泛函 的极值。相应极值条件为于是，可得如下方程组71病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3
27、.4最大剪应力&八面体剪应力可解出三个法线方向，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。72病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力剪应力的三个极值：方向：与对应的两个主应力夹角为 45。O73病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 正八面体74病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程
28、度的病理生理过程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力75病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力八面体正应力0为由可得八面体剪应力0 为76病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程冯 西 桥清华大学工程力学系2007.10.17第三章 应力理论 Theory of stresses 77病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起
29、不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程80病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程81病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程82病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程83病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生
30、理过程84病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程85病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程86病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程87病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程93病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平
31、衡微分方程同理，得到 y 方向和 z 方向的平衡方程式分别为94病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下：用指标符号可缩写成95病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，于是由平衡方程导出运动微分方程其中，为材料密度，ui为位移分量，t为时间。96病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一
32、定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 剪应力互等定理97病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 剪应力互等定理98病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程99病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 剪应力互等定理102病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程应力的平衡微分方程
33、(简称平衡方程)如下：用指标符号表示为：用实体符号表示为：103病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程平衡微分方程另外一种推导方法104病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程平衡微分方程另外一种推导方法平衡条件：即：105病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程 圆柱坐标系中的平衡方
34、程 工程实践中常常要分析圆柱、圆筒等物体的受力及变形问题，在这些情况下采用柱坐标系比较方便，为此以下将给出柱坐标系下平衡方程的相应形式。106病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程 圆柱坐标系中的应力张量107病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程 圆柱坐标系中的应力张量或108病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过
35、程Chapter 3.5平衡微分方程110病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程将单元体向roz平面投影111病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程将单元体向xoy平面投影112病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程113病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性
36、，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程简化，得由于d是小量，所以可取114病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程同理可求得圆周方向(方向)及轴向(z方向)的平衡微分方程，于是可得柱坐标系下的平衡微分方程为：115病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程或表示为：116病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 3.5平衡微分方程 球坐标系中的应力平衡方程117病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应力理论Chapter 3 应力的定义 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程118病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程谢 谢！