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1、会计学1线性代数矩阵的初等变换及其性质线性代数矩阵的初等变换及其性质1 1 方程组的同解变换与增广矩阵的关系方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 一一 三种三种初等变换初等变换 同解变换有(1)交换两个方程的位置 (2)把某个方程乘以一个非零数(3)某个方程的非零倍加到另一个方程上第1页/共23页交换(A b)的第1行与第2行增广矩阵的比较 例1(A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6
2、 -9 7 9第2页/共23页2 2(A b)第3行乘以1/2例1增广矩阵的比较(A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 92 -1 -1 1 21 1 -2 1 42 -3 1-1 23 6 -9 7 9第3页/共23页2 2(A b)第2行乘以(2)加到第1行例如增广矩阵的比较(A b)=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 90 -3 3-1 -61 1 -2 1 42 -3 1-1 23 6 -9 7 9第4页/共23页定义：定义：下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行
3、变换：对调两行，记作对调两行，记作 ；以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ；某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 .把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，就得到矩阵的，就得到矩阵的初等列变换初等列变换的定的定义义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换 初等变换初等变换初等初等行行变换变换初等初等列列变换变换第5页/共23页 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7r2r4 1 5 1 1 3 8 1 1例1r121-9 3
4、73 8 -1 11 -2 1 32 10 -2 -2r1-r421-9 3 73 8 -1 11 -2 1 30 14 -4 -8第6页/共23页二二 阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵1 行阶梯形行阶梯形行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；2.每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.第7页/共23页行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；2.每个台阶只有一行；每
5、个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列的其它元素都为零它元素都为零.第8页/共23页行最简形矩阵行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列的其它元素都为零它元素都为零.标准形矩阵标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零其它元素全为零.第9页/共23页任何矩阵任何矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩
6、阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等有限次初等行行变换变换 有限次初等有限次初等列列变换变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等有限次初等行行变换变换 第10页/共23页例例1 阶梯阶梯形形,行简化阶梯形，标准形行简化阶梯形，标准形第11页/共23页25 1 3 8 4 7 20 0 2 5 6 8 7 50 0 3 4 5 2 6 90 0 0 0 0 4 2 80 0 0 0 0 0 0 0 E=例例1 阶梯阶梯形形,行简化阶梯形，标准形行简化阶梯形，标准形第12页/共23页例例2 阶梯阶梯形形,行简化阶梯行简化阶梯形，标准形形，标准形第13页/共23页例例 3 3 阶梯形阶梯形
7、,行简化阶梯行简化阶梯形形，标准标准形形第14页/共23页12 3 4 524 6 8 100 0 0 0 2A=12 3 4 50 0 0 0 20 0 0 0 012 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 212 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1例例 1 用初等行变换化为用初等行变换化为行简化阶梯形行简化阶梯形第15页/共23页0 0 3 12 1 -1 24 2 3 1-2 -1 4 -3A=0 0 3 14 2 3 1-2 -1 4 -32 1 -1 20 0 3 12 1 -1 20 0 5 -30 0 3 -1例例 2 用初等行变换化为用初等行变换化为行简化阶梯
8、形行简化阶梯形第16页/共23页 0 0 3 12 1 -1 20 0 5 -30 0 3 -10 0 1 1/32 1 -1 20 0 5 -30 0 0 -22 1 -1 20 0 1 1/30 0 0 -14/30 0 0 -2第17页/共23页2 1 -1 20 0 1 1/30 0 0 10 0 0 0 1 1/2 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 将1所在列上下化为零第18页/共23页1-4 -32-5 -3-1 6 4A=1-4 -30 3 30 2 1行最简形0 1 11-4 -30 2 1行阶梯形0 1 11 0 10 0 -1首先，化为行阶梯形0 1 01
9、0 00 0 1练习练习 1、用初等行变换化为、用初等行变换化为行简化阶梯形行简化阶梯形第19页/共23页1-1 3 -1 12-1 -1 4 23 -2 2 3 4 A=练习练习2：用初等行变换化为行简化阶梯形用初等行变换化为行简化阶梯形1 -1 3 -1 10 1 -7 6 00 1 -7 6 10 1 -7 6 01 -1 3 -1 10 0 0 0 10 1 -7 6 00 0 0 0 11 0 -4 5 0第20页/共23页11 1 1 1 132 1 0 -3 60 1 2 3 6 -35 4 3 2 6 1A=练习练习3：用初等行变换化为行简化阶梯形用初等行变换化为行简化阶梯形1 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 1 2 3 6 -30 -1 -2 -3 1-41 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 0 00 0 0 0 7 -71 0 -1 -2 0 10 1 2 3 0 30 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 -1 -2 -3 -6 30 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 0第21页/共23页三三 初等变换的应用初等变换的应用求逆矩阵求矩阵的秩求方程组的解第22页/共23页