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1、会计学1选修立体几何中的向量方法三选修立体几何中的向量方法三一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）第1页/共23页向量的有关知识：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cos a,b两向量夹角公式：cosa,b=直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量第2页/共23页(课本第10
2、7页练习2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.BACD第3页/共23页二面角的平面角方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABDCLBA第4页/共23页 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与
3、 的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3第5页/共23页所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为第6页/共23页 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：可算出 AB 的长。第7页/共23页 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：
4、如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCD第8页/共23页 （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CFAB 于 F。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。第9页/共23页空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线 所成的角为 ,则第10页/共23页例2第11页/共23页解：以点C为坐标原点建立
5、空间直角坐标系 如图所示，设 则：所以：所以 与 所成角的余弦值为第12页/共23页练习：在长方体 中，第13页/共23页方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABDCLBA2、二面角第14页/共23页注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小2、二面角若二面角 的大小为 ,则法向量法第15页/共23页例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1第16页/共23页
6、解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为第17页/共23页由于且，所以在中，同理可求cos=即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE第18页/共23页解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中设面的一个法向量为同 法 一，可 求 B(0,1,0)可取(1,0,0)为面的法向量yxzCADBC1B1A1由得解得所以，可取二面角的大小等于cos=即二面角的余弦值为方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第19页/共23页1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值巩固练习B1A1C1D1DCBAOM第20页/共23页ABn2.线面角设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则n而利用可求，从而再求出第21页/共23页2.线面角l设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为(),则第22页/共23页