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1、物理物理(wl)竞赛微积分初步求导积分竞赛微积分初步求导积分第一页，共28页。1 函数、导数(do sh)与微分一、变量、常量与函数变量：在某一过程中取值会不断(bdun)变化的量。常量：在某一过程中取值始终不变的量。函数：变量 y 按某种确定的关系随变量 x 的变化而变化，则称 y 是 x 的函数，x 叫自变量，y 叫因变量，写作：y=f(x)例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x复合函数：若 y 是 z 的函数 y=f(z)，而 z 又是 x 的函数 z=g(x)，则称 y 是 x 的复合函数，记作：y=(x)=fg(x)例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin
2、(2x+3)第1页/共28页第二页，共28页。二、函数(hnsh)的导数xyxyy=f(x)xx+x 设函数 y=f(x)在 x 处有一增量x，相应地函数有增量 y，则比值叫函数 y=f(x)在 x 到x+x 之间的平均变化率。函数 y=f(x)在 x 处的导数定义为：第2页/共28页第三页，共28页。例：求函数 y=x2 在 x=1 和 x=3 时的导数值(shz)。解：由有所以当 x=1 时，y=2，当 x=3 时，y=6第3页/共28页第四页，共28页。xyxyy=f(x)xx+xPQ导数的几何意义：从图中知道，y/x 是过P、Q 两点的割线的斜率，而当x 0 时，割线成为过P 点的切线
3、，因而导数 y=f(x)表示曲线在 x 处切线的斜率。函数 y=f(x)在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数 y=f(x)随 x 的变化率。第4页/共28页第五页，共28页。基本函数导数公式第5页/共28页第六页，共28页。导数(do sh)的基本运算法则：（设 u=u(x),v=v(x)）第6页/共28页第七页，共28页。例1：求 y=x3 ln x 的导数(do sh)解例2求 y=sin x/x 的导数(do sh)解第7页/共28页第八页，共28页。二阶导数(do sh)与高阶导数(do sh)前述函数的导数是 y 对 x 的一阶导数，若将一阶导数 y 再次对 x
4、 求导，则为二阶导数：同理，将二阶导再对x 求导则为三阶(sn ji)导，三阶(sn ji)导的导数则为四阶导等。例求 y=x3+3x2 的二阶导数第8页/共28页第九页，共28页。三、函数(hnsh)的极值x1x2x3xy若函数 y=f(x)在某一点 x1 的函数值 f(x1)比邻近各点的函数值都大或都小，则称 x1 为一个极值点，f(x1)为函数的一个极值。图中 x1 和x3为极大值点，x2为极小值点，f(x1)和f(x3)为极大值，f(x2)为极小值。极值点处的切线一定(ydng)是水平的，因而极值点的判定条件是：f(x)=0极大值点的条件是：f(x)=0，f(x)0极小值点的条件是：f
5、(x)=0，f(x)0第9页/共28页第十页，共28页。例求函数 y=4x3-3x2+5 的极值(j zh)点和极值(j zh)解：因 y=12x2-6x 令 y=0 得 x1=0,x2=1/2 此为其两个极值点。又y=24x-6，有 y(x1)=-6 0，y(x2)=60因而(yn r)x1=0 是极大值点，对应的极大值为 y1=5 x2=1/2 是极小值点，对应的极小值为 y2=19/4第10页/共28页第十一页，共28页。四、函数(hnsh)的微分例求函数 y=5x+sin x 的微分(wi fn)函数 y 对自变量 x 的导数可将 dx 看成是自变量x 的一个趋于零的微小增量，称为 自
6、变量的微分；而相应的将 dy 看成是函数 y 的微小增量，称为 函数的微分。有：第11页/共28页第十二页，共28页。2不定积分(b dn j fn)一、原函数一、原函数前一节学了求函数前一节学了求函数 y=f(x)y=f(x)的导数的导数(do(do sh)f(x)sh)f(x)，现若已知一函数，现若已知一函数 F(x)F(x)的导数的导数(do(do sh)sh)为为 f(x)f(x)，要求原函数，要求原函数F(x)F(x)例因例因(x3)=3x2 (x3)=3x2，所以，所以 x3 x3 为为3x2 3x2 的原的原函数函数（sin x)=cos x sin x)=cos x，sin x
7、 sin x 是是cos x cos x 的原函数的原函数 F(x)=F(x)+c F(x)=F(x)+c，c c 为任意常数，为任意常数，函数函数 f(x)f(x)的原函数有任意多个：的原函数有任意多个：F(x)+c F(x)+c 第12页/共28页第十三页，共28页。二、不定积分(b dn j fn)定义：函数 f(x)的所有原函数F(x)+c 叫 f(x)的不定积分，记为：不定积分的性质：这说明不定积分是求导数的逆运算。第13页/共28页第十四页，共28页。不定积分(b dn j fn)公式：第14页/共28页第十五页，共28页。不定积分(b dn j fn)运算法则：3.若能找到函数
8、u=u(x)，使且积分较易求出，则：第15页/共28页第十六页，共28页。例1求解：令 u=1+x,微分得：du=dx，有：第16页/共28页第十七页，共28页。例2求解：令 u=ax+b,微分得：du=adx，有：第17页/共28页第十八页，共28页。例3求解：令 u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：第18页/共28页第十九页，共28页。例4求解：令 u=e3x,微分得：du=3 e3x dx，有：第19页/共28页第二十页，共28页。3 定积分(jfn)设函数 y=f(x)在闭区间 a,b 上连续，将区间 a,b 作 n 等分，各小区间的宽度为x，又在各小区间内选取一点xi 得出函数
9、在这些点处的值 f(xi)(i=1,2,3,n)abxyxiy=f(x)f(xi)x定义：为函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分。f(x)为被积函数，a,b 分别为积分下限和上限。第20页/共28页第二十一页，共28页。定积分的几何意义：abxyy=f(x)f(xi)x由图可知 f(xi)x 为图中一个小区间的面积，因而定积分：表示了区间 a,b 上，曲线 y=f(x)下方的面积。注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意义下的面积。第21页/共28页第二十二页，共28页。定积分的主要性质：第22页/共28页第二十三页，共28页。定积分的计算（牛顿(ni dn)莱布尼茨公式）若不定积分则定积分由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数 F(x)），再求 F(b)-F(a)第23页/共28页第二十四页，共28页。例1求解：令 u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：第24页/共28页第二十五页，共28页。例2求解：令 u=cos x,微分得：du=-sin x dx第25页/共28页第二十六页，共28页。yxy=x2y=4-x2AB例3求由曲线 y=x2 和曲线 y=4-x2所包围的面积。解：先求出两曲线交点 A,B的 x 坐标为:由定积分的几何意义知有：第26页/共28页第二十七页，共28页。第27页/共28页第二十八页，共28页。