第四章 拉普拉斯变换55201(精品).ppt

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1、Lanzhou University of Technology第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅立叶变换到拉氏变换从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质周期和抽样信号的拉氏变换周期和抽样信号的拉氏变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析1Lanzhou University of Technology有几种情况不满足狄里有几种情况不满足狄里赫利条件:赫利条件:u(t)u(t)增长信号增长信号周期信号周期信号若乘一衰减因子若乘

2、一衰减因子 为任意实数,则为任意实数,则 收敛,于收敛,于是满足狄里赫利条件是满足狄里赫利条件4.14.1拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换2Lanzhou University of Technology从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 引入:衰减因子引入:衰减因子e-t(为实常数)为实常数)存在条件存在条件不满足不满足3Lanzhou University of Technology从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 设:设:s=+j(复频率)复频率),d=ds/j双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换记作:记作:(Bila

3、teralLT)4Lanzhou University of Technology从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换符号表示符号表示及及物理含义物理含义 符号表示:符号表示:符号表示:符号表示:物理意物理意物理意物理意义义:信号信号信号信号f f(t t)可分解成复指数可分解成复指数可分解成复指数可分解成复指数e est st的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅,是密度函数。s是复数称为复频率,F(s)称复频谱。5Lanzhou University of Technology 任任一一信信号号f f(t t)

4、的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换不不一一定定存存在在。由于由于f f(t t)的双边拉普拉斯变换是信号的双边拉普拉斯变换是信号 的傅里叶变换,因此,若的傅里叶变换,因此,若 绝对可积,即绝对可积,即 双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域记:记:ROCregionofconvergence拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域6Lanzhou University of Technology双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的收收敛敛域域比比较较复复杂杂,并并且且收收敛敛条条件件较较为为苛苛刻刻,这这就就使使其其应应用用受受到到限限制制。实实际际中中的的信信号号都都是是有有起起

5、始始时时刻刻的的(t tt t0 0时时f(t)=0),若若起起始始时时刻刻t t0 0=0,=0,则则f(t)为为因因果果信信号号。因因果果信信号号的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的积积分分下下限限为为“0-”,该该变变换换称称为为单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换。单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换收收敛敛域域简简单单,计计算算方方便便,线线性性连连续续系系统统的的复复频频域域分分析析主主要要使使用用单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换 。7Lanzhou University of Technology单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换及其存在的条件 关于积分下限的说明:关于积

6、分下限的说明:积分下限定分下限定义为零的左极限零的左极限,目的在于分析,目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的和计算时可以直接利用起始给定的0 0-状态。状态。单边拉普拉斯拉普拉斯变换8Lanzhou University of Technology拉普拉斯变换拉普拉斯变换LT与与ILT定义定义与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系与单边与单边与单边与单边LTLTLTLT的关系的关系的关系的关系因果信号的单边因果信号的单边因果信号的单边因果信号的单边LTLTLTLT与双边与双边与双边与双边LTLTLTLT是一样的。是一样的。是一样的。是一样的。9Lanz

7、hou University of Technology单边拉普拉斯变换收敛条件单边拉普拉斯变换收敛条件 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换存在的条件存在的条件对任意信号f(t),若满足上式,则 f(t)应满足(0)充要条件为:充要条件为:10Lanzhou University of Technology单边拉普拉斯变换收敛条件单边拉普拉斯变换收敛条件 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换存在的条件存在的条件0称收敛条件收敛区j 00称绝对收敛轴S平面右半平面左半平面11Lanzhou University of Technology常用信号的常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换1.指数型函数指数型

8、函数12Lanzhou University of Technology常用信号的常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换.正余弦型函正余弦型函数数13Lanzhou University of Technology、双曲正弦余弦信号、双曲正弦余弦信号.阶跃函数阶跃函数阶跃函数阶跃函数 u u(t t)常用信号的常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换14Lanzhou University of Technology三、常用信号的三、常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换 .15Lanzhou University of Technology常用信号的常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换 .t的正幂函数的正幂

9、函数tn,n为正整数为正整数根据以上推理,可得16Lanzhou University of Technology表表4.常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换17Lanzhou University of Technology4.1拉普拉斯变换意义:意义:拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的工具工具,使求解方程得到简化,且初始条件自使求解方程得到简化,且初始条件自动包含在变换式里动包含在变换式里 利用系统函数零点、极点分布分析系统的行利用系统函数零点、极点分布分析系统的行为规律为规律18Lanzhou University of Tech

10、nology4.2 4.2 单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1.线性特性线性特性若则19Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质2.展缩特性展缩特性(尺度变换尺度变换)若则20Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质3.时移特性时移特性若若则则21Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质4.卷积特性卷积特性若若则则收敛域至少是收敛域至少是F1(s)F1(s)的收敛域与的收敛域与F1

11、(s)F1(s)的收敛域的公共部分。的收敛域的公共部分。22Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.乘积特性乘积特性若若则则23Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质6 6、复频移性质、复频移性质若若则则7 7、复频域微分与积分、复频域微分与积分24Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质8 8.时时域域域域微分特性微分特性微分特性微分特性证明:证明:证明:证明:25Lanzhou Un

12、iversity of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质8.时时域域域域微分特性微分特性微分特性微分特性 重复应用微分性质,求得:若f(t)=0,t0,则有fr(0-)=0,r=0,1,2,.26Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质9.时域域积分特性积分特性若f-1(0-)0,则有27Lanzhou University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质9.时域积分特性时域积分特性 证明证明证明证明:其中,右边第一项第二项按部分分式,得28Lanzhou

13、 University of Technology单边单边拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质10.初值定理初值定理和和终值定理终值定理若f(t)在t=0不包含冲激及其各阶导数则若sF(s)的收敛域包含j轴则29Lanzhou University of Technology拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(1 1)线性微分积分时移频移30Lanzhou University of Technology拉氏变换的基本性质(2)尺度变换终值定理卷积定理初值定理31Lanzhou University of Technology 周期信号的拉氏变换周期信号的拉氏变换第一周期的拉氏变换利用时移特

14、性利用无穷级数求和32Lanzhou University of Technology例:正弦余弦信号的拉氏变换例:正弦余弦信号的拉氏变换33Lanzhou University of Technology例:衰减余弦的拉氏变换例:衰减余弦的拉氏变换频移特性34Lanzhou University of Technology矩形周期信号拉氏变换矩形周期信号拉氏变换第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和35Lanzhou University of Technology求周期信号的拉氏变换求周期信号的拉氏变换LT信号加窗第一周期36Lanzhou University of Techno

15、logy单对称方波周期对称方波乘衰减指数包络函数37Lanzhou University of Technology抽样信号的拉氏变换抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换38Lanzhou University of Technology4.3 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换计算拉普拉斯反变换方法:2.利用复变函数中的利用复变函数中的留数定理留数定理留数定理留数定理 3.采用采用部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法1.查表法查表法39Lanzhou University of Technology4.3.1 查表法查表法例例已知,求F(s)

16、的原函数f(t)。解解F(s)可以表示为40Lanzhou University of Technology由附录五查得编号为13的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号13的变换对为与本例中F(s)的表示式对比,则b1=1,b0=1,=2,代入变换对得41Lanzhou University of Technology4.3.2 4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法 若若F F(s s)为为s s的有理分式,则可表示为的有理分式,则可表示为 式式中中,a ai i(i(i=0,=0,1,1,2,2,n-1)n-1)、b bi i(i i=0,=0,1,1,2,2,m m)均均为为实实数数

17、。若若m mn n,则则 为为假假分分式式。若若m mn n,则则 为真分式。为真分式。42Lanzhou University of Technology式式中中,c ci i(i i=0,=0,1,1,2,2,n n-1)-1)为为实实数数。N N(s s)为为有有理理多多项项式式,其逆变换为冲激函数及其一阶到其逆变换为冲激函数及其一阶到m m-n n阶导数之和。阶导数之和。为为有有理真分式,可展开为部分分式后理真分式,可展开为部分分式后求逆变换。例如求逆变换。例如,若若F F(s s)为假分式,可用多项式除法将为假分式,可用多项式除法将F(s)F(s)分解为有理多项式分解为有理多项式与有

18、理真分式之和,与有理真分式之和,即即 43Lanzhou University of Technology则44Lanzhou University of Technology若若 为为有有理理真真分分式式,可可直直接接展展开开为为部部分分分分式式后后求求逆逆变变换换。要要把把F F(s s)展展开开为为部部分分分分式式,必必须须先先求求出出A A(s s)=0)=0的的根根。因因为为A A(s s)为为s s的的n n次次多多项项式式,所所以以A A(s s)=0)=0有有n n个个根根s si i(i i=1,=1,2,2,n n)。s si i可可能能为为单单根根,也也可可能能为为重重根

19、根;可可能能为为实实根根,也也可可能能为为复复根根。s si i又又称称为为F F(s s)的的极极点点。F F(s s)展展开开为为部部分分分分式式的的具具体体形形式式取取决决于于s si i的上述性质。的上述性质。45Lanzhou University of Technology 1.1.F F(s s)仅有单极点仅有单极点若A(s)=0仅有n个单根si(i=1,2,n),则根据因式分解方法分解,无论si是实根还是复根,都可将F(s)展开为式中,各部分分式项的系数Ki为:46Lanzhou University of Technology2.2.F F(s s)有重极点有重极点若A(s)

20、=0在s=s1处有r重根,而其余(n-r)个根sj(j=r+1,,n),这些根的值是实数或复数,则式中:47Lanzhou University of Technology先求F1(s)的逆变换,因为由复频移性质,可得F(s)的单边拉普拉斯逆变换为48Lanzhou University of Technology3.3.F F(s s)有复极点有复极点如果A(s)=0的复根为s1,2=-j,则F(s)可展开为式中,K2=K*1。令K1=|K1|ej,则有49Lanzhou University of Technology由复频移和线性性质得F(s)的原函数为对于F(s)的一对共轭复极点s1=

21、-+j和s2=-j,只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应),然后把|K1|、代入上式中,就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。50Lanzhou University of Technology如果F(s)有复重极点,那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例,其F(s)可展开为51Lanzhou University of Technology式中:根据复频移和线性性质,求得F(s)的原函数为52Lanzhou University of Technology4.4 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 微

22、分方程描述系微分方程描述系统的的s域分析域分析 电路的路的s域模型域模型 53Lanzhou University of Technology一、一、微分方程描述系统的微分方程描述系统的s域分析域分析 时域微分方程时域微分方程时域响应时域响应y(t)s域响应域响应Y(s)单单边边拉拉氏氏变变换换拉拉氏氏反反变变换换解微分方程解微分方程解代数方程解代数方程 s域代数方程域代数方程54Lanzhou University of Technology一、一、微分方程描述系统的微分方程描述系统的s域分析域分析 1.1.连续信号的复频域分解连续信号的复频域分解 根根据据单单边边拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换

23、换的的定定义义,若若信信号号f f(t t)的的单边拉普拉斯变换为单边拉普拉斯变换为F F(s s),则信号则信号f f(t t)可以表示为可以表示为 55Lanzhou University of Technology2.2.基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应若若线线性性时时不不变变连连续续系系统统(LTI)(LTI)的的输输入入为为f(t),零零状状态态响响应应为为yf(t),冲激响应冲激响应为为h(t),由连续系统的时域分析可知由连续系统的时域分析可知:若系统的输入为基本信号,即若系统的输入为基本信号,即 则则若若h(t)为为因果函数,则有因果函数,则有56Lanzh

24、ou University of Technology式式中:中:即,即,H H(s s)是冲激响应是冲激响应h h(t t)的单边拉普拉斯变换,称的单边拉普拉斯变换,称为线性连续系统的为线性连续系统的系统函数系统函数,称为系统的称为系统的特征函特征函数数。57Lanzhou University of Technology3.3.一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应对对于于-j-j到到+j+j区区间间上上的的任任一一s s,信信号号e estst产产生生的的零零状态响应为状态响应为H H(s s)e)estst。e estst与其响应的对应关系表示为与其响应的对应关系

25、表示为根根据据线线性性系系统统的的齐齐次次性性,对对于于-j-j到到+j+j区区间间上上的的任任一一s s,为一复数,因此,信号为一复数,因此,信号产产生的零状态响应可以表示为生的零状态响应可以表示为 58Lanzhou University of Technology根根据据线线性性系系统统的的可可加加性性,由由于于系系统统的的输输入入信信号号f f(t t)可可以以分分解解为为-j-j到到+j+j区间上不同区间上不同s s的指数信号的指数信号 和和(积积分分),因因此此,系系统统对对f f(t t)的的零零状状态态响响应应等等于于这这些些指指数数信信号号产产生的零状态响应之和。生的零状态响

26、应之和。对应关系为对应关系为 即即f f(t t)产生的零状态响应产生的零状态响应Y Yf f(t t)59Lanzhou University of Technology因为因为 是因果信号,所以是因果信号,所以y yf f(t t)也是因果信号。也是因果信号。另另一一方方面面,由由于于y yf f(t t)=)=h h(t t)*)*f f(t t),根根据据时时域域卷卷积积性性质,则质,则y yf f(t t)的单的单边拉普拉斯变换为边拉普拉斯变换为 60Lanzhou University of Technology前面讨论表明,系统的零状态响应可按以下步骤求解:前面讨论表明,系统的零

27、状态响应可按以下步骤求解:(1)(1)求系统输入求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换的单边拉普拉斯变换F(s);(2)(2)求系统函数求系统函数H(s);(3)(3)求求零零状状态态响响应应的的单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换Yf(s),Yf(s)=H(s)F(s);(4)(4)求求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换的单边拉普拉斯逆变换yf(t);61Lanzhou University of Technology系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解设二阶连续系统的微分方程为设二阶连续系统的微分方程为式中,a0、a1和b0、b1、b2为实常数;f(t)为因果信号,因此,f(0-)、f(0-

28、)均为零。设初始时刻t0=0,y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s),对式两端取单边拉普拉斯变换,根据时域微分性质,得62Lanzhou University of Technology分别令63Lanzhou University of Technology对上式取单边拉普拉斯逆变换,就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t),即64Lanzhou University of Technology由于Yf(s)=H(s)F(s),则二阶系统的系统函数为设n阶连续系统的微分方程为n阶系统的微分方程为65Lanzhou University of Technology

29、关于响应的初始值需注意以下问题:于是得(1)对于n阶线性连续系统,由于yx(t)+yf(t),因此有系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解66Lanzhou University of Technology(2)对于n阶线性连续因果系统,若在t0时yx(t)满足的微分方程相同,则对于因果系统,若输入f(t)为因果信号,则一般不等于零,因此得67Lanzhou University of Technology例例已知线性系统的微分方程为求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。68Lanzhou University of Technologyf(t)的单边拉氏

30、变换为解解:根据单边拉氏变换的时域微分性质,对系统微分方程取单边拉氏变换,得69Lanzhou University of Technology求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换,得70Lanzhou University of Technology二、二、电路的电路的s域模型域模型系统元件的s域模型KCL KVL的s域模型RLC系统(电路)的复频域模型71Lanzhou University of Technology二、二、电路的电路的s域模型域模型时域复频域复频域72Lanzhou University of Technology二、二、电路的电路的s域模型域模型R、L、

31、C串联形式的s域模型73Lanzhou University of Technology二、二、电路的电路的s域模型域模型L、C并联形式的s域模型74Lanzhou University of TechnologyRLCRLC系统的复频域分析系统的复频域分析KCLKCL、KVLKVL的复频域形式的复频域形式KCL和KVL的时域形式分别为设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s),对上式取单边拉普拉斯变换,根据线性性质,得到75Lanzhou University of Technology例例图(a)所示RLC系统,us1(t)=2V,u

32、s2(t)=4V,R1=R2=1,L=1H,C=1。t0时电路已达稳态,t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。解解(1)求完全响应iL(t):76Lanzhou University of Technology例图77Lanzhou University of Technology则S域的网孔方程为式中,把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程,解网孔方程得78Lanzhou University of Technology求IL(s)的单边拉氏逆变换,得79Lanzhou University of Technology

33、(2)求零输入响应iLx(t):设零输入响应iLx(t)的单边拉氏变换为ILx(s),网孔电流的象函数分别为I1x(s)和I2x(s),如图(c)所示。列网孔方程,得把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程,80Lanzhou University of Technology(3)求零状态响应iLf(t):对图(b)所示电路模型,令iL(0-)=0、uC(0-)=0,得到开关S在位置2时零状态响应的S域电路模型,如图(d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s),可应用网孔分析法求ILf(s),然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。此外,也可以根据S域电

34、路模型求出系统函数H(s),然后通过H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s),则有81Lanzhou University of Technology于是得把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为82Lanzhou University of Technology因此得求ILf(s)的单边拉氏逆变换,得83Lanzhou University of Technology拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系因果乘衰减因子84Lanzhou University of Technology从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号傅氏

35、变换不存在,拉氏变换存在85Lanzhou University of Technology从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号86Lanzhou University of Technology从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号存在傅氏变换,但收敛于虚轴,不能简单用,要包含奇异函数项。K1=187Lanzhou University of Technology从从 的单边拉氏变换求它的的单边拉氏变换求它的傅氏变换傅氏变换K2K188Lanzhou University of Technology 信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换。利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析。复频域分析主要用于线性系统的分析。89

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