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1、第一节第一节一、标量函数的曲线积分（对弧长的曲线积分或第一类曲线积分）二、向量函数的曲线积分（对坐标的曲线积分或第二类曲线积分）曲线积分 第十四章 第1页/共62页第一部分第一部分一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十四章 第2页/共62页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质弧段为AB,其线密度为“四步九字法：分割，代替，求和，取极限”为计算此构件的质量,1.1.引例:曲线形构件的质量M（以平面曲线为例）采用假设曲线形细长构件L在 面所占计算此构件的质量M.第3页/共62页分割（大化小）：求和（近似和）：取极限：近似值值精
2、确值值代替(常代变）：第4页/共62页2.2.定义定义设 L 是 xOy 面上的一条光滑曲线弧,在 L 有界。在 L 上任意插入一点列 把L分成 n个小段。设第i个小段的长度为 。又 为第i个小段上任意取定如果当各小弧段的长度的最大值 时，的一点，作乘积 ，并作和这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲线弧L上标量函数的曲线积分对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，第5页/共62页思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.即：被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式记作第6页/共62页
3、注意：1 1、上述积分是定积分和重积分的推广。既有联系又有区别,注意：只用了一个积分号！。2、如果 L 是闭曲线,则记为第7页/共62页4 4、存在条件：6 6、推广5 5、物理意义：曲线型构件的质量。设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,则记作第8页/共62页3.性质性质（,为常数)(L 由 组成)(l 为曲线弧 L 的长度)(3)设第9页/共62页（6 6）对称性平面曲线积分同二重积分，空间曲线积分通三重积分。第10页/共62页二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算法法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积
4、分根据定义 第11页/共62页点设各分点对应参数为对应参数为 则第12页/共62页因此第13页/共62页注意注意:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.不是独立，而是有关联的！第14页/共62页如果曲线如果曲线 L 的方程的方程为为则有推广:设空间曲线弧的参数方程为则特殊情形;如果曲线 L 的方程为则有第15页/共62页思考：例例1 1第16页/共62页例例2.计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解:上点 O(0,0)第17页/共62页计算曲线积分 ，L L：x x2 2+y+y2 2=a=a2 2直线y=xy=x,及x x轴 在第一象限内所围
5、成的区域边界 解：例例3 3第18页/共62页例例4.计算曲线积分计算曲线积分 其中 为螺旋的一段弧.解:线第19页/共62页例例5.计算计算其中 为球面解:化为参数方程 则第20页/共62页例例6 6 第21页/共62页内容小结内容小结1.定义2.性质(l 曲线弧 的长度)第22页/共62页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧第23页/共62页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:第24页/共62页2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程的方程为为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为 (常数).(2)L的质量
6、而(1)第25页/共62页故重心坐标为第二节 第26页/共62页备用题备用题1.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分第27页/共62页2.L为球为球面面标面的交线,求其形心坐标.在第一卦限与三个坐解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为第28页/共62页第二部分第二部分一、对坐标的曲线积分的概念 与性质二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十四章 第29页/共62页预备知识：预备知识：有向曲线：指定了走向的曲线称为有向曲线。第30页/共62页一、一、对坐标的曲线积分的概念与性对坐标的曲线积分的概念与性质质1.引例:变力沿曲线所
7、作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共62页1)“大化大化小小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共62页3)“近似近似和和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共62页2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的
8、一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上或对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量函数的积分，第34页/共62页若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共62页说明：3.物理意义：物理意义：变力做功变力做功1.存在条件：存在条件：2.当积分路径L L是封闭曲线时，第二类曲线积分可记为：第36页/共62
9、页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共62页二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算基本思路:计算定积分转 化求曲线积分第38页/共62页对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法:定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共62页注意：注意：下限下限对应对应L起点，起点，上限上限对应对应L的终点。的终点。不一定小于不一
10、定小于 第40页/共62页特殊情形特殊情形（1 1）若曲线方程是：（2 2）若曲线方程是：第41页/共62页第42页/共62页若空间曲线方程为一般方程：则应先把它化为参数方程后在转化为定积分。第43页/共62页例例1.计算计算其中L 为沿抛物线解:取 y 为参数,则从点的一段.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共62页例例2.计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共62页问题：被积函数相同，
11、起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第46页/共62页例例3.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解:(1)原式(2)原式(3)原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第47页/共62页问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.第48页/共62页例例4.设在力设在力场场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页/共62页例例5.求求其中从 z 轴正向向负向看为顺时针方向.解:取 的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第50页/共62页三、两类曲线积分之间
12、的联系三、两类曲线积分之间的联系 两类曲线积分有如下联系：机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第51页/共62页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系上的两类曲线积分的联系是是令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页/共62页例例6.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 第53页/共62页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 第54页/共62页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目
13、录 上页 下页 返回 结束 第55页/共62页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第56页/共62页原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共62页2.已已知知为折线 ABCOA(如图),计算提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共62页备用题备用题 1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页/共62页2.设曲线设曲线C为曲为曲面面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页/共62页(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第61页/共62页感谢您的观看。第62页/共62页