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1、数学数学(shxu)线性代数矩阵初等变换线性代数矩阵初等变换第一页，共96页。分析分析(fnx):用消元法解下列方程组用消元法解下列方程组的过程的过程.引例引例:求解线性方程组求解线性方程组3.1 矩阵矩阵(j zhn)的初的初等变换等变换 本章先讨论矩阵本章先讨论矩阵(j zhn)的初等变换的初等变换,建立矩阵建立矩阵(j zhn)的秩的概念的秩的概念,并提出求秩的有效方法并提出求秩的有效方法.再利用再利用矩阵矩阵(j zhn)的秩反过来研究齐次线性方程组有非零的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件
2、要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法并介绍用初等变换解线性方程组的方法.内容内容丰富丰富,有一定难度有一定难度.一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组第1页/共96页第二页，共96页。解解:2 2 3 2第2页/共96页第三页，共96页。+53 2用用“回代回代”的方法的方法(fngf)求出解求出解.于是于是(ysh)得解得解:其中其中(qzhng)x3可以任意取值可以任意取值.或令或令x3=c,方程组的解可记作方程组的解可记作:第3页/共96页第四页，共96页。1.上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2.始终把方程
3、组看作始终把方程组看作(kn zu)一个整体变形一个整体变形,用到用到如下三种变换如下三种变换:(2)其中其中(qzhng)c为任意常数为任意常数.或或归纳以上归纳以上(yshng)过程过程:(3)一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍倍:(2)以不等于以不等于0的数的数 k 乘某个方程乘某个方程:(1)交换方程次序交换方程次序:i 与与 j 相互替换相互替换;以以 i k替换替换 i ;以以 i +k j 替换替换 i .第4页/共96页第五页，共96页。由于三种变换由于三种变换(binhun)都是可逆的都是可逆的,所以变换所以变换(binhun)前的方程组与变换前的方程组
4、与变换(binhun)后的方程组是同解后的方程组是同解的的.故这三种变换故这三种变换(binhun)是同解变换是同解变换(binhun).3.上述三种上述三种(sn zhn)变换都是可逆的变换都是可逆的.因为在上述因为在上述(shngsh)变换过程中变换过程中,未知量并未参与本质未知量并未参与本质性运算性运算,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,只因某未知只因某未知量前的系数化为量前的系数化为0,而不显含该未知量而不显含该未知量.第5页/共96页第六页，共96页。若记若记 则对方程组的变换则对方程组的变换(binhun)完全可以转换为对完全可以转换为对矩阵矩阵
5、B(方程组方程组(1)的增广矩阵的增广矩阵)的变换的变换(binhun).二、矩阵二、矩阵二、矩阵二、矩阵(j(j zhn)zhn)的初等变换的初等变换的初等变换的初等变换 定义定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行对调两行(对调对调 i,j 两行两行,记作记作 ri rj);(2)以非零数以非零数k乘以某一行乘以某一行(yxng)的所有元素的所有元素(第第 i 行行乘乘 k,记作记作 ri k);(3)把某一行把某一行(yxng)所有元素的所有元素的 k 倍加到另一行倍加到另一行(yxng)的对应元素上去的对应元素上去(第第 j 行的行的 k
6、 倍加到第倍加到第 i 行上去行上去,记作记作 ri+krj ).同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换换成成“c”)第6页/共96页第七页，共96页。定义定义2:矩阵矩阵(j zhn)的初等行变换与初等列变换的初等行变换与初等列变换统称为初等变换统称为初等变换.初等变换初等变换(binhun)的逆变换的逆变换(binhun)仍为初等变换仍为初等变换(binhun)且变换且变换(binhun)类型相同类型相同.ri rj 的逆变换为的逆变换为 rj ri;ri k 的逆变换为的逆变换为 ri (1/k),或或 ri k;ri+k rj 的逆变换为
7、的逆变换为 ri+(k)rj,或或 ri k rj.定义定义3:如果矩阵如果矩阵A可经过可经过(jnggu)有限次初等有限次初等变换变为矩阵变换变为矩阵B,则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价.记作记作A B.具有以下三条具有以下三条性质的关系性质的关系 称为称为等价关系等价关系:(1)自反性自反性:A A;(2)对称性对称性:若若A B,则则 B A;(3)传递性传递性:若若A B,且且 B C,则则A C.矩阵的等价矩阵的等价 满足等价关系的定义满足等价关系的定义.第7页/共96页第八页，共96页。两个两个(lin)同解线性方程组具有等价关系性质同解线性方程组具有等价关系性质,因此也称
8、两个因此也称两个(lin)同解线性方程组为等价的同解线性方程组为等价的.用矩阵用矩阵(j zhn)的初等行变换解方程组的初等行变换解方程组(1).r1r2r3 2r2r3r32r1r43r1 2 2 3第8页/共96页第九页，共96页。r3+5r2r43r2r2 2r32r4r4r3r2r3r1r3r1r2 2+53 2 第9页/共96页第十页，共96页。B6对应对应(duyng)的方程组为的方程组为:或令或令x3=c(c为任意为任意(rny)常数常数),方程组的解可记作方程组的解可记作:矩阵矩阵(j zhn)B5和和B6都称为矩阵都称为矩阵(j zhn)行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn)
9、.特点特点(1).可划出一条阶梯线可划出一条阶梯线,线的下方全为零线的下方全为零;特点特点(2).每个台阶只有一行每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数台阶数即是非零行的行数,阶梯线上的第一个元素为非零元阶梯线上的第一个元素为非零元,即非零行的阶梯线上的即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元第一个元素为非零元.第10页/共96页第十一页，共96页。注意注意:行最简形矩阵行最简形矩阵(j zhn)是由矩阵是由矩阵(j zhn)(方程组方程组)唯一确定的唯一确定的,行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn)的非零行的非零行的行数也是由矩阵的行数也是由矩阵(j zhn)(方程组方程组)唯一确定的唯一确
10、定的.行阶梯矩阵行阶梯矩阵B6还称为还称为(chn wi)行最简形矩阵行最简形矩阵,即即非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其它且这些非零元所在的列的其它元素都为零元素都为零.行最简形矩阵再经过列初等行最简形矩阵再经过列初等(chdng)列变换可化成标准形列变换可化成标准形.B6c3c4c4+c1+c2 对任何矩阵对任何矩阵Am n,总可以经过有限次总可以经过有限次初等行变换初等行变换把把它们变为它们变为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和行最简形矩阵行最简形矩阵.第11页/共96页第十二页，共96页。c54c13c2+3c3矩阵矩阵(j zhn)F称为矩阵称为矩阵(
11、j zhn)B的标准形的标准形.特点特点:标准形标准形F的左上角是一个单位矩阵的左上角是一个单位矩阵,其余其余(qy)元素元素全为零全为零.所有与矩阵所有与矩阵A等价等价(dngji)的矩阵组成的一个的矩阵组成的一个集合集合,称为一个等价称为一个等价(dngji)类类,标准形标准形F是这个等价是这个等价(dngji)类中最简单的矩阵类中最简单的矩阵.任一个矩阵任一个矩阵Am n总可经过总可经过初等变换初等变换化为标准形化为标准形 标准形由标准形由m,n,r三个数唯一确定三个数唯一确定,其中其中r 就是行阶梯就是行阶梯形矩阵中形矩阵中非零行的行数非零行的行数.第12页/共96页第十三页，共96页
12、。三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念(ginin)(ginin)定义定义:由单位矩阵由单位矩阵E 经过经过(jnggu)一次初等变换得到一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.矩阵矩阵(j zhn)的初等变换是矩阵的初等变换是矩阵(j zhn)的一种基本运算的一种基本运算,应用广泛应用广泛.对调两行或两列对调两行或两列;以非零数以非零数k乘某行或某列乘某行或某列;以数以数k乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去.第13页/共96页第十四页，共96页。对调对调(du
13、dio)两行或两列两行或两列对调对调(dudio)E中第中第i,j两行两行(或列或列),得初等矩阵得初等矩阵E(i,j):第第i 行行第第j 行行E(i,j)=第14页/共96页第十五页，共96页。第第i 行行第第j 行行用用m阶初等矩阵阶初等矩阵Em(i,j)左左乘乘A=(aij)m n,得得Em(i,j)A=相当于对矩相当于对矩阵阵A施行施行(shxng)第一种第一种初等行变换初等行变换:把把A的第的第i 行与第行与第j 行行对调对调(rirj).第15页/共96页第十六页，共96页。第第i 列列第第j 列列用用n阶初等矩阵阶初等矩阵En(i,j)右右乘乘A=(aij)m n,得得 相当于
14、对矩阵相当于对矩阵A施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换(binhun):把把A的第的第i 列与第列与第j 列对调列对调(cicj).第16页/共96页第十七页，共96页。以非零数以非零数(ln sh)k乘某行或某列乘某行或某列 以数以数k 0乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第i 行行(或列或列)得初等矩阵得初等矩阵E(i(k).第第i 行行第17页/共96页第十八页，共96页。第第i 行行以以Em(i(k)Em(i(k)左乘矩阵左乘矩阵(j zhn)A=(aij)m(j zhn)A=(aij)mn,n,得得相当于以数相当于以数k乘乘A的第的第i 行行(ri k).类似地类似地,以以En(i(k
15、)右乘矩阵右乘矩阵(j zhn)A=(aij)mn,其结其结果相当于以数果相当于以数k乘乘A的第的第i 列列(cik).第18页/共96页第十九页，共96页。以数以数k 0乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(yxng)(列列)上去上去第第i 行行第第j 行行 以以k乘乘E的第的第j 行加到第行加到第i 行上行上,或以或以k乘乘E的第的第i 列加到列加到第第j 列上得初等矩阵列上得初等矩阵E(ij(k).第19页/共96页第二十页，共96页。以以Em(ij(k)左乘矩阵左乘矩阵(j zhn)A=(aij)mn,相当相当于把于把A的第的第j 行乘数行乘数k加到加到A的第的第i 行上行上(ri
16、+krj).第第i 行行第第j 行行第20页/共96页第二十一页，共96页。类似地类似地,以以En(ji(k)右乘矩阵右乘矩阵(j zhn)A=(aij)mn,其结果相当于把其结果相当于把A的第的第j 列乘数列乘数k加加到到A的第的第i 列上列上(ci+kcj).第第i 列列第第j 列列第21页/共96页第二十二页，共96页。四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用(yngyng)(yngyng)定理定理1:设设A是一个是一个(y)mn矩阵矩阵,对对A施行一施行一次初等行变换次初等行变换,相当于在相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶初阶初等矩阵等矩阵;
17、对对A施行一次初等列变换施行一次初等列变换,相当于在相当于在A的右边的右边乘以相应的乘以相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵.初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等初等(chdng)逆变换逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵变换变换 rirj 的逆变换是其本身的逆变换是其本身,则则变换变换 ri k 的逆变换是的逆变换是 ri(1/k),则则E(i,j)-1=E(i,j).E(i(k)-1=E(i(1/k).变换变换 ri+krj 的逆变换是的逆变换是 ri+(k)rj,则则E(ij(k)-1=E(ij(k).第22页/共96页第二十三页，共96页。定理定理2:方阵方阵A为可逆的充分必要条件是存在为可逆的充分必要
18、条件是存在(cnzi)有限个初等矩阵有限个初等矩阵P1,P2,Pl,使使A=P1P2 Pl.证证:充分性充分性.由于由于A=P1P2Pl,且初等矩阵且初等矩阵P1,P2,Pl 为可逆的为可逆的,有限有限(yuxin)个可逆矩阵的乘积仍个可逆矩阵的乘积仍是可逆的是可逆的,故方阵故方阵A可逆可逆.在有限在有限(yuxin)(yuxin)个初等矩阵个初等矩阵P1,P2,Pl P1,P2,Pl 使使P1P2Ps F Ps+1Pl=A.必要性必要性.设设矩阵矩阵A为可逆的为可逆的,且且A的标准形为的标准形为F,则存则存由于由于A可逆可逆,且且P1,P2,Pl 也可逆也可逆,故故A的标准形的标准形F 也必
19、也必可逆可逆,设设假若假若 r n,则则|F|=0,这与这与F 可逆矛盾可逆矛盾.故有故有F=E.从而从而,A=P1P2Pl,证毕证毕第23页/共96页第二十四页，共96页。推论推论2:mn矩阵矩阵A B的充分的充分(chngfn)必要条件是存必要条件是存在在m阶可逆方阵阶可逆方阵P及及n阶可逆方阵阶可逆方阵Q,使使 PAQ=B.利用利用(lyng)初等变换求逆阵的方法初等变换求逆阵的方法:当当|A|0时时,则由则由 A=P1P2Pl,得得及及推论推论(tuln)1:方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A E.由以上的证明可得由以上的证明可得:可逆可逆矩阵矩阵的标准形就是的标准形
20、就是E,实际上实际上,可逆可逆矩阵矩阵的行最简形也是的行最简形也是E.则则即即,对对n 2n矩阵矩阵(A|E)施行初等施行初等行行变换变换,当当把把A变成变成E的同的同时时,原来的原来的E就变成了就变成了A-1.对对n 2n矩阵矩阵(A E)分块为分块为(A|E),第24页/共96页第二十五页，共96页。同样同样,对矩阵方程对矩阵方程(fngchng)AX=B,其中其中A为为n阶方阵阶方阵,B为为ns 阶矩阵阶矩阵,如果如果A可逆可逆,则则X=A-1B.由定理由定理2得得:存在存在(cnzi)初等矩阵初等矩阵P1,P2,Pl,使得使得A=P1P2 Pl,及及即即所以所以(suy)也就是说也就是
21、说,当一系列初等当一系列初等行行变换变换将将A化为化为E 的同时也的同时也将将B化为了化为了A-1B.考虑分块矩阵考虑分块矩阵(A|B),可得可得 对于有对于有n个未知数个未知数n个方程的线性方程组个方程的线性方程组,用用矩阵矩阵(向量向量)方程方程 Ax=b 表示表示.行行变换化为变换化为(E|x)时时,则系数矩阵则系数矩阵A可逆可逆,且且x=A-1b为为方程方程 Ax=b 的唯一解的唯一解(向量向量).如果增广矩阵如果增广矩阵B=(A|b)经初等经初等第25页/共96页第二十六页，共96页。例例1:设设A=求求A-1.解解:r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3r2(2
22、)r3(1)所以所以(suy)第26页/共96页第二十七页，共96页。例例2:求矩阵求矩阵(j zhn)X,使使AX=B,其中其中解解:若若A可逆可逆,则则 X=A-1B.r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3r2(2)r3(1)所以所以(suy)第27页/共96页第二十八页，共96页。如果要求如果要求Y=CA-1,则可对矩阵则可对矩阵作初等作初等列列变换变换.列变换列变换即可求得即可求得Y=CA-1.也可改为对也可改为对(AT|CT)作初等作初等(chdng)行变换行变换.列变换列变换即可求得即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,从而从而(cng r)求得求得
23、Y=CA-1.第28页/共96页第二十九页，共96页。1.初等初等(chdng)行行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型且变换类型(lixng)相同相同3.矩阵等价具有矩阵等价具有(jyu)的性质的性质:自反性自反性,对称性对称性,传递性传递性.三、小结三、小结三、小结三、小结(1)ri rj (cicj);(2)ri k(ci k);(3)ri+k rj (ci+k cj).2.A初等变换初等变换B A B.4.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:(1)构造矩阵构造矩阵(A|E)或或施行初等施行初等列列或对或对(2)对矩阵对矩
24、阵(A|E)施行初等施行初等行行变换变换,将将A化为单位矩化为单位矩阵阵E后后,右边右边E对应部分即为对应部分即为A-1;变换变换,将将A化为单位阵化为单位阵E后后,E对应的部分即为对应的部分即为A-1.第29页/共96页第三十页，共96页。思考题思考题思考题思考题已知四元已知四元(s yun)齐次方程组齐次方程组元齐次方程组元齐次方程组(2)的通解的通解(tngji)为为:及另一四及另一四问问:方程组方程组(1)与与(2)是否有非零公共解是否有非零公共解?若有若有,请求请求(qngqi)出来出来.或表示为或表示为:第30页/共96页第三十一页，共96页。思考题解答思考题解答思考题解答思考题解
25、答(jid)(jid)将将(2)的通解的通解(tngji)代入代入(1)得得:故方程组故方程组(1)与与(2)有非零公共有非零公共(gnggng)解解,(1)与与(2)的所有非零公共解为的所有非零公共解为:第31页/共96页第三十二页，共96页。思考题思考题思考题思考题表示表示(biosh)成有限个初等方阵的成有限个初等方阵的将矩阵将矩阵(j zhn)A=乘积乘积(chngj).思考题解答思考题解答思考题解答思考题解答A可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵E经经4次初等变换次初等变换:而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:而得而得.由初等矩阵的性质得由初
26、等矩阵的性质得:第32页/共96页第三十三页，共96页。3.2 矩阵矩阵(j zhn)的秩的秩一、矩阵一、矩阵一、矩阵一、矩阵(j(j zhn)zhn)秩的概念秩的概念秩的概念秩的概念 由上节讨论知由上节讨论知:任何矩阵任何矩阵Amn,总可以经过总可以经过(jnggu)有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵和标准形矩阵.行阶梯形矩阵中非零行的行数行阶梯形矩阵中非零行的行数,也就是标也就是标准形矩阵中的数字准形矩阵中的数字r 是唯一确定的是唯一确定的.它是矩阵理论中非它是矩阵理论中非常重要的数量关系之一常重要的数量关系之一矩阵的秩矩阵的秩.定义定
27、义:在在m n矩阵矩阵A中任取中任取 k 行行 k 列列(k m,k n),位于这位于这 k 行行 k 列交叉处的列交叉处的 k2个元素个元素,不改变它们在不改变它们在A中中所处的位置次序而得到的所处的位置次序而得到的 k 阶行列式阶行列式,被称为被称为矩阵矩阵A的的k阶子式阶子式.m n矩阵矩阵A的的k阶子式共有阶子式共有第33页/共96页第三十四页，共96页。定义定义:若在矩阵若在矩阵(j zhn)A中有一个中有一个 r 阶子式阶子式D非零非零,且所有的且所有的 r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都为零都为零,则称则称D为矩阵为矩阵(j zhn)A的一个最高阶非零子式的一个最高
28、阶非零子式,称数称数 r 为矩阵为矩阵(j zhn)A的秩的秩,记作记作R(A).规定零矩阵的秩为零规定零矩阵的秩为零.mn矩阵矩阵A的秩的秩R(A)是是A中不等于零的子式的最高中不等于零的子式的最高阶数阶数.对于对于(duy)AT,显然有显然有:R(AT)=R(A).解解:在矩阵在矩阵(j zhn)A中中例例1:求矩阵求矩阵A=的秩的秩.又由于矩阵又由于矩阵A的的3阶子阶子式只有式只有|A|,且且|A|=0.所以所以,R(A)=2.第34页/共96页第三十五页，共96页。例例2:求矩阵求矩阵(j zhn)B=解解:由于由于(yuy)B是一个行阶梯形矩阵是一个行阶梯形矩阵,其非零行有其非零行有
29、3行行,所以所以(suy)B的所有的所有4阶子式都为零阶子式都为零.而而所以所以,R(B)=3.例例3:求矩阵求矩阵A=的秩的秩.解解:因为因为计算计算A的的3阶子式阶子式.的秩的秩.第35页/共96页第三十六页，共96页。所以所以(suy),R(A)=2.另解另解:用初等变换将用初等变换将A化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵(j zhn):显然显然(xinrn),非零行的行数为非零行的行数为2.所以所以,R(A)=2.此方法简单此方法简单!但理论依据如何但理论依据如何?第36页/共96页第三十七页，共96页。二、矩阵二、矩阵二、矩阵二、矩阵(j(j zhn)zhn)秩的求法秩的求法秩的求法秩的
30、求法 因为任何矩阵因为任何矩阵Amn,总可以经过有限次初等总可以经过有限次初等(chdng)行变换把它们变为行阶梯形矩阵行变换把它们变为行阶梯形矩阵.问题问题:经过变换经过变换(binhun)矩阵的秩改变吗矩阵的秩改变吗?定理定理1:若若A B,则则 R(A)=R(B).证证:先证明先证明:若若A经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为B,则则R(A)=R(B).设设R(A)=r,且且A的某个的某个r 阶子式阶子式Dr 0.则在则在B中总能找到与中总能找到与Dr 相对应的子式相对应的子式D r.由于由于 D r=Dr,或或 D r=Dr,或或 D r=kDr.因此因此D r 0,从而从而R
31、(B)r.第37页/共96页第三十八页，共96页。分三种分三种(sn zhn)情况讨论情况讨论:(1)Dr中不含第中不含第 i 行行;(2)Dr中同时中同时(tngsh)含第含第 i 行和第行和第 j 行行;(3)Dr中含第中含第 i 行但不含第行但不含第 j 行行.对对(1),(2)两种情形两种情形,显然显然(xinrn)B中与中与Dr对应的子式对应的子式Dr有有 D r=Dr 0,从而从而,R(B)r.对情形对情形(3),若若D r 0,由由D r中不含第中不含第 i 行知行知,因此因此,R(B)r.A中有不含第中有不含第 i 行的行的 r 阶非零子式阶非零子式.若若D r=0,则则 D
32、r=Dr 0,从而从而,R(B)r.因此因此,A经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为B,则则R(B)R(A).第38页/共96页第三十九页，共96页。又由于又由于B也可以经过也可以经过(jnggu)一次初等行变换变为一次初等行变换变为A,因此因此(ync)有有,R(A)R(B).从而从而(cng r),A经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为B,则则R(A)=R(B).经一次初等行变换矩阵的秩不变经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变初等行变换矩阵的秩仍不变.设设A经过初等列变换变为经过初等列变换变为B.则则AT经过初等行变换变为经过初
33、等行变换变为BT.故故,R(AT)=R(BT).因而有因而有:R(A)=R(AT)=R(BT)=R(B).综上所述综上所述,若若A经过有限次初等变换变为经过有限次初等变换变为B,即即 A B,则则 R(A)=R(B).证毕证毕 初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法:用初等行变换把矩阵变成用初等行变换把矩阵变成为为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵的秩.第39页/共96页第四十页，共96页。例例4:求矩阵求矩阵(j zhn)A=的秩的秩.并求并求A的的一个一个(y)最高阶非零子式最高阶非零子式.解解:用初等用初等(chdng
34、)行变换将行变换将A化为行阶梯矩阵化为行阶梯矩阵:Ar1r4r2 r4r3 2r1r4 3r1r3 3r2r4 4r2r4 r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.第40页/共96页第四十一页，共96页。考察考察(koch)A的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.将矩阵将矩阵(j zhn)A按列分块按列分块,A=(a1 a2 a3 a4 a5),B=(a1 a2 a4)的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵(j zhn)为为则矩阵则矩阵 故故B中必有中必有3阶非零子式阶非零子式,且共有且共有4个个.计算计算B的前三行的前三行构成的子式构成的子式,则这个子式便是则这个子式便是A
35、的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.以下求以下求A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.由于由于R(A)=3.矩阵矩阵A的的3阶子式共有阶子式共有第41页/共96页第四十二页，共96页。所以所以(suy),A的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为|A|,设设A为为n阶可逆方阵阶可逆方阵(fn zhn).因为因为(yn wi)|A|0,则则R(A)=n.故故,可逆方阵可逆方阵A的标准形为单位阵的标准形为单位阵E,即即A E.即即可逆矩阵的秩等于阶数可逆矩阵的秩等于阶数.故又称可逆故又称可逆(非奇异非奇异)矩矩阵为阵为满秩矩阵满秩矩阵,奇异矩阵又称为奇异矩阵又称为降秩矩阵降秩矩阵.例例5:
36、设设求矩阵求矩阵A和矩阵和矩阵B=(A|b)的秩的秩.分析分析:设矩阵设矩阵B的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为B=(A|b),则则A 就是就是A的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.因此可以从因此可以从B=(A|b)中同时考察出中同时考察出R(A)及及R(B).第42页/共96页第四十三页，共96页。解解:r22r1r3+2r1r43r1r2 2r3r2r4+3r2r3 5r4r3所以所以(suy),R(A)=2,R(B)=3.此例的矩阵此例的矩阵(j zhn)A和向量和向量b,矩阵矩阵(j zhn)B为为线性方程组线性方程组Ax=b的增广矩阵的增广矩阵(j zhn).=B1B1为与为与Ax=b等价等
37、价(dngji)的线性方程组的线性方程组A1x=b1的的由此可知由此可知:方程组方程组A1x=b1无解无解,故方程组故方程组Ax=b也无解也无解.A1x=b1的第三个方程为的第三个方程为0=1,即矛盾方程即矛盾方程,增广矩阵增广矩阵.第43页/共96页第四十四页，共96页。例例6:设设已知已知R(A)=2,求求 与与 的值的值.解解:r2-3r1r35r1Ar3-r2由由R(A)=2,得得即即二、矩阵二、矩阵二、矩阵二、矩阵(j(j zhn)zhn)秩的性质秩的性质秩的性质秩的性质性质性质(xngzh)1:0 R(Amn)minm,n;性质性质(xngzh)2:R(AT)=R(A);性质性质(
38、xngzh)3:若若A B,则则R(A)=R(B);性质性质(xngzh)4:若若P,Q可逆可逆,则则R(PAQ)=R(A);第44页/共96页第四十五页，共96页。性质性质(xngzh)5:maxR(A),R(B)R(A B)R(A)+R(B),特别当特别当B=b时时,R(A)R(A b)R(A)+1.证明证明:由于由于(yuy)A的最高阶非零子式当然是的最高阶非零子式当然是(A B)的非零子式的非零子式,故故R(A)R(A B).同样同样R(B)R(A B),故故 maxR(A),R(B)R(A B).设设R(A)=r,R(B)=t.对对A和和B分别分别(fnbi)做列变换做列变换,化为列
39、阶梯形矩阵化为列阶梯形矩阵A1和和B1,则则A1和和B1中分别中分别(fnbi)含有含有r 个和个和t 个非零列个非零列,A A1=(a1,a2,ar,0,0),B B1=(b1,b2,bt,0,0),设为设为从而从而(A B)(A1 B1),但是但是(A1 B1)中仅有中仅有r+t个非零列个非零列,因此因此,R(A B)=R(A1 B1)r+t=R(A)+R(B).第45页/共96页第四十六页，共96页。性质性质(xngzh)6:R(A+B)R(A)+R(B).证明证明:设设A,B为为mn矩阵矩阵(j zhn),对矩阵对矩阵(j zhn)(A+B B)作列变换作列变换:ci cn+i (i=
40、1,2,n)得得,(A+B B)(A+O B)于是于是(ysh),R(A+B)R(A+B B)=R(A+O B)R(A)+R(B).性质性质7:R(AB)minR(A),R(B).性质性质8:若若Am nBn l=O,则则R(A)+R(B)n.这两条性质将在后面给出证明这两条性质将在后面给出证明.例例7:设设A为为n阶方阵阶方阵,证明证明R(A+E)+R(AE)n.证明证明:因为因为(A+E)+(EA)=2E,由性质由性质6知知,R(A+E)+R(EA)R(2E)=n,而而R(EA)=R(AE),R(A+E)+R(AE)n.所以所以第46页/共96页第四十七页，共96页。1.矩阵秩的概念矩阵秩
41、的概念 2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(fngf)(1)利用定义利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法初等变换法 把矩阵把矩阵(j zhn)用初等行变换变成为行阶梯形矩用初等行变换变成为行阶梯形矩阵阵(j zhn),行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn)中非零行的行数就中非零行的行数就是矩阵是矩阵(j zhn)的秩的秩.三、小结三、小结(xioji)3.矩阵秩的性质矩阵秩的性质第47页/共96页第四十八页，共96页。思考题思考题思考题思考题思考题解答思考题解答思考题解答思考题解答(jid)(jid)设设A为任一实矩阵为任一实矩阵,R(ATA)与与R
42、(A)是否是否(sh fu)相等相等?相等相等(xingdng).由此可知由此可知:Ax=O与与ATAx=O同解同解.因为因为,对任一实列矩阵对任一实列矩阵 x O,当当 Ax=O 时时,必有必有ATAx=O,即即(ATA)x=O.反之当反之当(ATA)x=O时时,有有xT(ATA)x=0.即即(Ax)T(Ax)=0.则则 Ax=O.故故,R(ATA)=R(A).注注:第48页/共96页第四十九页，共96页。设线性方程组设线性方程组若记若记则上述则上述(shngsh)方程组可写成向量方程方程组可写成向量方程Ax=b.当当b=0时时,称为称为(chn wi)齐次线性方程组齐次线性方程组,否则称为
43、否则称为(chn wi)非齐次线性方程组非齐次线性方程组.3.3 线性方程组的解线性方程组的解第49页/共96页第五十页，共96页。若若x1=11,x2=21,xn=n1为方程组为方程组Ax=b的解的解,则则也称为也称为(chn wi)方程组方程组Ax=b的解向量的解向量.一、线性方程组有解的判定一、线性方程组有解的判定一、线性方程组有解的判定一、线性方程组有解的判定(pndng)(pndng)条件条件条件条件 利用线性方程组利用线性方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A和增广矩阵和增广矩阵B=(A b)的秩的秩,可以方便可以方便(fngbin)地讨论线性方程地讨论线性方程组组Ax=b是否有解以
44、及有解时解是否唯一等问题是否有解以及有解时解是否唯一等问题.定理定理1:n元线性方程组元线性方程组Am nx=b (1)无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是R(A)R(B);(2)有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n;(3)有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)n.第50页/共96页第五十一页，共96页。证明证明:必要性可以由本定理必要性可以由本定理(dngl)相应的另外相应的另外两个结论的充分性两个结论的充分性(其逆否命题其逆否命题)结论给出结论给出.因此我们只需证明因此我们只需证明(zhngmng)三个结论的充分性三个结
45、论的充分性:设设R(A)=r,由于由于R(A)R(B)R(A)+1,可设增广可设增广(zn un)矩阵矩阵B=(A b)的行最简形为的行最简形为第51页/共96页第五十二页，共96页。(1)若若R(A)R(B),则则B1中的中的dr+1=1.行对应行对应(duyng)矛盾方程矛盾方程0=1.故方程组故方程组Ax=b无解无解(w ji).于是于是(ysh)B1的第的第r+1 (2)若若R(A)=R(B)=r=n,则则B1中的中的dr+1=0(或第或第r+1行行不出现不出现).由于由于B或或B1只有只有n+1列列,故故B1中的中的bij均不出现均不出现.于是于是B1对应的等价方程组为对应的等价方程
46、组为故方程组故方程组Ax=b有唯一解有唯一解.(3)若若R(A)=R(B)=rn,则则B1中的中的dr+1=0(或第或第r+1行行不出现不出现).此时此时B1对应的等价方程组为对应的等价方程组为第52页/共96页第五十三页，共96页。称称xr+1,xn为上述为上述(shngsh)方程组的自由未知量方程组的自由未知量,令令xr+1=c1,xn=cnr,用列矩阵用列矩阵(列向量列向量(xingling)的形式表示为的形式表示为:可得方程组可得方程组Ax=b的含有的含有(hn yu)nr个参数的解个参数的解:第53页/共96页第五十四页，共96页。由于参数由于参数(cnsh)c1,cnr可任意取值可
47、任意取值,故方故方程组程组Ax=b有无穷多解有无穷多解.证毕证毕 当当R(A)=R(B)=r n时时,含有含有nr 个参数的解可以表示个参数的解可以表示线性方程组线性方程组Ax=b的任意解的任意解(此结论待后面此结论待后面(hu mian)证证明明).称此解为线性方程组称此解为线性方程组Ax=b的通解的通解.求解线性方程组求解线性方程组Ax=b的步骤过程归纳如下的步骤过程归纳如下:1.对非齐次方程组对非齐次方程组Ax=b,将其增广矩阵将其增广矩阵B=(A b)化为行阶梯形后化为行阶梯形后,可以看出可以看出R(A)=R(B)是否成立是否成立(chngl),若不成立若不成立(chngl),则方程组
48、无解则方程组无解.第54页/共96页第五十五页，共96页。2.若若R(A)=R(B)成立成立(chngl),则方程组有解则方程组有解.进一步将进一步将B化为行最简形化为行最简形;对齐次方程组对齐次方程组Ax=0,则直则直接将其系数矩阵接将其系数矩阵A化为行最简形化为行最简形.3.设设R(A)=R(B)=r,把行最简形中把行最简形中r 个非零行的非零首个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量元所对应的未知量取作非自由未知量,其余其余(qy)nr个未个未知量取作自由未知量知量取作自由未知量,并令自由未知量分别取并令自由未知量分别取c1,c2,cnr,由由B(或或A)的行最简形即可写出含有的
49、行最简形即可写出含有nr个参数的个参数的通解通解.二、解线性方程组二、解线性方程组二、解线性方程组二、解线性方程组例例1:求解求解(qi ji)齐次线性方程组齐次线性方程组第55页/共96页第五十六页，共96页。解解:对系数矩阵对系数矩阵A做初等做初等(chdng)行变换行变换:r22r1r3r1r3r2r2(3)r12r2求得与原方程组同解的方程组求得与原方程组同解的方程组:由此即得由此即得x3,x4可任意取值可任意取值.第56页/共96页第五十七页，共96页。令令x3=c1,x4=c2(c1,c2可任意取值可任意取值),把它写成参数把它写成参数(cnsh)形式形式:或或即即第57页/共96
50、页第五十八页，共96页。例例2:求解求解(qi ji)非齐次线性方程组非齐次线性方程组解解:对增广矩阵对增广矩阵B进行进行(jnxng)初等行变换初等行变换,r23r1r32r1r3r2显然显然(xinrn),R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解故方程组无解.第58页/共96页第五十九页，共96页。例例3:求解求解(qi ji)非齐次方程组的通解非齐次方程组的通解解解:对增广矩阵对增广矩阵B进行进行(jnxng)初等行变换初等行变换,显然显然(xinrn),R(A)=R(B)=2,故方程组有解故方程组有解,且有且有(行最简形行最简形)第59页/共96页第六十页，共96页。所以所以(suy)