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1、4.14.1拉氏变换的定义拉氏变换的定义主要内容重点难点定义的引出拉氏正变换的推导拉氏反变换的推导拉氏变换的物理意义拉氏变换的物理意义0-系统第1页/共145页时域分析：(零状态响应)频域分析：频谱的概念：谱系数，频谱密度一.定义的引出复频域分析：拉氏变换l付氏变换不存在的信号，拉氏变换可能存在；l用拉氏变换求反变换，运算简单。采用拉氏变换的好处第2页/共145页拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件：u(t)增长信号周期信号若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于满足狄里赫利条件第3页/共145页令拉氏正变换的推导拉氏正变换的推导则拉氏正变换第4页/共145页其中拉氏
2、反变换的推导拉氏反变换的推导拉氏逆变换第5页/共145页拉氏变换对上两式为广义的付氏变换，也称为双边拉氏变换：双边双边/单边拉氏变换单边拉氏变换复频率第6页/共145页拉氏变换已考虑了初始条件终值初值，若有跳变则为 第7页/共145页4.24.2拉氏变换的收敛拉氏变换的收敛主要内容重点收敛域单边拉氏变化的收敛域双边拉氏变化的收敛域一般情况S平面及收敛域的表示第8页/共145页例1:一.收敛域记为：ROC（region of convergence）第9页/共145页则拉氏变换存在。收敛域：收敛坐标：s平面：s s平面平面收敛轴S平面第10页/共145页例1：二.单边拉氏变化的收敛域第11页/共
3、145页例2：例3:例4:拉氏变换不存在。拉氏变换不存在。第12页/共145页全时域信号三.双边拉氏变化的收敛域第13页/共145页收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换第14页/共145页4.3 一些常用函数的拉氏变换 基本信号的单边拉氏变换一.阶跃函数二.指数函数三.有限长信号第15页/共145页四.第16页/共145页五.单位冲激信号s域全平面收敛常用函数的拉氏变换表可查用。第17页/共145页常用信号的拉氏变换第18页/共145页4.4 4.4 4.4 4.4 拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系拉普拉斯变换和傅立叶变
4、换的关系主要内容重点难点 00，收敛边界落于，收敛边界落于s s右半平面右半平面 00，收敛边界位于，收敛边界位于s s左半平面左半平面 =0=0，收敛边界位于虚轴，收敛边界位于虚轴总结总结 =0=0，收敛边界位于虚轴，收敛边界位于虚轴 00第39页/共145页【解】例第40页/共145页时间微分性质证明：用定义分部积分第41页/共145页时间微分性质(续)第42页/共145页例1(1)用定义(2)用性质第43页/共145页例2求电感元件的s域模型应用时间微分性质：第44页/共145页时间积分性质第45页/共145页例第46页/共145页初始值定理证明见书补充！第47页/共145页例1 即单位
5、阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1 1第48页/共145页例2第49页/共145页终值定理证明见书，自学为什么？为什么？第50页/共145页复频域微分证明：两边对s微分：第51页/共145页复频域积分证明：两边对s积分：交换积分次序第52页/共145页卷积定理第53页/共145页4.6 4.6 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换主要内容重点难点拉氏逆变换的三种方法部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式展开法情况之一：实数单极点部分分式展开法情况之二：极点为共轭复数部分分式展开法情况之三：高阶极点两种特殊情况部分分式法求拉氏逆变换的过程部分分式展开法情况之三：高阶极点第54页/共145页拉氏逆
6、变换的三种方法(1)(1)部分分式法部分分式法 (亥维赛德展开定理亥维赛德展开定理)(2)(2)留数法留数法回线积分法回线积分法(3)(3)数值计算方法数值计算方法计算机计算机第55页/共145页F(s)的一般形式a,b为实数，m,n为正整数。当mn，F(s)为有理真分式分解零点极点第56页/共145页部分分式法求拉氏逆变换的过程第57页/共145页部分分式展开法部分分式展开法第一种情况：实数单极点p1,p2,p3 pn为不同的实数根。为确定系数ki，两边乘以因子s-pi，再令s=pi。右边仅留下ki一项.ki=(s-pi)F(s)s=Pi第58页/共145页举例说明求系数的方法举例说明求系数
7、的方法(1)找极点(2)展成部分分式求系数(3)逆变换第59页/共145页如何求系数k1,k2,k3？逆变换对等式两边同乘以s+1，且令s=-1同理第60页/共145页另一种求ki的方法第61页/共145页第二种情况：极点为共轭复数例：极点：P2,P3为共轭复数求系数第62页/共145页逆变换第63页/共145页方法2利用通分，分子比较系数，同阶次系数相同第64页/共145页第三种情况：高阶极点例：k1,k3求解方法同第一种情况：一般情况第65页/共145页如何求k 2?设法使部分分式只保留k2，其它分式为0对原式两边乘以(s+1)2此时令s=-1逆变换第66页/共145页一般情况第67页/共
8、145页两种特殊情况非真分式非真分式-化为真分式多项式化为真分式多项式含含e e-s-s的非有理式的非有理式第68页/共145页非真分式真分式多项式例：作长除法第69页/共145页含e-s的非有理真分式e-s项不参加部分分式运算，用时移性质例：第70页/共145页4.7 4.7 瞬态分析的拉普拉斯变换法瞬态分析的拉普拉斯变换法主要内容重点微分方程的拉氏变换利用元件的s s域模型求解瞬态电路例1 1例2 2例3 3例4 4例5(5(含互感)例6 6例7 7 例8 8利用元件的s s域模型求解瞬态电路第71页/共145页一一.用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤第72页/共
9、145页二二.微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换微分方程的一般形式拉氏变换的微分性质第73页/共145页例1:解：(1)求起始状态(2)列方程(3)等式两边取拉氏变换(单边)：第74页/共145页(4)求反变换第75页/共145页求uR(t)第76页/共145页采用0+系统求uR(t)原方程取拉氏变换：两种方法结果一致第77页/共145页三三.利用元件的利用元件的s s域模型求解瞬态电路域模型求解瞬态电路1.电路元件的s域模型电阻：电感：第78页/共145页电容元件的电容元件的s s域等效模型域等效模型第79页/共145页2.2.电路定理的推广电路定理的推广KCL：KVL：线性稳态电路分析的
10、各种方法都适用线性稳态电路分析的各种方法都适用第80页/共145页3.3.求响应的步骤求响应的步骤第81页/共145页4.4.例例2 2列s域方程：第82页/共145页5.例3解：(1)画出s域电路模型(2)列s域方程第83页/共145页6.例4第84页/共145页反变换？反变换？2.1.第85页/共145页7.7.含互感的电路含互感的电路对方程两边进行拉氏变换第86页/共145页8.例5第87页/共145页9.例6第88页/共145页4.8 4.8 系统函数与冲激响系统函数与冲激响应应主要内容重点难点系统函数LTILTI互联的系统函数并联级联反馈连接系统函数反馈连接第89页/共145页一一一
11、一一一.系统函数系统函数系统函数系统函数系统函数系统函数1.1.1.1.定义定义定义定义系统的表征：1.微分方程 2.冲激响应：h(t)3.系统函数：H(j)在s域中，单输入单输出情况下，系统的零状态响应当系统的零状态响应：第90页/共145页 系统函数 的定义：定 义：系 统 零 状 态 响 应 的 拉 氏 变 换 与 激 励 的 拉 氏 变 换 之 比 叫 系 统 函 数 或 网 络 函 数。第91页/共145页2.2.2.2.H(s)H(s)H(s)H(s)的几种情况的几种情况的几种情况的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移函数：激励和响应不在同一端口第92
12、页/共145页3.3.系统函数的求法系统函数的求法(2)零状态下，由s域电路模型，列s域方程，(3)设输入为(t)，零状态下微分方程两端取拉氏变换(1)第93页/共145页4.4.例题例题给定系统微分方程：激励信号解：(1)原方程两端取拉氏变换(设输入为(t),零状态下):则：(2)第94页/共145页5.5.5.5.练习练习练习练习已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。解：第95页/共145页二二.LTILTI互联的系统函数互联的系统函数1.1.1.1.两个两个两个两个LTILTILTILTI系统的并联系统的并联系统的并联系统的并联2.2.2.2.两个两个两个两个
13、LTILTILTILTI系统的级联系统的级联系统的级联系统的级联第96页/共145页3.3.3.3.两个两个两个两个LTILTILTILTI系统的反馈连接系统的反馈连接系统的反馈连接系统的反馈连接第97页/共145页4.9 4.9 s s域分析，极点与零点域分析，极点与零点主要内容重点难点系统的函数零、极点系统的函数零、极点由由H(s)H(s)H(s)H(s)的零极点决定系统时域特性的零极点决定系统时域特性由由H(s)H(s)的零极点确定系统的时域响应的零极点确定系统的时域响应系统的稳定性系统的稳定性系统的频响特性系统的频响特性系统的稳定性系统的稳定性系统的频响特性系统的频响特性系统的频响特性
14、系统的频响特性第98页/共145页一.序言主要优点：1.可以预言系统的可以预言系统的时域特性时域特性；2.便于响应的便于响应的划分划分（自由（自由/强迫，瞬态强迫，瞬态/稳态）；稳态）；3.可以用来说明系统的正弦稳态特性；可以用来说明系统的正弦稳态特性；4.描述系统的描述系统的频响特性；频响特性；5.便于系统便于系统稳定性稳定性的研究。的研究。第99页/共145页二、系统的函数零、极点二、系统的函数零、极点第100页/共145页例题例题例题极点：零点：画出零极图：第101页/共145页固有频率（或自然频率）固有频率（或自然频率）第102页/共145页三、由系统函数的极零点分布决定 时域特性（1
15、）时域特性h(t)反变换第 i个极点决定总特性Ki与零点分布有关第103页/共145页（2）几种典型的极点分布(a)一阶极点在原点第104页/共145页(b)一阶极点在负实轴第105页/共145页(c)一阶极点在正实轴第106页/共145页(d)一阶共轭极点在虚轴上第107页/共145页(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点第108页/共145页(f)共轭极点在左半平面第109页/共145页(g)共轭极点在右半平面第110页/共145页（3）有二重极点分布(a)在原点有二重极点第111页/共145页(b)在负实轴上有二重极点第112页/共145页(c)在虚轴上有二重极点第113页/共145页（3
16、）有二重极点分布(d)在左半平面有二重共轭极点第114页/共145页极点影响小结：极点落在左半平面 h(t)逞衰减趋势极点落在右半平面 h(t)逞增长趣势极点落在虚轴上只有一阶极点 h(t)等幅振荡，不能有重极点极点落在原点 h(t)等于 u(t)第115页/共145页（4）零点的影响零点移动到原点第116页/共145页（4）零点的影响零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率幅度多了一个因子多了相移第117页/共145页由H(s)H(s)的零极点决定系统时域特性总结第118页/共145页四四.由H(s)的零极点确定系统的时域响应激励：系统：响应：自由响应分量 强制响应分量第119页
17、/共145页自由响应与强迫响应来自H(s)的极点来自E(s)的极点自由响应强迫响应第120页/共145页结论H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零点有关，即零点影响 K i ,K k 系数E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s)无关用H(s)只能研究零状态响应，H(s)中零极点相消将使某固有频率丢失。第121页/共145页暂态响应与稳态响应系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们实部和虚部对研究系统的稳定性很重要不稳定系统 增幅临界稳定系统 等幅稳定系统 衰减第122页/共145页激励E(s)的极点影响激励E(s)的极点也可能是复
18、数增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统某零点相抵消等幅，稳态衰减趋势，暂态第123页/共145页稳态响应和暂态响应对于稳定系统：H（S）极点的实部都小于0自由响应就是暂态响应若激励E(s)的极点的实部大于或等于0，强迫响应就是稳态响应正弦稳态响应：正弦信号作用下的强迫响应若激励本身为衰减函数，强迫响应与只有响应一起组成暂态响应，稳态响应为0第124页/共145页几点认识几点认识响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强制响应分量。自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关。响应也可划分为暂态响应和稳态响应。各响应的系数与E(s)和 H(s)
19、都有关。第125页/共145页五、系统的稳定性五、系统的稳定性定义若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的；如果对于有界激励产生无限增长的响应，则系统是不稳定的。稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号无关。定与激励信号无关。第126页/共145页稳定性判据稳定性判据记住！第127页/共145页由由由H(s)H(s)H(s)的极点决定系统的稳定性的极点决定系统的稳定性的极点决定系统的稳定性1 1稳定系统稳定系统2.2.不稳定系统不稳定系统3.3.临界稳定系统临界稳定系统第128页/共145页判断系统的稳定性判断系统的稳定性判断系
20、统的稳定性例1：稳定例2：稳定第129页/共145页六、系统的频响特性六、系统的频响特性六、系统的频响特性有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统，其收敛域包括虚轴。拉氏变换拉氏变换存在存在傅立叶变换傅立叶变换存在存在第130页/共145页H(s)H(s)和频响特性的关系和频响特性的关系幅频响应特性幅频响应特性相频响应特性相频响应特性第131页/共145页根据根据H(s)H(s)零极图绘制系统的频响特性零极图绘制系统的频响特性曲线曲线第132页/共145页画零极点图画零极点图第133页/共145页矢量随频率的变化矢量随频率的变化第134页/共145页例：例：确定图示系统的频响特性。确定图示系统的
21、频响特性。解：第135页/共145页频响特性分析第136页/共145页例：已知 试求当时的幅频和相位第137页/共145页七 一阶系统的S平面分析已知该系统的H(s)的极零点在S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线第138页/共145页（1）一阶系统一零点，一在实轴的极点一在原点的零点，一在实轴的极点只有无穷远处的零点一在实轴的极点第139页/共145页例：求一高阶系统的频率特性+U1 +U2CRMN-1/RC第140页/共145页第141页/共145页例：求一阶低通滤波器的频率特性RC+U1_+U2_M没有零点第142页/共145页幅频特性相位特性第143页/共145页作业41 42 43（4）44（2）（4）（7）（18）（20）45（2）410（b）420（a）421 422 427432 439 445第144页/共145页感谢您的观看。第145页/共145页