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1、弹性力学Chapter 7 第一章 绪论 第二章 张量分析初步 第三章 应力理论 第四章 应变理论 第五章 本构关系 第六章 弹性理论的微分提法 第七章 平面问题 第八章 柱形杆问题 第九章 空间问题 第十章 能量方法第1页/共100页第七章 平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论第2页/共100页实际工程结构是空间物体 三维弹性力学问题 ij(x,y,z)6 个 ij(x,y,z)6 个 坐标(x,y,z)的函数 ui(x,y,z)3 个两种解法:(1)以ui(
2、x,y,z)为基本未知量 (2)以ij(x,y,z)为基本未知量 ij=(ui,j+uj,i)/2 6 ij=(1+)ij-kk ij/E 6 ij=2Gij+kkij 6 emjkenil ij,kl=0 6-3 ij,j+fi=0 3 ij,j+fi=0 3 简化：减少未知量数,减少问题的维数（材料力学：一维）弹性力学平面问题 二维问题：(x,y)的函数基本方程Chapter 7.1第3页/共100页本构本构本构本构关系关系关系关系位移表示的平衡方程（位移表示的平衡方程（位移表示的平衡方程（位移表示的平衡方程（L-NL-N方方方方程）（程）（程）（程）（3 3）位移边界条件（位移边界条件（
3、位移边界条件（位移边界条件（3 3）位移解法几何几何几何几何关系关系关系关系基本框架基本框架第4页/共100页本构本构本构本构关系关系关系关系应力协调方程（应力协调方程（应力协调方程（应力协调方程（3 3）应力平衡方程（应力平衡方程（应力平衡方程（应力平衡方程（3 3）应力边界条件（应力边界条件（应力边界条件（应力边界条件（3 3）应力解法几何几何几何几何关系关系关系关系基本框架基本框架第5页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应变问题 平面应力问题 广义平面应变问题 广义平面应力问题第9页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应变问题平面应变问题zyxp
4、第10页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应变平面应变基本假设：基本假设：基本假设：基本假设：p几何上是柱形体，横截面形状沿形心轴 z 保持不变。且轴向尺寸比横截面尺寸大得多。p承受面内载荷。全部载荷及约束力都作用在横截面(xy平面)内，在面内构成自平衡力系。轴向(z)分量均为零，且都沿轴向保持不变。p没有轴向应变：第11页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应变平面应变平面问题非零位移 u(x,y),v(x,y)柱体两端面沿轴向固定 w(x,y,z)=0非零应变分量 x,y,xy(x,y)第12页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1x=
5、x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)xz=yz=z=0 平面应变问题基本场变量：平面应变问题基本场变量：x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=z(x,y)xz=yz=0u=u(x,y)v=v(x,y)w=0第13页/共100页 x y z例1 1 水坝夹于山体中 受静水压与自重 x y化为二维问题平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应变平面应变第14页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 zy x例2 2 山洞受山体自重y x化为二维问题 平面应变平面应变第15页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应力问题平面应力问题 x
6、 z yMzMzq qr z 化为二维问题Mzq qrMz第16页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应力问题平面应力问题基本假设：基本假设：基本假设：基本假设：p几何上是平面状薄板，其厚度远远小于面内特征尺寸。p承受面内载荷。全部载荷及约束力都作用在横截面(xy平面)内，在面内构成自平衡力系。在所有位置，法向(z)分量均为零。p板的上下表面没有外力左右：第17页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面应力平面应力t柱体端面自由:z=xz=yz=0设柱体内部：z=xz=yz=0满足此条件者为：严格的平面应力问题第18页/共100页平面问题及其分类Chapte
7、r 7.1x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=z(x,y)xz=yz=0 平面应力问题场变量：平面应力问题场变量：x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=0 xz=yz=0u=u(x,y)v=v(x,y)w=w(x,y)0t第19页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 基本场变量：基本场变量：x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=z(x,y)xz=yz=0 x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=0 xz=yz=0u=u(x,y)v=v(x,y)w=0 平面应变 平面应力x=x(x,y)y=y(x,y)xy=x
8、y(x,y)gxz=yz=z=0 x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=z(x,y)xz=yz=0u=u(x,y)v=v(x,y)w=0第20页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 x,y,xy,z 不独立x,y,xy,z 不独立xz=yz=0 平面应变x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)xz=yz=z=0平面应力sx=x(x,y),sy=y(x,y)xy=xy(x,y)xz=yz=z=0 xz=yz=0 即在即在平面应变平面应变状态中只出现三个面内的应变分量，而应力分状态中只出现三个面内的应变分量，而应力分量有四个量有四个:x,y,xy,z；在
9、；在平面应力平面应力状态中只出现三个面内状态中只出现三个面内的应力分量，而应变分量有的应力分量，而应变分量有 x,y,xy,z 四个。四个。第21页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：1.本构方程本构方程第22页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1平面应力问题的各向同性线弹性本构关系平面应力问题的各向同性线弹性本构关系第23页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1平面应变平面应变 平面应力平面应力应力应力-应变应变第24页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1平面应变平面应变 平面应力平面应力应变应变
10、-应力应力第25页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1可以看到：可以看到：除了存在三个面内应力、应变分量外，平面应变问题中除了存在三个面内应力、应变分量外，平面应变问题中轴向应力轴向应力z0，平面应力问题中轴向应变，平面应力问题中轴向应变z0，这是两类平面问题的重要区别。，这是两类平面问题的重要区别。非零的非零的z或或z都是不独立的，可以通过相应的面内分量来表示。所以都是不独立的，可以通过相应的面内分量来表示。所以求解两类平面问题时都只考虑面内的三个应力、应变分量。求解两类平面问题时都只考虑面内的三个应力、应变分量。第26页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1如果将
11、平面应力中的弹性常数如果将平面应力中的弹性常数E,G,改为改为则化为平面应变的本构方程。则化为平面应变的本构方程。其中其中第27页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1反之如将平面应变各式中的反之如将平面应变各式中的 E,G,改为改为 则化为平面应力本构方程。则化为平面应力本构方程。即即第28页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.12.平衡方程平衡方程 对于两类平面问题平衡方程都简化为：对于两类平面问题平衡方程都简化为：第29页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.13.协调方程协调方程 三维协调方程：三维协调方程：平面问题协调方程：平面问题协调方程：平面应变
12、问题：平面应变问题：非平凡的方程：非平凡的方程：第30页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.13.协调方程协调方程 第31页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.13.协调方程协调方程 三维协调方程：三维协调方程：平面问题协调方程：平面问题协调方程：平面应力平面应力问题：问题：第32页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.13.协调方程协调方程 平面应力平面应力问题：问题：(1)如果 m 和 n 都不等于3,则指标 i 和 j 必须都等于3，以避免平凡恒等式 00;第33页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.13.协调方程协调方程 平面应力平面应力问
13、题：问题：(2)如果 m 和 n 都等于3,则与平面应变情况相同;(3)如果 m 和 n中只有一个等于3,则得到平凡恒等式 00.第34页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1其解是：其解是：将将 代入上式得：代入上式得：(A,B,C为常数)(a,b,c为常数)对于平面应力情况，第二、第三和第六协调方程不能自动满足，它们分别简化为：第35页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1u只要应变分量满足面内协调方程，则平面应变状态一定存在。只要应变分量满足面内协调方程，则平面应变状态一定存在。u 但对平面应力问题还必须满足线性条件但对平面应力问题还必须满足线性条件(1)或或(2
14、)式，即轴向应变式，即轴向应变 z 或或第一应力不变量第一应力不变量 应为坐标应为坐标 x,y 的线性函数，否则平面应力状态不的线性函数，否则平面应力状态不存在。存在。第36页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 广义平面应力问题广义平面应力问题 对于轴向尺寸远小于截面尺寸的薄板型构件，或在物体自由表面附近对于轴向尺寸远小于截面尺寸的薄板型构件，或在物体自由表面附近的一薄层内，可以证明应力的一薄层内，可以证明应力z和面内应力分量相比可以忽略，因而即和面内应力分量相比可以忽略，因而即使不满足线性条件，仍可以近似地按平面应力状态处理，称为使不满足线性条件，仍可以近似地按平面应力状态处
15、理，称为广义平广义平面应力面应力状态。应该指出，在广义平面应力状态中，面内应力、应变和状态。应该指出，在广义平面应力状态中，面内应力、应变和位移分量沿板厚是变化的，此时所考虑的是它们沿板厚的位移分量沿板厚是变化的，此时所考虑的是它们沿板厚的平均值平均值。第37页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 广义平面应力问题广义平面应力问题 面内应力、应变和位移分量沿板厚是变化的，此时认为它们沿板厚的平均值满足所有面内基本方程。第38页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.14.4.几何方程几何方程 由于由于 zyzx0 以及以及 z0 或或 z 不独立不独立(平面应力平面应力)
16、，对于两类平面问题，对于两类平面问题，几何方程均表示为：几何方程均表示为：第39页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 关于关于轴向位移轴向位移 w，两类平面问题分别讨论。，两类平面问题分别讨论。对于平面应力状态，有对于平面应力状态，有其中，w00 是 z0 截面上的轴向位移。第40页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 由于平面问题的几何形状、载荷与约束均与由于平面问题的几何形状、载荷与约束均与z无关，选坐标使该截面的无关，选坐标使该截面的坐标坐标z0，则由，则由对称性对称性得得：上式简化为：上式简化为：第41页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1
17、仅当变形后截面仍保持平面时，平面应力状态才仅当变形后截面仍保持平面时，平面应力状态才能存在。能存在。对于平面应变状态，对于平面应变状态，z0，这意味着平面应变状态要求在端面或侧面有足够的位移这意味着平面应变状态要求在端面或侧面有足够的位移约束，以保证在柱形体内处处约束，以保证在柱形体内处处 w0 或或 z0第42页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.15.边界条件边界条件 由于由于zxzy0 和和 30，两类平面问题的侧面力边界条件都简化为：，两类平面问题的侧面力边界条件都简化为：因面内应力分量与因面内应力分量与z无关，意味着仅当侧面外载荷是与无关，意味着仅当侧面外载荷是与 z 无
18、关的面内载荷时，才能简化为平面问题。无关的面内载荷时，才能简化为平面问题。第43页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 端面的力边界条件分别为：端面的力边界条件分别为：平面应变平面应变平面应力第44页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1平面应变状态平面应变状态：两端必须存在按左式分布的端面载荷，或轴向刚性、：两端必须存在按左式分布的端面载荷，或轴向刚性、面内光滑的端面约束。面内光滑的端面约束。如果端面载荷不按上述分布，但和它静力等效；或端面约束在面内有如果端面载荷不按上述分布，但和它静力等效；或端面约束在面内有摩擦，在平面应变状态仅存在于两端圣维南过渡区之外。摩擦，
19、在平面应变状态仅存在于两端圣维南过渡区之外。如果连静力等效也不保证，则按如果连静力等效也不保证，则按广义平面应变广义平面应变处理。处理。第45页/共100页平面问题及其分类Chapter 7.1 广义平面应变广义平面应变 受自平衡面内载荷受自平衡面内载荷(或约束力或约束力)以及端面法向载荷以及端面法向载荷(或约束力或约束力)作用的柱作用的柱形杆，都可按广义平面应变问题来处理。形杆，都可按广义平面应变问题来处理。zyxp第46页/共100页平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解
20、和解法的讨论第48页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2p 平面问题的未知量位移分量：位移分量：u,v应变分量：应变分量：应力分量：应力分量：注：上述分量在平面问题中都只是面内坐标x，y的函数。第49页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2p 平面应力问题的基本方程平衡方程：平衡方程：几何方程：几何方程：第50页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2本构方程本构方程(平面应力平面应力)：协调方程：协调方程：第51页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2边界条件：边界条件：在力边界在力边界 上上在位移边界在位移边界 u上上 很多情况下，很
21、多情况下，两类平面问题是统一的。只要解出其中一个，另一个两类平面问题是统一的。只要解出其中一个，另一个可用替换弹性常数来得到。可用替换弹性常数来得到。第52页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2 泊松比越大，两类平面问题泊松比越大，两类平面问题的差别越大，的差别越大，材料材料E*/E*/水泥水泥0.11.011.11钢材钢材0.31.101.43环氧树脂环氧树脂0.481.291.92 其中其中E*/E对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般不对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般不超过超过30第53页/共100页代代入入代入代入平面问题的基本解法Chapter 7.2p 基
22、本解法(以平面应力为例)位移解法位移解法用位移表示的平用位移表示的平 衡衡方程方程(L-N方程方程)第54页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2平面应力问题的平面应力问题的位移解法基本方程位移解法基本方程。第55页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2其中其中平面应力问题的平面应力问题的位移解法基本方程位移解法基本方程也可写成：也可写成：或或第56页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2用位移表示的力边界条件：用位移表示的力边界条件：第57页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2应力解法代入代入应力表示的协调应力表示的协调方程方程(B-
23、M方程方程)第58页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2 对于对于无体力无体力或或常体力常体力情况，简化为：情况，简化为：同时，平衡方程和力边界条件也都与弹性常数无关。同时，平衡方程和力边界条件也都与弹性常数无关。第59页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2小结：对于全部边界条件为力边界的无对于全部边界条件为力边界的无(常常)体力平面问题，只要几何形状和体力平面问题，只要几何形状和加载情况相同，而且是加载情况相同，而且是各向同性材料各向同性材料，无论哪类平面问题，物体内，无论哪类平面问题，物体内 面内应力分量面内应力分量 的大小和分布情况都相同。的大小和分布情况
24、都相同。这种等同性对轴向分量这种等同性对轴向分量z，z和和并不成立，对有位移边界的问题，或并不成立，对有位移边界的问题，或位移单值条件与弹性常数有关的多连通域问题也不适用。位移单值条件与弹性常数有关的多连通域问题也不适用。第60页/共100页平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论第61页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2 应力函数解法有势力场，存在势函数有势力场，存在势函数 V，使，使平衡方程化为平衡方程化为引进连续函数引进连续函数 A(x,y)
25、使使则平衡方程第一个自动满足。则平衡方程第一个自动满足。第62页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2同理引进如下连续函数同理引进如下连续函数 B(x,y)必满足第二个平衡方程。由于必满足第二个平衡方程。由于 ，又可断定存在连续函数又可断定存在连续函数能满足两个平衡方程。能满足两个平衡方程。就是平面问题就是平面问题艾瑞应力函数艾瑞应力函数第63页/共100页平面问题的应力公式：平面问题的应力公式：代入应力协调方程，得代入应力协调方程，得应力函数解法的基本方程应力函数解法的基本方程：平面问题的基本解法Chapter 7.2平面应力平面应力平面应变第64页/共100页平面问题的基本解
26、法Chapter 7.2对于无体力情况，对于无体力情况，V=0，应力公式变为，应力公式变为对于常体力情况，将对于常体力情况，将积分得积分得它和无体力情况一样，满足它和无体力情况一样，满足 ，因而两类平面问，因而两类平面问题的求解方程统一为：题的求解方程统一为：第65页/共100页(1)式右端两项分别只是坐标式右端两项分别只是坐标x或坐标或坐标y的函数，所以常体力时将应力公式的函数，所以常体力时将应力公式作如下简化作如下简化仍能满足平衡方程。仍能满足平衡方程。平面问题的基本解法Chapter 7.2简化为简化为第66页/共100页平面问题的基本解法Chapter 7.2用应力函数表示的力边界条件
27、为：用应力函数表示的力边界条件为：第67页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3 Airy应力函数的性质：性质性质1 Airy 应力函数可确定到只差一个线性函应力函数可确定到只差一个线性函 数的程度。数的程度。第68页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3平面问题中的Airy应力函数具有如下重要性质：性质性质2 2 Airy 应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边界载荷的主矩和主矢量来确定。界载荷的主矩和主矢量来确定。xyoAB 第69页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB 用应力函数表示的力边界条件为（无体力
28、）：用应力函数表示的力边界条件为（无体力）：第70页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB 应力函数导数的物理意义第71页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB 第72页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB 应力函数的物理意义第73页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB sBA0Rx0Ry0若起始点为A0,应力函数边界值为，此时 起始点的影响第76页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB sBA0Rx0Ry0 起始点的影响第77页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3xyoAB s
29、BRnRs n-s 坐标系第78页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3无体力平面问题的应力函数解法归结为：无体力平面问题的应力函数解法归结为：域内满足：域内满足：边界给定：或或或或第79页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3性质3：弹性体内的应力函数值与所选择的参考坐标系无关。AP 1 2 1APp=v 第80页/共100页应力函数的性质Chapter 7.3性质4：应力函数的单值性条件是：作用在物体闭合边界上的全部载荷构成自平衡力系。u平面问题的面内载荷都是自平衡力系，所以，单连体内应力函数平面问题的面内载荷都是自平衡力系，所以，单连体内应力函数必单值。必单值。u多连
30、体有几个闭合边界，每边载荷不一定自平衡，因而应力函数多连体有几个闭合边界，每边载荷不一定自平衡，因而应力函数可能多值。但多值性仅影响及其一阶导数，用二阶导数定义的应可能多值。但多值性仅影响及其一阶导数，用二阶导数定义的应力仍是单值的。力仍是单值的。第81页/共100页平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论第83页/共100页平面问题直角坐标解Chapter 7.4p 多项式解 的通解 =任一特解 +齐次方程通解。齐次方程：第84页/共100页Chapter 7.4
31、平面问题直角坐标解把把 展成多项式：展成多项式：第85页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解能自动满足双调和方程的多项式：均匀应力状态：二次多项式 a2x2+b2xy+c2y2 线性分布应力状态：三次多项式 a3x3+b3x2y+c3xy2+d3y3第86页/共100页 反逆法 Chapter 7.4平面问题直角坐标解第87页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解算例 1 纯弯梁(2)由边界条件：上下面边界条件自动满足；(1)选取应力函数：端部边界条件的合力、合力矩条件：第88页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解算例 1 纯弯梁(4)求应变、位移
32、(3)求应力：挠度方程：第89页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解算例 2 均布载荷作用下的简支梁 半逆解法(1)选取应力函数：由于载荷分布与 x 无关，近似假设：第90页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解根据对称条件：f1(y)=0第91页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解第92页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解(2)上下面边界条件（主要边界）：第93页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解(2)端部边界条件（次要边界）：第94页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解第95页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解 应力分布+-第96页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解1.5Q/h-q第97页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解两端简支：横剪应力引起横向正应力引起第98页/共100页Chapter 7.4平面问题直角坐标解梁的中心线中点挠度梁中心线伸长第99页/共100页感谢您的观看！第100页/共100页