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1、关于线性代数矩阵的关于线性代数矩阵的初等变换初等变换现在学习的是第1页，共39页课本课本2.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、矩阵的一、矩阵的初等变换初等变换二、矩阵的二、矩阵的等价关系等价关系三、三、初等矩阵初等矩阵四、四、初等变换法初等变换法求求逆矩阵与矩阵方程逆矩阵与矩阵方程现在学习的是第2页，共39页矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，是矩阵的一种十分重要的运算，它起源于它起源于解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法。利用初等变换，可以利用初等变换，可以将矩阵将矩阵A化为形状简单的矩阵化为形状简单的矩阵B，通过形状简单的通过形状简单
2、的B来探讨来探讨A的性质。的性质。在在求逆阵求逆阵及及矩阵理矩阵理论的探讨论的探讨等研究中都起重要的作等研究中都起重要的作用用 。现在学习的是第3页，共39页一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换下列下列三种变换三种变换称为矩阵的称为矩阵的初等初等行行变换变换：定义定义1 1现在学习的是第4页，共39页下列下列三种变换三种变换称为矩阵的称为矩阵的初等初等行行变换变换：定义定义1 1一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换现在学习的是第5页，共39页下列下列三种变换三种变换称为矩阵的称为矩阵的初等初等行行变换变换：定义定义1 1一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换现在学习的是第6页，共39页同理可定义
3、同理可定义矩阵的初等矩阵的初等列列变换变换(所用记号是把所用记号是把“r r”换成换成“c c”)”)矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换和和矩阵的初等列变换矩阵的初等列变换统称为统称为矩阵的矩阵的初等变换初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换现在学习的是第7页，共39页注意注意 矩阵的初等变换矩阵的初等变换的的逆变换逆变换仍是仍是初等变换初等变换，且，且 逆变换和原变换是同一类型的初等变换逆变换和原变换是同一类型的初等变换.现在学习的是第8页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系或或A B 现在学习的是第9页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系 满足下列条件的矩阵称为满足
4、下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，例如矩阵行阶梯形矩阵，例如矩阵B:(1)元素全为零的行元素全为零的行(若有的话若有的话)位于矩阵的下方位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增列标随着行标的增大而严格增大大.现在学习的是第10页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系满足下列条件的满足下列条件的行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵称为称为行最简形矩阵行最简形矩阵,例如矩阵例如矩阵C C ：(1)(1)各非零行的各非零行的首非零元都是首非零元都是1 1；(2)(2)每个首非零元每个首非零元1 1
5、所在列的所在列的其余元素都是零其余元素都是零.现在学习的是第11页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系矩阵矩阵D D称为原矩阵称为原矩阵A A的标准形，的标准形，具有的特点是：具有的特点是：D D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是0.0.现在学习的是第12页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系 满足下列条件的矩阵称为满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:(1)元素全为零的行元素全为零的行(若有的话若有的话)位于矩阵的下方位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的（从左至右的一个不
6、为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增列标随着行标的增大而严格增大大.现在学习的是第13页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系注意：可以存在注意：可以存在r=0r=0或或m=n=rm=n=r的情况的情况矩阵矩阵D D称为原矩阵称为原矩阵A A的标准形，的标准形，具有的特点是：具有的特点是：D D的左上角是一个单位矩阵，其的左上角是一个单位矩阵，其余元素全是余元素全是0.0.现在学习的是第14页，共39页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系现在学习的是第15页，共39页定义定义3 3 对对单位矩阵单位矩阵E E 进行进行一次初等变换一次初等变换得到的矩阵得到的矩阵称为称为初等矩阵初等
7、矩阵.三种初等变换对应三种初等变换对应三种初等矩阵三种初等矩阵.三、初等矩阵三、初等矩阵1 1、交换交换两行两行(列列)2 2、以以非零数非零数k k 乘乘某一行某一行(列列)中的所有元素中的所有元素 3 3、把某一行把某一行(列列)的的 l l 倍加倍加到另一行到另一行(列列)上去上去 现在学习的是第16页，共39页三、初等矩阵三、初等矩阵现在学习的是第17页，共39页三、初等矩阵三、初等矩阵现在学习的是第18页，共39页三、初等矩阵三、初等矩阵现在学习的是第19页，共39页初等矩阵的性质初等矩阵的性质|A|0初等矩阵均初等矩阵均可逆可逆，初等矩阵的逆也是初等矩阵。，初等矩阵的逆也是初等矩阵
8、。|E|=1,|E|=1,利用行列式的性质。利用行列式的性质。现在学习的是第20页，共39页三、初等矩阵三、初等矩阵现在学习的是第21页，共39页三、初等矩阵三、初等矩阵现在学习的是第22页，共39页三、初等矩阵三、初等矩阵现在学习的是第23页，共39页v定理定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用初等矩阵在矩阵乘法中的作用 )设设A是一个是一个m n矩阵矩阵 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换 相当于相当于相应的相应的 m阶初等矩阵阶初等矩阵左乘左乘A r1r2 补例补例 设设 则有则有现在学习的是第24页，共39页v定理定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用初等矩阵在矩阵乘法中的作用 )设设
9、A是一个是一个m n矩阵矩阵 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换 相当于相当于相应的相应的 m阶初等矩阵阶初等矩阵左乘左乘A 对对A施行一次初等施行一次初等列列变换变换 相当于相当于相应的相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵右乘右乘A c1c2 补例补例 设设 则有则有现在学习的是第25页，共39页v定理定理2(初等矩阵在矩阵乘法中的作用初等矩阵在矩阵乘法中的作用 )设设A是一个是一个m n矩阵矩阵 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换 相当于相当于相应的相应的 m阶初等矩阵阶初等矩阵左乘左乘A 对对A施行一次初等施行一次初等列列变换变换 相当于相当于相应的相应的 n 阶初等矩阵阶初
10、等矩阵右乘右乘A c1+10c3 补例补例 设设 ，则有则有现在学习的是第26页，共39页四、四、初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵与矩阵方程与矩阵方程定理定理3(3(矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件)n n阶方阵阶方阵A A可逆可逆的充要条件是的充要条件是A A可以表示为若干初等矩阵的乘可以表示为若干初等矩阵的乘积。积。证明：证明：充分性：充分性：初等矩阵可逆，如果将初等矩阵可逆，如果将 A A表示为初等矩阵的乘积，则因表示为初等矩阵的乘积，则因为有限个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵（为有限个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵（p45p45），故），故n n阶方阵阶方阵A A可逆。可逆。必要性
11、：必要性：设矩阵设矩阵A A可逆，则由推论可逆，则由推论1 1可知，矩阵可知，矩阵A A经过经过有限次初等变有限次初等变换换可以化为单位矩阵可以化为单位矩阵E E，再由定理，再由定理2 2可知存在初等矩阵可知存在初等矩阵P P1 1,P,P2 2，P Ps s，Q Q1 1,Q,Q2 2，Q Qt t，使得，使得P P1 1P P2 2 P Ps s A QA Q1 1Q Q2 2 Q Qt=E.t=E.所以所以A=Ps-1 Ps-1-1 P1-1 E Qt-1 Qt-1-1 Q1-1=Ps-1 Ps-1-1 P1-1 Qt-1 Qt-1-1 Q1-1.v定理定理2(2(初等矩阵在矩阵乘法中的
12、作用初等矩阵在矩阵乘法中的作用 )设设A A是一个是一个m m n n矩阵矩阵 对对A A施行一次初等施行一次初等行行变换变换 相当于相当于相应的相应的 m m阶初等矩阵阶初等矩阵左乘左乘A A 对对A A施行一次初等施行一次初等列列变换变换 相当于相当于相应的相应的 n n 阶初等矩阵阶初等矩阵右乘右乘A A A A可以表示为若干可以表示为若干初等矩阵的乘积。初等矩阵的乘积。证毕证毕现在学习的是第27页，共39页定理定理3(3(矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件)n n阶方阵阶方阵A A可逆可逆的充要条件是的充要条件是A A可以表示为若干初等矩阵的乘可以表示为若干初等矩阵的乘积。积。若若A
13、 A可逆，则可逆，则A A-1-1也可逆，则由定理也可逆，则由定理3 3可知，可知，A A-1-1=G=G1 1G G2 2 G Gk k，（式（式1 1），），即即A A-1-1=G=G1 1G G2 2 G Gk kE E （式（式2 2）式式1 1左右两边右乘矩阵左右两边右乘矩阵A,A,得得A A-1-1 A=GA=G1 1G G2 2 G Gk k A A，E=G E=G1 1G G2 2 G Gk k A A，（式（式3 3）式式3 3表示对表示对A A施以若干次初等行变换施以若干次初等行变换可化为可化为E E；式式2 2表示对表示对E E施以与式施以与式3 3相同的若干次初等行变换
14、相同的若干次初等行变换可化为可化为A A-1-1。两式合起来为两式合起来为G G1 1G G2 2 G Gk k(A A E E)2n2n(E E A A 1 1)2n 2n 四、四、初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵与矩阵方程与矩阵方程初等行变换初等行变换n n阶方阵阶方阵A A可逆可逆现在学习的是第28页，共39页四、四、初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵与矩阵方程与矩阵方程若若A A可逆，则可以使用可逆，则可以使用初等变换法求初等变换法求A A-1-1现在学习的是第29页，共39页 解解例例4 4现在学习的是第30页，共39页现在学习的是第31页，共39页例例5*5*四、四、初等变换
15、法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵与矩阵方程与矩阵方程本例为用初等行变换求本例为用初等行变换求矩阵多项式矩阵多项式的逆的逆阵阵，只需在求解过程中将，只需在求解过程中将矩阵多项式矩阵多项式看看成一个整体即可成一个整体即可.现在学习的是第32页，共39页四、四、初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵与矩阵方程与矩阵方程现在学习的是第33页，共39页初等变换法初等变换法求解矩阵方程求解矩阵方程:前提前提A A可逆！可逆！四、四、初等变换法求初等变换法求逆矩阵与逆矩阵与矩阵方程矩阵方程现在学习的是第34页，共39页例例6 6解解现在学习的是第35页，共39页现在学习的是第36页，共39页注：用初等变换法求解矩阵方程注：用初等变换法求解矩阵方程 的原理为：的原理为：现在学习的是第37页，共39页例例7*7*现在学习的是第38页，共39页感谢大家观看现在学习的是第39页，共39页