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1、主要教学内容：定积分的概念定积分的基本性质微积分基本定理定积分的计算*无穷区间上的反常积分（不讲）2.6 定积分第1页/共54页定积分概念1.几个典型的定积分问题2.定积分的定义3.定积分的几何意义2.6 定积分第2页/共54页2.6 定积分1.几个典型的定积分问题（1 1）曲边）曲边梯形梯形的面积的面积曲边梯形是由连续曲线曲边梯形是由连续曲线及及 轴，轴，以及两直线以及两直线所围成，求其面积所围成，求其面积 .矩形面积矩形面积三角形面积三角形面积多边形面积多边形面积第3页/共54页2.6 定积分(a)基本思想：用矩形的面积近似代替曲边梯形的面积。(b)(b)在在 a,b 中插入中插入7 7个
2、分点，曲边梯形分为个分点，曲边梯形分为8 8个小曲边梯个小曲边梯 形，每个小曲边梯形面积都近似用矩形面积代替。形，每个小曲边梯形面积都近似用矩形面积代替。第4页/共54页2.6 定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积 所有窄条矩形面积之和所有窄条矩形面积之和矩形估计方法矩形估计方法第5页/共54页2.6 定积分a.a.分割分割:在区间在区间 中任意插入中任意插入 个个 分点分点 将大曲边梯形分割成将大曲边梯形分割成 个窄条曲边个窄条曲边 梯形梯形,则对应的窄曲边梯形的面积则对应的窄曲边梯形的面积设设 在在 上连续上连续,且且 .b.取近似:第6页/共54页2.6 定积分c.作和:d.求极限:记,则
3、则注：09年版教材上，极限过程是：所有小区间的长度趋于0 .这两种叙述是等价的。第7页/共54页2.6 定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积=所有窄条矩形面积之和的所有窄条矩形面积之和的极限极限矩形估计方法矩形估计方法第8页/共54页2.6 定积分a.a.分割分割:在区间在区间 中任意插入中任意插入 个分点个分点b.取近似:c.作和:d.求极限:记,则则 某物体作变速直线运动某物体作变速直线运动,设速度设速度 求这段时间内求这段时间内物体经过的路程物体经过的路程 。记记(2)(2)变速直线运动的路程变速直线运动的路程，则对应该时段上的路程第9页/共54页2.6 定积分上述解决问题的方法有何共性？
4、上述解决问题的方法有何共性？（1 1）解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同 （2 2）所求量的结构式相同所求量的结构式相同 分割分割，取近似，取近似作和作和，求极限求极限第10页/共54页2.6 定积分此时称此时称 在在 上可积上可积(黎曼可积黎曼可积).).2.定积分的定义 ,作和数作和数定义定义 设函数设函数 在在 上有定义，在上有定义，在 中任意插入中任意插入个分点个分点记记任意取记记，若只要当，若只要当 时和数时和数 总趋总趋于确定于确定的极限 ,则称极限值 为函数 在区间 上的定积分（黎曼积分），记作 ,即第11页/共54页2.6 定积分积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数
5、数被被积积表表达达式式积积分分变变量量(黎黎曼曼和和)积积分分和和 第12页/共54页2.6 定积分（1 1）定积分定义中的和称为黎曼和，其中定积分定义中的和称为黎曼和，其中（2）从定积分的定义可知，定积分的计算结果是一个数，是任意的，因此极限过程不依赖于 与 的选取，而且这是与不定积分的最大的区别，于是定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关,即十分复杂十分复杂.注：由于定积分是就闭区间而言的，所以定积分描述的是函数的整体性质。第13页/共54页2.6 定积分（3）数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的（4）数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。（5）用
6、上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的有效方法，牛顿莱布尼兹（NewtonLeibniz)发现了微积分基本定理。“可积函数”是同一回事。第14页/共54页2.6 定积分因此因此,初等函数在其定义域内的任何闭区间上可积初等函数在其定义域内的任何闭区间上可积,但也存在但也存在不可积的非初等函数不可积的非初等函数.可积的必要条件和充分条件:定理定理2.6.1 若函数若函数 在在 上可积上可积,则则 在在 上有界上有界（必）（必）;若函数若函数 在在 上连续上连续,则则 在在 上上必可积必可积（充）（充）.第15页/共54页2.6 定积分3.定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面
7、积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的各部分面积的代数和代数和第16页/共54页2.6 定积分2.6.2 定积分的基本性质定积分的基本性质：设函数 均为可积函数，则有性质性质1 即定积分与积分变量的选取无关。即定积分与积分变量的选取无关。性质性质2 从而推出从而推出第17页/共54页2.6 定积分性质3（线性性）性质5 特别地，有特别地，有性质4 是常数）是常数）当当ba时，积分即为区间长度。时，积分即为区间长度。第18页/共54页2.6 定积分性质6（积分区间的可加性)说明:(1)当 的相对位置任意时，上式仍成立.例如 时,有故故(2)可推广到有多个分点的情形.0 a c b xy第19页/
8、共54页2.6 定积分微积分基本定理1.变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系变速直线运动中路程函数与速度函数之间的关系2.微积分基本定理微积分基本定理第20页/共54页2.6 定积分设变速直线运动的速度设变速直线运动的速度 ,则物体在时段则物体在时段 上经过上经过的路程的路程另一方面另一方面,这段路程又等于路程函数这段路程又等于路程函数 在时段在时段 上的上的增量增量,即即1.变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系已知变速直线运动物体的速度函数已知变速直线运动物体的速度函数 ，求该物体从时刻，求该物体从时刻 到时刻到时刻 经过的路程经过的路程 。第21页/共54页2.6 定积分故有即
9、即 是是 的一个原函数的一个原函数 .又知路程函数与速度函数之间有关系又知路程函数与速度函数之间有关系:即我们的问题通过不定积分来解决，但不定积分的结果是无穷多个原函数，选择哪一个？因为 第22页/共54页2.6 定积分这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .这表明差数S(b)-S(a)可用任何一个原函数S(t)+C 来计算，都会得到同样的结果。对于一般情形，上述过程正是微积分基本定理。第23页/共54页2.6 定积分2.微积分基本定理定理定理2.6.22.6.2（微积分基本定理）设（微积分基本定理）设 是闭区间是闭区间 上连上连续续,且
10、且 F(x)是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数,则则注:（1）上述公式是由Newton和Leibniz同时发现的，因此称为NewtonLeibniz公式。（2）该公式对该公式对 的情形同样成立的情形同样成立 .第24页/共54页2.6 定积分（3 3）定积分计算定积分计算求原函数求原函数微积分基本公式微积分基本公式 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 （4）使用NewtonLeibniz公式时要注意验证定理的条件,否则有可能导致错误的结果。第25页/共54页2.6 定积分关于微积分基本定理:1.等号两边的概念不同(左边是定积分是乘积之和的极限，而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的
11、逆运算;3.该定理的伟大之处:把微分与积分联系起来了;4.为什么称之为微积分基本定理?2.问题的转化:把定积分的计算问题转化为不定积分的计算;第26页/共54页2.6 定积分l牛顿（Isaac Newton，16431727）英国伟大的物理学家、天文学家和数学家，经典力学体系的奠基人。恩格斯说：“牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。”的确，牛顿在自然科学领域里作了奠基性的贡献，堪称科学巨匠。第27页/共54页2.6 定积分l莱布尼茨，GW(Leibniz，Gott
12、fried，Wilhelm)1646年7月1日生于德国莱比锡；1716年11月14日卒于德国汉诺威他是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。第28页/共54页2.6 定积分 关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的自然哲学的
13、数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。第29页/共54页 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。而莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其严密的数学符号能节省思维劳动，运用符号
14、的技巧性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好数学符号是成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，表示积分，表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。第30页/共54页2.6 定积分例例1.计算下列定积分计算下列定积分解：解：第31页/共54页2.6 定积分例例2.计算定积分计算定积分解：原式解：原式,求求对区间的可加性对区间的可加性,有有例例3.已知已知解：因为解：因为 是分段函数，所以由定积分是分段函数，所以由定积分第32页/共54页2.
15、6 定积分故由分段可加性,有所求积分值为图中左、右两个三角形的面积之和,故例例4.计算计算解法一解法一:因绝对值函数是分段函数因绝对值函数是分段函数,解法二:由定积分的几何意义,第33页/共54页2.6 定积分2.6.4 2.6.4 定积分的计算定积分的计算 不定积分计算微积分基本定理定积分计算1.定积分的换元法 2.定积分的分部积分法 第34页/共54页2.6 定积分则1.定积分换元法不定积分换元法定理2.6.3设 满足:(2)在区间在区间 上上有连续导函数有连续导函数 ；(1)(3)当t在区间 上由 变到 时，单调地从a变到b 第35页/共54页2.6 定积分证证:设设 是是 的一个原函数
16、的一个原函数,则则另一方面,是 的一个原函数,故 定积分换元法定积分换元法:第36页/共54页2.6 定积分说明:(2)(2)注意注意换元必换限换元必换限，且，且(3)(3)换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 ,即即或凑微分或凑微分凑微分时（只要没换元）不换限 同时被积表达式(1)(1)当当 时，时，换元公式仍成立换元公式仍成立.定积分换元法:第37页/共54页2.6 定积分定积分换元法与不定积分换元法的相同与不同之处：相同的地方：换元 有两种换元法：凑微分法和第二换元法。分换元后，积分上、下限要做相应的变化,不用把原变量换回。的选择与不定积分相同，不相同的地方：不定积分换元积分后要
17、把原变量换回；而定积 找到原函数后直接带入新的上、下限即可求值,第38页/共54页2.6 定积分例5.计算解:令则则当当 时时,当当 时时,于是于是原式原式第39页/共54页2.6 定积分例6.计算解：法一法二注意:凑微分不换限!例7.计算解:原式第40页/共54页2.6 定积分例8.计算解:令原式原式则则（利用倍角公式降幂）第41页/共54页2.6 定积分例9.计算原式原式解:第42页/共54页2.6 定积分例10.计算解:原式第43页/共54页2.6 定积分定理2.6.4 设 是是a,b上的上的连续可导连续可导函数，则函数，则即即称为定积分分部积分公式称为定积分分部积分公式.不定积分分部积
18、分公式：或 2.2.定积分分部积分法定积分分部积分法 第44页/共54页2.6 定积分选取选取 及及 （或（或 ）的原则与不定积分类似）的原则与不定积分类似 .说明:u及及 确定的原则确定的原则：1.比较容易找到原函数v;2.右边的积分比左边的积分“简单”。经验：按“指、三、幂、对、反”的顺序选择 v.第45页/共54页2.6 定积分例11.计算解:设则则原式原式第46页/共54页2.6 定积分例12.计算解:原式原式第47页/共54页2.6 定积分例13.计算解:原式原式说明:含绝对值的积分要分段去绝对值后再计算.第48页/共54页2.6 定积分例14.证明：若在-a,a上f(x)连续,且为偶函数，则证明：证明：第49页/共54页2.6 定积分若若 f(x)为为奇函数奇函数，会有何结果？，会有何结果？直观上如下图所示：第50页/共54页2.6 定积分求下列定积分（不要求）：第51页/共54页2.6 定积分第52页/共54页2.6 定积分本节结束 谢谢！第53页/共54页感谢您的观看！第54页/共54页