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1、第1页/共79页4.2 微积分基本定理(79)21 1、变速直线运动问题变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为4.2.1 原函数存在定理第2页/共79页4.2 微积分基本定理(79)3考察定积分2 2、积分上限函数、积分上限函数第3页/共79页4.2 微积分基本定理(79)4证证第4页/共79页4.2 微积分基本定理(79)5由积分中值定理得第5页/共79页4.2 微积分基本定理(79)6补充补充证证第6页/共79页4.2 微积分基本定理(79)7例例1 1 求极限求极限解解分析：分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.第7页/共79页4.2 微积分基本定理(79)8证证第8页/共79页4
2、.2 微积分基本定理(79)9第9页/共79页4.2 微积分基本定理(79)10证证令第10页/共79页4.2 微积分基本定理(79)11定理定理 （原函数存在定理原函数存在定理）定理的定理的重要重要意义：意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第11页/共79页4.2 微积分基本定理(79)12定理定理 2 2（微积分基本定理微积分基本定理）证证4.2.2 牛顿莱布尼茨公式第12页/共79页4.2 微积分基本定理(79)13令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第13页/共79页4.2 微积分基本定理(79)14微积分基本定理表明：微积分
3、基本定理表明：注意注意:求定积分问题转化为求原函数的问题.第14页/共79页4.2 微积分基本定理(79)15例例4 4 求定积分 原式例例5 5 设 ,求 .解解解解第15页/共79页4.2 微积分基本定理(79)16例例6 6 求积分 解解由图形可知第16页/共79页4.2 微积分基本定理(79)17例例7 7 求积分 解解解解 面积第17页/共79页4.2 微积分基本定理(79)183.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数4.2.5 小结与思考题1-2牛顿莱布尼茨公式沟通了牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学微分学与与积分学积分学之间的关系之间的关系第18页/共79页4.2 微积
4、分基本定理(79)19思考题思考题第19页/共79页4.2 微积分基本定理(79)20思考题解答思考题解答第20页/共79页4.2 微积分基本定理(79)21课堂练习题课堂练习题第21页/共79页4.2 微积分基本定理(79)22第22页/共79页4.2 微积分基本定理(79)23课堂练习题答案课堂练习题答案第23页/共79页4.2 微积分基本定理(79)24定理定理34.2.3 定积分法1 1、换元积分法第24页/共79页4.2 微积分基本定理(79)25证证第25页/共79页4.2 微积分基本定理(79)26第26页/共79页4.2 微积分基本定理(79)27应用换元公式时应应用换元公式时
5、应注意注意:（1）（2）第27页/共79页4.2 微积分基本定理(79)28例例9 9 计算定积分解解令例例10 10 计算定积分第28页/共79页4.2 微积分基本定理(79)29解解第29页/共79页4.2 微积分基本定理(79)30例例11 11 计算定积分解解原式第30页/共79页4.2 微积分基本定理(79)31例例12 12 计算定积分解解令原式第31页/共79页4.2 微积分基本定理(79)32证证第32页/共79页4.2 微积分基本定理(79)33第33页/共79页4.2 微积分基本定理(79)34奇函数例例13 13 计算定积分解解原式偶函数单位圆的面积第34页/共79页4.
6、2 微积分基本定理(79)35证证（1）设第35页/共79页4.2 微积分基本定理(79)36（2）设第36页/共79页4.2 微积分基本定理(79)37第37页/共79页4.2 微积分基本定理(79)38解解第38页/共79页4.2 微积分基本定理(79)39几个特殊积分、定积分的几个等式.定积分的换元法:4.2.5 4.2.5 小结与思考题3 3第39页/共79页4.2 微积分基本定理(79)40思考题思考题解解 令第40页/共79页4.2 微积分基本定理(79)41思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是第41页/共79页4.2 微积分基本定理(79)42课堂练习题课堂练习题
7、第42页/共79页4.2 微积分基本定理(79)43第43页/共79页4.2 微积分基本定理(79)44课堂练习题答案课堂练习题答案第44页/共79页4.2 微积分基本定理(79)45定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导2、分部积分法、分部积分法第45页/共79页4.2 微积分基本定理(79)46例例1515 计算定积分解解令则第46页/共79页4.2 微积分基本定理(79)47例例1616 计算定积分解解第47页/共79页4.2 微积分基本定理(79)48例例1717 计算定积分解解第48页/共79页4.2 微积分基本定理(79)49解解第49页/共79页4.2 微积分基本定理(
8、79)50第50页/共79页4.2 微积分基本定理(79)51证证 设第51页/共79页4.2 微积分基本定理(79)52积分 关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止第52页/共79页4.2 微积分基本定理(79)53于是第53页/共79页4.2 微积分基本定理(79)54定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）4.2.5 4.2.5 小结与思考题3 3第54页/共79页4.2 微积分基本定理(79)55思考题思考题第55页/共79页4.2 微积分基本定理(79)56思考题解答第56页/共79页4.2 微积分基本定理(79)57课堂练习题课堂练习题第57页/共79页4.2 微积
9、分基本定理(79)58课堂练习题答案课堂练习题答案第58页/共79页4.2 微积分基本定理(79)59*4.2.4 定积分的近似计算法1、定积分近似计算的理由：(1)被积函数的原函数不能用初等函数表示；(2)被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；(3)被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难第59页/共79页4.2 微积分基本定理(79)602 2、解决办法：4 4、常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法3 3、研究思路：建立定积分的近似计算方法第60页/共79页4.2 微积分基本定理(79)61一、矩形法(平均值法)则有第61页/共79页4.2 微积分基本定理(79)62则有（1
10、）、（2）称为矩形法（平均值法）公式第62页/共79页4.2 微积分基本定理(79)63二、梯形法梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图第63页/共79页4.2 微积分基本定理(79)64 用矩形法和梯形法计算积分的近似值例例19解解相应的函数值为列表:第64页/共79页4.2 微积分基本定理(79)65利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得第65页/共79页4.2 微积分基本定理(79)66利用梯形法公式（），得实际上是前面两值的平均值，第66页/共79页4.2 微积分基本定理(79)67三、抛物线法第67页/共79页4.2 微积分基本定理(79)68因
11、为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,第68页/共79页4.2 微积分基本定理(79)69第69页/共79页4.2 微积分基本定理(79)70于是所求面积为第70页/共79页4.2 微积分基本定理(79)71第71页/共79页4.2 微积分基本定理(79)72例例20对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 .站号站号站号第72页/共79页4.2 微积分基本定理(79)73第73页/共79页4.2 微积分基本定理(79)74解解根据抛物线公式(4)，得第74页/共79页4.2 微积分基本定理(79)75求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好4.2.5 4.2.5 小结与思考题4 4第75页/共79页4.2 微积分基本定理(79)76课堂练习题课堂练习题第76页/共79页4.2 微积分基本定理(79)77课堂练习题答案课堂练习题答案第77页/共79页4.2 微积分基本定理(79)78Newton,Isaac(1642-1727)EnglandLeibniz,Gottfried Wilhelm(1646-1716)German第78页/共79页4.2 微积分基本定理(79)79感谢您的观看！第79页/共79页