数学线性代数矩阵初等变换.pptx

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1、分析分析:用消元法解下列方程组的过程.引例引例:求解线性方程组3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法.内容丰富,有一定难度.一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组第1页/共96页解解:2 2 3 2第2页/共96页+53 2用“回代”的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程组的解可记作:第3页/共96页 1.上述解方程组的方法称为消元法 2.始终把方程组看作一个整体变

2、形,用到如下三种变换:(2)其中c为任意常数.或归纳以上过程归纳以上过程:(3)一个方程加上另一个方程的 k 倍:(2)以不等于0的数 k 乘某个方程:(1)交换方程次序:i 与 j 相互替换;以 i k替换 i ;以 i +k j 替换 i .第4页/共96页由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.3.上述三种变换都是可逆的.因为在上述变换过程中,未知量并未参与本质性运算,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,只因某未知量前的系数化为0,而不显含该未知量.第5页/共96页若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的

3、变换.二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 定义定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行(对调 i,j 两行,记作 ri rj);(2)以非零数k乘以某一行的所有元素(第 i 行乘 k,记作 ri k);(3)把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去,记作 ri+k rj ).同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)第6页/共96页 定义定义2:矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.ri rj 的逆变换为 rj ri;ri k 的逆变换为 ri (1/k),或

4、ri k;ri+k rj 的逆变换为 ri+(k)rj,或 ri k rj.定义定义3:如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价.记作A B.具有以下三条性质的关系 称为等价关系:(1)自反性:A A;(2)对称性:若A B,则 B A;(3)传递性:若A B,且 B C,则A C.矩阵的等价 满足等价关系的定义.第7页/共96页 两个同解线性方程组具有等价关系性质,因此也称两个同解线性方程组为等价的.用矩阵的初等行变换解方程组(1).r1r2r3 2r2r3r32r1r43r1 2 2 3第8页/共96页r3+5r2r43r2r2 2r32r4r4r3r2r3r1r3

5、r1r2 2+53 2 第9页/共96页B6对应的方程组为:或令x3=c(c为任意常数),方程组的解可记作:矩阵B5和B6都称为矩阵行阶梯形矩阵.特点特点(1).可划出一条阶梯线,线的下方全为零;特点特点(2).每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线上的第一个元素为非零元,即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元.第10页/共96页 注意注意:行最简形矩阵是由矩阵(方程组)唯一确定的,行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵(方程组)唯一确定的.行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵,即非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为零.行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形.B

6、6c3c4c4+c1+c2 对任何矩阵Am n,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.第11页/共96页c54c13c2+3c3矩阵F称为矩阵B的标准形.特点:标准形F的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为零.所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形 标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.第12页/共96页三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念 定义定义:由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.矩阵

7、的初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛.对调两行或两列;以非零数k乘某行或某列;以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.第13页/共96页对调两行或两列对调两行或两列对调E中第i,j两行(或列),得初等矩阵E(i,j):第i 行第j 行E(i,j)=第14页/共96页第i 行第j 行用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘A=(aij)m n,得Em(i,j)A=相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第i 行与第j 行对调(rirj).第15页/共96页第i 列第j 列用n阶初等矩阵En(i,j)右乘A=(aij)m n,得 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换:把A的第i 列与第j 列对调(ci

8、cj).第16页/共96页以非零数以非零数k乘某行或某列乘某行或某列 以数k 0乘单位矩阵的第i 行(或列)得初等矩阵E(i(k).第i 行第17页/共96页第i 行以Em(i(k)左乘矩阵A=(aij)m n,得相当于以数k乘A的第i 行(ri k).类似地,以En(i(k)右乘矩阵A=(aij)m n,其结果相当于以数k乘A的第i 列(ci k).第18页/共96页以数以数k 0乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去第i 行第j 行 以k乘E的第j 行加到第i 行上,或以k乘E的第i 列加到第j 列上得初等矩阵E(ij(k).第19页/共96页 以Em(ij(k)左乘矩阵

9、A=(aij)m n,相当于把A的第j 行乘数k加到A的第i 行上(ri+krj).第i 行第j 行第20页/共96页 类似地,以En(ji(k)右乘矩阵A=(aij)m n,其结果相当于把A的第j 列乘数k加到A的第i 列上(ci+kcj).第i 列第j 列第21页/共96页四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用 定理定理1:设A是一个m n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵变换 rirj 的逆变换是其本身,则变换 ri k

10、 的逆变换是 ri(1/k),则E(i,j)-1=E(i,j).E(i(k)-1=E(i(1/k).变换 ri+krj 的逆变换是 ri+(k)rj,则E(ij(k)-1=E(ij(k).第22页/共96页 定理定理2:方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl,使A=P1P2 Pl.证证:充分性.由于A=P1P2Pl,且初等矩阵P1,P2,Pl 为可逆的,有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的,故方阵A可逆.在有限个初等矩阵P1,P2,Pl 使P1P2Ps F Ps+1Pl=A.必要性.设矩阵A为可逆的,且A的标准形为F,则存由于A可逆,且P1,P2,Pl 也可逆,故A的标准形F

11、 也必可逆,设假若 r n,则|F|=0,这与F 可逆矛盾.故有F=E.从而,A=P1P2Pl,证毕第23页/共96页 推论推论2:m n矩阵A B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q,使 PAQ=B.利用初等变换求逆阵的方法利用初等变换求逆阵的方法:当|A|0时,则由 A=P1P2Pl,得及推论推论1:方阵A可逆的充分必要条件是A E.由以上的证明可得:可逆矩阵的标准形就是E,实际上,可逆矩阵的行最简形也是E.则即,对n 2n矩阵(A|E)施行初等行变换,当把A变成E的同时,原来的E就变成了A-1.对n 2n矩阵(A E)分块为(A|E),第24页/共96页 同样,对矩阵方程

12、AX=B,其中A为n阶方阵,B为n s 阶矩阵,如果A可逆,则X=A-1B.由定理2得:存在初等矩阵P1,P2,Pl,使得A=P1P2 Pl,及即所以也就是说,当一系列初等行变换将A化为E 的同时也将B化为了A-1B.考虑分块矩阵(A|B),可得 对于有n个未知数n个方程的线性方程组,用矩阵(向量)方程 Ax=b 表示.行变换化为(E|x)时,则系数矩阵A可逆,且x=A-1b为方程 Ax=b 的唯一解(向量).如果增广矩阵B=(A|b)经初等第25页/共96页例例1:设A=求A-1.解解:r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3r2(2)r3(1)所以第26页/共96页例例2

13、:求矩阵X,使AX=B,其中解解:若A可逆,则 X=A-1B.r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3r2(2)r3(1)所以第27页/共96页如果要求Y=CA-1,则可对矩阵作初等列变换.列变换即可求得Y=CA-1.也可改为对(AT|CT)作初等行变换.列变换即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,从而求得Y=CA-1.第28页/共96页1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同3.矩阵等价具有的性质:自反性,对称性,传递性.三、小结(1)ri rj (cicj);(2)ri k(ci k);(3)ri+k rj (ci+k cj).2.A初

14、等变换B A B.4.利用初等变换求逆阵的步骤是:(1)构造矩阵(A|E)或施行初等列或对(2)对矩阵(A|E)施行初等行变换,将A化为单位矩阵E后,右边E对应部分即为A-1;变换,将A化为单位阵E后,E对应的部分即为A-1.第29页/共96页思考题思考题已知四元齐次方程组元齐次方程组(2)的通解为:及另一四问:方程组(1)与(2)是否有非零公共解?若有,请求出来.或表示为:第30页/共96页思考题解答思考题解答将(2)的通解代入(1)得:故方程组(1)与(2)有非零公共解,(1)与(2)的所有非零公共解为:第31页/共96页思考题思考题表示成有限个初等方阵的将矩阵A=乘积.思考题解答思考题解

15、答A可以看成是由3阶单位矩阵E经4次初等变换:而这4次初等变换所对应的初等方阵为:而得.由初等矩阵的性质得:第32页/共96页3.2 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 由上节讨论知:任何矩阵Am n,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵.行阶梯形矩阵中非零行的行数,也就是标准形矩阵中的数字r 是唯一确定的.它是矩阵理论中非常重要的数量关系之一矩阵的秩.定义定义:在m n矩阵A中任取 k 行 k 列(k m,k n),位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式.m n矩阵A的k阶

16、子式共有第33页/共96页 定义定义:若在矩阵A中有一个 r 阶子式D非零,且所有的 r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式,称数 r 为矩阵A的秩,记作R(A).规定零矩阵的秩为零.m n矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数.对于AT,显然有:R(AT)=R(A).解解:在矩阵A中例例1:求矩阵A=的秩.又由于矩阵A的3阶子式只有|A|,且|A|=0.所以,R(A)=2.第34页/共96页例例2:求矩阵B=解解:由于B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,所以B的所有4阶子式都为零.而所以,R(B)=3.例例3:求矩阵A=的秩.解解:因为计算A的3阶

17、子式.的秩.第35页/共96页所以,R(A)=2.另解另解:用初等变换将A化为行阶梯形矩阵:显然,非零行的行数为2.所以,R(A)=2.此方法简单!但理论依据如何?第36页/共96页二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 因为任何矩阵Am n,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵.问题问题:经过变换矩阵的秩改变吗?定理定理1:若A B,则 R(A)=R(B).证证:先证明:若A经过一次初等行变换变为B,则R(A)=R(B).设R(A)=r,且A的某个r 阶子式Dr 0.则在B中总能找到与Dr 相对应的子式D r.由于 D r=Dr,或 D r=Dr,或 D r=kDr.因此D r 0,从

18、而R(B)r.第37页/共96页分三种情况讨论:(1)Dr中不含第 i 行;(2)Dr中同时含第 i 行和第 j 行;(3)Dr中含第 i 行但不含第 j 行.对(1),(2)两种情形,显然B中与Dr对应的子式D r有 D r=Dr 0,从而,R(B)r.对情形(3),若D r 0,由D r中不含第 i 行知,因此,R(B)r.A中有不含第 i 行的 r 阶非零子式.若D r=0,则 D r=Dr 0,从而,R(B)r.因此,A经过一次初等行变换变为B,则R(B)R(A).第38页/共96页又由于B也可以经过一次初等行变换变为A,因此有,R(A)R(B).从而,A经过一次初等行变换变为B,则R

19、(A)=R(B).经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.设A经过初等列变换变为B.则AT经过初等行变换变为BT.故,R(AT)=R(BT).因而有:R(A)=R(AT)=R(BT)=R(B).综上所述,若A经过有限次初等变换变为B,即 A B,则 R(A)=R(B).证毕 初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法:用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.第39页/共96页例例4:求矩阵A=的秩.并求A的一个最高阶非零子式.解解:用初等行变换将A化为行阶梯矩阵:Ar1r4r2 r4r3 2r1r4 3r1r3 3r2r4

20、4r2r4 r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.第40页/共96页考察A的行阶梯形矩阵.将矩阵A按列分块,A=(a1 a2 a3 a4 a5),B=(a1 a2 a4)的行阶梯形矩阵为则矩阵 故B中必有3阶非零子式,且共有4个.计算B的前三行构成的子式,则这个子式便是A的一个最高阶非零子式.以下求A的一个最高阶非零子式.由于R(A)=3.矩阵A的3阶子式共有第41页/共96页所以,A的最高阶非零子式为|A|,设A为n阶可逆方阵.因为|A|0,则R(A)=n.故,可逆方阵A的标准形为单位阵E,即A E.即可逆矩阵的秩等于阶数.故又称可逆(非奇异)矩阵为满秩矩阵,奇异矩阵又称为降秩矩阵

21、.例例5:设求矩阵A和矩阵B=(A|b)的秩.分析:设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A|b),则A 就是A的行阶梯形矩阵.因此可以从B=(A|b)中同时考察出R(A)及R(B).第42页/共96页解解:r22r1r3+2r1r43r1r2 2r3r2r4+3r2r3 5r4r3所以,R(A)=2,R(B)=3.此例的矩阵A和向量b,矩阵B为线性方程组Ax=b的增广矩阵.=B1B1为与Ax=b等价的线性方程组A1x=b1的由此可知:方程组A1x=b1无解,故方程组Ax=b也无解.A1x=b1的第三个方程为0=1,即矛盾方程,增广矩阵.第43页/共96页例例6:设已知R(A)=2,求 与 的值.解解

22、:r2-3r1r35r1Ar3-r2由R(A)=2,得即二、矩阵秩的性质二、矩阵秩的性质性质1:0 R(Am n)minm,n;性质2:R(AT)=R(A);性质3:若A B,则R(A)=R(B);性质4:若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A);第44页/共96页 性质5:maxR(A),R(B)R(A B)R(A)+R(B),特别当B=b时,R(A)R(A b)R(A)+1.证明:由于A的最高阶非零子式当然是(A B)的非零子式,故R(A)R(A B).同样R(B)R(A B),故 maxR(A),R(B)R(A B).设R(A)=r,R(B)=t.对A和B分别做列变换,化为列阶梯形矩阵A1

23、和B1,则A1和B1中分别含有r 个和t 个非零列,A A1=(a1,a2,ar,0,0),B B1=(b1,b2,bt,0,0),设为从而(A B)(A1 B1),但是(A1 B1)中仅有r+t个非零列,因此,R(A B)=R(A1 B1)r+t=R(A)+R(B).第45页/共96页性质6:R(A+B)R(A)+R(B).证明:设A,B为m n矩阵,对矩阵(A+B B)作列变换:ci cn+i (i=1,2,n)得,(A+B B)(A+O B)于是,R(A+B)R(A+B B)=R(A+O B)R(A)+R(B).性质7:R(AB)minR(A),R(B).性质8:若Am nBn l=O,

24、则R(A)+R(B)n.这两条性质将在后面给出证明.例例7:设A为n阶方阵,证明R(A+E)+R(AE)n.证明:因为(A+E)+(EA)=2E,由性质6知,R(A+E)+R(EA)R(2E)=n,而R(EA)=R(AE),R(A+E)+R(AE)n.所以第46页/共96页 1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念 2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法 (1)利用定义利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法初等变换法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.三、小结三、小结3.矩阵秩的性质矩阵秩的性质第47页/共96页思考题思考题思考题解答思考题解答设A为任

25、一实矩阵,R(ATA)与R(A)是否相等?相等.由此可知:Ax=O与ATAx=O同解.因为,对任一实列矩阵 x O,当 Ax=O 时,必有ATAx=O,即(ATA)x=O.反之当(ATA)x=O时,有xT(ATA)x=0.即(Ax)T(Ax)=0.则 Ax=O.故,R(ATA)=R(A).注注:第48页/共96页设线性方程组若记则上述方程组可写成向量方程Ax=b.当b=0时,称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.3.3 线性方程组的解线性方程组的解第49页/共96页若x1=11,x2=21,xn=n1为方程组Ax=b的解,则也称为方程组Ax=b的解向量解向量.一、线性方程组有解的判定条

26、件一、线性方程组有解的判定条件 利用线性方程组Ax=b的系数矩阵A和增广矩阵B=(A b)的秩,可以方便地讨论线性方程组Ax=b是否有解以及有解时解是否唯一等问题.定理定理1:n元线性方程组Am nx=b (1)无解的充分必要条件是R(A)R(B);(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n;(3)有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)n.第50页/共96页 证明证明:必要性可以由本定理相应的另外两个结论的充分性(其逆否命题)结论给出.因此我们只需证明三个结论的充分性:设R(A)=r,由于R(A)R(B)R(A)+1,可设增广矩阵B=(A b)的行最简形为第51页/共96页(1

27、)若R(A)R(B),则B1中的dr+1=1.行对应矛盾方程0=1.故方程组Ax=b无解.于是B1的第r+1 (2)若R(A)=R(B)=r=n,则B1中的dr+1=0(或第r+1行不出现).由于B或B1只有n+1列,故B1中的bij均不出现.于是B1对应的等价方程组为故方程组Ax=b有唯一解.(3)若R(A)=R(B)=rn,则B1中的dr+1=0(或第r+1行不出现).此时B1对应的等价方程组为第52页/共96页称xr+1,xn为上述方程组的自由未知量,令xr+1=c1,xn=cnr,用列矩阵(列向量)的形式表示为:可得方程组Ax=b的含有nr个参数的解:第53页/共96页 由于参数c1,

28、cnr可任意取值,故方程组Ax=b有无穷多解.证毕 当R(A)=R(B)=r n时,含有nr 个参数的解可以表示线性方程组Ax=b的任意解(此结论待后面证明).称此解为线性方程组Ax=b的通解.求解线性方程组Ax=b的步骤过程归纳如下:1.对非齐次方程组Ax=b,将其增广矩阵B=(A b)化为行阶梯形后,可以看出R(A)=R(B)是否成立,若不成立,则方程组无解.第54页/共96页 2.若R(A)=R(B)成立,则方程组有解.进一步将B化为行最简形;对齐次方程组Ax=0,则直接将其系数矩阵A化为行最简形.3.设R(A)=R(B)=r,把行最简形中r 个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未

29、知量,其余nr个未知量取作自由未知量,并令自由未知量分别取c1,c2,cnr,由B(或A)的行最简形即可写出含有nr个参数的通解.二、解线性方程组二、解线性方程组例例1:求解齐次线性方程组第55页/共96页解解:对系数矩阵A做初等行变换:r22r1r3r1r3r2r2(3)r12r2求得与原方程组同解的方程组:由此即得x3,x4可任意取值.第56页/共96页令x3=c1,x4=c2(c1,c2可任意取值),把它写成参数形式:或即第57页/共96页例例2:求解非齐次线性方程组解解:对增广矩阵B进行初等行变换,r23r1r32r1r3r2显然,R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解.第58页/共

30、96页例例3:求解非齐次方程组的通解解解:对增广矩阵B进行初等行变换,显然,R(A)=R(B)=2,故方程组有解,且有(行最简形)第59页/共96页所以方程组的通解为:其中x2,x4为任意数.例4:证明右边方程组有解的充要条件是a1+a2+a3+a4+a5=0.在有解的情况下,求出它的通解.证证:对增广矩阵B进行初等行变换.方程组的增广矩阵B为第60页/共96页所以,方程组有解 R(A)=R(B)在有解的情况下,原方程组的等价方程组为:第61页/共96页故通解:其中x5为任意实数.例例5:设线性方程组问 取何值时,有解?有无穷多个解?解解:对增广矩阵B=(A|b),作初等行变换,第62页/共9

31、6页(1)当=1时,则R(A)=R(B)=1,故方程组有无穷多解,且其通解为:第63页/共96页其中x2,x3为任意实数.这时又分两种情形:(2)当 1时,1)当 2时,则R(A)=R(B)=3,故方程组有唯一解:2)当=2时,则R(A)R(B),故方程组无唯.第64页/共96页三、几个重要结论三、几个重要结论 由定理1可直接推出如下结论:推论1:线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A b).推论2:n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)n.将推论1再推广到矩阵方程情形得:推论3:矩阵方程组AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A B).证明:设A,B分

32、别为m n,m l 矩阵,则X为n l 矩阵,并把X和B按列分块,记为 X=(x1,x2,xl),B=(b1,b2,bl),则矩阵方程组AX=B 等价于l个向量方程:第65页/共96页Axi=bi (i=1,2,l)充分性:若R(A)=R(A B),必要性:设矩阵方程组AX=B有解,R(A)R(A bi)R(A B),即 l 个向量方程 Axi=bi(i=1,2,l)都有解,故 R(A)=R(A bi),从而,矩阵方程组AX=B有解.则由于则 l 个向量方程 Axi=bi(i=1,2,l)都有解,不妨设为(i=1,2,l)若记 A=(a1,a2,an),则有 1ia1+2ia2+nian=bi

33、(i=1,2,l)对矩阵(A B)=(a1,a2,an b1,b2,bl)作初等列变换:第66页/共96页cn+i 1ic1 2ic2 nicn (i=1,2,l)将把(A B)的后 l 列,即B所在的列都变成0列,故(A B)(A O)R(A)=R(A O)=R(A B).因此,由定理1和推论3可得如下结论:推论4:矩阵方程组AX=O只有零矩阵解的充分必要条件是R(A)=n.下面证明上节留下的性质7.性质7:R(AB)minR(A),R(B).证明:设AB=C,则矩阵方程AX=C有解X=B,论3得:R(A)=R(AC).而R(C)R(AC),故R(C)R(A).由推另一方面,由BTAT=CT

34、 可证R(C)R(B).因此有:R(AB)minR(A),R(B).第67页/共96页三、小结三、小结对n元线性方程组:R(A)=n Ax=0只有零解;R(A)n Ax=0有非零解;R(A)=R(A b)=n Ax=b有唯一解;R(A)=R(A b)n Ax=b有无穷多解;R(A)R(A b)Ax=b无解.对矩阵方程AX=B:R(A)=n AX=O只有零矩阵解;R(A)n AX=O有非零矩阵解;R(A)=R(A B)=n AX=B有唯一矩阵解;R(A)=R(A B)n AX=B有无穷多矩阵解;R(A)R(A B)AX=B无解.第68页/共96页思考题思考题讨论线性方程组当p,q取何值时,方程组

35、无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下,求出一般解.思考题解答思考题解答第69页/共96页(1)当p 2时,R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解.(2)当p=2时,有第70页/共96页1)当q 1时,R(A)=3R(B)=4,方程组无解.2)当q=1时,R(A)=R(B)=3,方程组无穷多解,且故原方程组的通解为:与原方程组同解的方程组为:或第71页/共96页习习 题题 课课第72页/共96页一、初等变换一、初等变换初初 等等 变变 换换逆逆 变变 换换换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换.二、矩阵的等价二、矩

36、阵的等价 如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价.记作A B.第73页/共96页三、初等矩阵三、初等矩阵 定义定义:由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.对调两行或两列对调两行或两列对调E中第i,j两行,即rirj,得初等方阵:用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘A=(aij)m n,相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第i 行与第j 行对调(rirj).用n阶初等矩阵En(i,j)右乘A=(aij)m n,相当于对矩阵A施行第一种初等列变换:把A的第i 列与第j 列对调(cicj).第74页/共96页以非零数以非零数k

37、乘某行或某列乘某行或某列以数k 0乘单位矩阵的第i 行得初等矩阵E(i(k).以数以数k 0乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去以k乘E的第j 行加到第i 行上(ri+krj),或以k乘E的第i 列加到第j 列上(cj+kci).以Em(i(k)左乘矩阵A=(aij)m n,相当于以数k乘A的第i 行(ri k).以En(i(k)右乘矩阵A=(aij)m n,相当于以数k乘A的第i 列(ci k).以Em(ij(k)左乘矩阵A=(aij)m n,相当于把A的第j 行乘数k加到A的第i 行上(ri+krj).以En(ij(k)右乘矩阵A=(aij)m n,相当于把A的第i 列

38、乘数k加到A的第j 列上(cj+kci).第75页/共96页四、初等矩阵与初等变换的关系四、初等矩阵与初等变换的关系 设A是一个m n矩阵,对A施行一次初等行(列)变换,相当于A左(右)乘相应的m(n)阶初等矩阵.定理定理:设A为可逆方阵,则存在有限个初等方阵P1,P2,Pl,使A=P1,P2,Pl.推论推论:m n矩阵A B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q,使 PAQ=B.利用初等变换求逆阵的方法利用初等变换求逆阵的方法:当|A|0时,则由A=P1,P2,Pl,得及所以即对n 2n矩阵(A|E),施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就变成了A-1.第76页/共96页五、

39、行阶梯形矩阵五、行阶梯形矩阵经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.六、行最简形矩阵六、行最简形矩阵经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的非零首元为1,且这些非零元所在列的其它元素都为0.第77页/共96页对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素都为0.七、矩阵的标准形七、矩阵的标准形 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合,称为一

40、个等价类,标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形 标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.第78页/共96页八、矩阵的秩八、矩阵的秩 若在矩阵A中有一个r 阶子式D非零,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式,称数 r 为矩阵A的秩,记作R(A).矩阵秩的定理及性质矩阵秩的定理及性质矩阵秩的定理及性质矩阵秩的定理及性质定理定理:若A B,则 R(A)=R(B).如果A中有一个r 阶子式非零,则 R(A)r.如果A的所有的r+1阶子式都为零,则 R(A)r.行阶梯形矩阵的秩等于非零

41、行的行数.若A为n阶可逆矩阵,则(1)A的最高阶非零子式为|A|;(2)R(A)=n;(3)A的标准形为单位矩阵E;(4)A E.第79页/共96页性质1:0 R(Am n)minm,n;性质2:R(AT)=R(A);性质3:若A B,则R(A)=R(B);性质4:若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A);性质5:maxR(A),R(B)R(A B)R(A)+R(B),特别当B=b时,R(A)R(A b)R(A)+1;性质6:R(A+B)R(A)+R(B);性质7:R(AB)minR(A),R(B);性质8:若Am nBn l=O,则R(A)+R(B)n.第80页/共96页九、线性方程组有解判别

42、定理及解法九、线性方程组有解判别定理及解法 齐次线性方程组的解法齐次线性方程组的解法:系数矩阵化成行最简形矩阵,便可写出其通解.非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法:增广矩阵化成行阶梯形矩阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,便可写出其通解.定理定理1:n元线性方程组Am nx=b (1)无解的充分必要条件是R(A)R(B);(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n;(3)有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)n.第81页/共96页典型例题典型例题例例1:求下列矩阵的秩解解:对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵,A因此,R(A)=R(B)=2.注意注意:在求矩

43、阵的秩时,初等行,列变换可以同时兼用,但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形.第82页/共96页例例2:求非齐次线性方程组的通解.解解:对方程组的增广矩阵B行初等行变换,使其成为行最简单形.r23r1r32r1r4 2r1r55r1第83页/共96页r22r4r3(-1)r2r3r4+2r2r5+5r2r52r4r4 6r4r3r25r3r13r3r12r2第84页/共96页r1+r3r2+r3r4+r3r5r2由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程组(1)中未知量的个数是n=4,故有一个自由未知量.在此选x4.令x4=6k(为任意常数).得方程组(1)的通解为:r1r2r4r2r12r4r4

44、r1另解另解:第85页/共96页r2+5r1r3+2r1r2 5r3-3r2r1(-1)由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程组(1)中未知量的个数是n=4,故有一个自由未知量.在此选x3.令x3=5k(为任意常数).得方程组(1)的通解为:第86页/共96页 例例3:当a取何值时,下述齐次线性方程组有非零解,并且求出它的通解.解法一解法一:系数矩阵A的行列式为第87页/共96页当a=-1时,把系数矩阵A化成最简形:从而得到方程组的通解:k为任意常数.当a=-1或者a=2时,|A|=0,方程组有非零解.当a=2时,把系数矩阵A化成最简形:第88页/共96页从而得到方程组的通解:k为任意常数.

45、解法二解法二:用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形 当a=1或者a=2时,R(A)4,此时方程组有非零解.可仿照解法一求出它的解.第89页/共96页例例4:求矩阵解解:作分块矩阵(A|E),施行初等行变换.的逆矩阵.第90页/共96页所以 注意注意:用初等行变换求逆矩阵时,必须始终用行变换,其间不能作任何列变换.同样地,用初等列变换求逆矩阵时,必须始终用列变换,其间不能作任何行变换.第91页/共96页初等变换法解矩阵方程初等变换法解矩阵方程或者(1)AX=B(2)XA=B例例5:设且AX=A+2X,求矩阵X.第92页/共96页解解:因为 AX=A+2X,所以(A2E)X=A,而又所以例例5:设且AX=A+2X,求矩阵X.第93页/共96页填空题填空题 1.若n元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当时,方程组有唯一解;当 时,方程组有无穷多解.2.齐次线性方程组只有零解,则k应满足的条件是 .则齐次线性方程组Ax=O3.设的通解为 .r=nrn零解第94页/共96页4.线性方程组有解的充要条件是 .5.设A为4阶方阵,且R(A)=2,则R(A*)=.6.矩阵的秩为 .20第95页/共96页感谢您的观看。第96页/共96页