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1、第四章拉普拉斯变换1本讲稿第一页，共七十四页4.1 引言引言 拉普拉斯变换是分析连续信号与系统的一种好方法。拉普拉斯变换是分析连续信号与系统的一种好方法。线性时不变系统方法的线性时不变系统方法的回顾回顾：时域分析法时域分析法：卷积积分：卷积积分只能求解零状态响应只能求解零状态响应 变换域分析法变换域分析法：傅氏变换分析法：傅氏变换分析法把时间变量函数变换到变换域中的某一变量的函把时间变量函数变换到变换域中的某一变量的函数。数。分析的实质分析的实质：(1)是将激励信号分解成某种基本的单元信号；是将激励信号分解成某种基本的单元信号；(2)求基本单元信求基本单元信号通过系统的响应；号通过系统的响应；
2、(3)最后叠加起来求得总的响应。最后叠加起来求得总的响应。2本讲稿第二页，共七十四页 卷积分析法的单元信号是冲激函数；卷积分析法的单元信号是冲激函数；傅氏变换分析法的单元信号是虚指函数。借助于傅里叶变换的时域卷积定傅氏变换分析法的单元信号是虚指函数。借助于傅里叶变换的时域卷积定理，可将卷积分析法转换为傅里叶变换分析法理，可将卷积分析法转换为傅里叶变换分析法 傅氏变换分析法的优点：物理意义明确，也是信号分析的有效工具。傅氏变换分析法的优点：物理意义明确，也是信号分析的有效工具。3本讲稿第三页，共七十四页 傅氏变换的不足：傅氏变换的不足：(1)要求信号满足狄里赫利条件（绝对可积条件），使一般周期信
3、号、阶跃函要求信号满足狄里赫利条件（绝对可积条件），使一般周期信号、阶跃函数等只能虽借助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中出现冲激函数，使计算数等只能虽借助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中出现冲激函数，使计算带来困难；带来困难；(2)求傅氏反变换有时比较麻烦；求傅氏反变换有时比较麻烦；(3)只能求解零状态响应。只能求解零状态响应。4本讲稿第四页，共七十四页拉氏变换的优点：拉氏变换的优点：1）求解简化；）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转化为简单的初等函数；）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。）将卷积转化为乘
4、法运算。下面将介绍拉普拉斯变换（简称拉氏变换）下面将介绍拉普拉斯变换（简称拉氏变换）它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理意义，可以看作一种广义的傅氏它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理意义，可以看作一种广义的傅氏变换。将频域扩展为复频域。变换。将频域扩展为复频域。5本讲稿第五页，共七十四页4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域一、一、从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换信号不满足绝对可积条件的原因是信号不满足绝对可积条件的原因是称称 为为衰减因子衰减因子；称；称 为为收敛因子收敛因子。只要只要 取得合适，很多函数取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数几乎所有常
5、用的函数)都可以满足绝对可积的都可以满足绝对可积的条件。条件。若若 不满足狄里赫利条件，为了能获得变换域中的函数，不满足狄里赫利条件，为了能获得变换域中的函数，人为地人为地用一个用一个实指实指函数函数 去乘去乘 。，不趋于零不趋于零时时或或当当)(tftt-6本讲稿第六页，共七十四页1、求求 的傅氏变换：的傅氏变换：显然，可表示成显然，可表示成记为记为7本讲稿第七页，共七十四页上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换、反变换。上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换、反变换。其反变换，为其反变换，为拉氏变换扩大了信号的变换范围。拉氏变换扩大了信号的变换范围。8本讲稿第八页，共七十四页拉普拉斯变换与傅里叶变
6、换的区别：拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT:时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数变量变量 t变量变量 LT:时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数（变量（变量 t、都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s(复频率）复频率）t(实数实数)(复数）复数）即：即：傅里叶变换建立了傅里叶变换建立了时域与频域时域与频域之间的联系；之间的联系；拉普拉斯变换建立了拉普拉斯变换建立了时域与复频域时域与复频域之间的联系。之间的联系。9本讲稿第九页，共七十四页2、单边拉氏变换单边拉氏变换由于由于1.实际信号都是有始信号，即实际信号都是有始信号，即或者只需考虑或者只需考虑 的部分；的部分；2.我们观
7、察问题总有一个起点。此时我们观察问题总有一个起点。此时积分下限用积分下限用0-，的是把，的是把 时出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变时出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态 ，但，但反变换的反变换的积分限并不改变积分限并不改变。以后重点讨论单边拉氏变换。以后重点讨论单边拉氏变换。10本讲稿第十页，共七十四页由于重点讨论单边拉氏变换，所以由于重点讨论单边拉氏变换，所以 和和的拉氏正变换的拉氏正变换 是一样的。是一样的。反之，已知反之，已知 求拉氏反变换式，也无法求得到求拉氏反变换式，也无法求得到 时的时的 表
8、达式。表达式。单边拉氏变换的优点：单边拉氏变换的优点：不仅可以求解零状态响应，还可以求解零输入响应或全响应。单边拉氏变换不仅可以求解零状态响应，还可以求解零输入响应或全响应。单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中了；而且，只需要了解自动将初始条件包含在其中了；而且，只需要了解t=0-时的情况就可以了。时的情况就可以了。11本讲稿第十一页，共七十四页 信号信号 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，还要看还要看 的性质与的性质与 的相对关系。的相对关系。二、拉氏变换的收敛域二、拉氏变换的收敛域(单边拉氏变换单边拉氏变换)通常
9、把使通常把使 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范围称为拉氏变换的值的范围称为拉氏变换的收敛域收敛域。12本讲稿第十二页，共七十四页如：有始有终的能量信号如：有始有终的能量信号按指数规律增长的信号，如按指数规律增长的信号，如比指数信号增长的更快比指数信号增长的更快的信号，如的信号，如找不到找不到 ，则此信号不存在拉氏变换。，则此信号不存在拉氏变换。满足上述条件的最低限度的满足上述条件的最低限度的 值，称为值，称为 。(绝对收敛横坐标绝对收敛横坐标)。周期信号是功率信号周期信号是功率信号13本讲稿第十三页，共七十四页单边拉氏变换的收敛域是：单边拉氏变换的收敛域是：复平面复平面(s)内，内
10、，Re(s)=区域区域 单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的条件，且总存在收敛域，一般非单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的条件，且总存在收敛域，一般非特别说明，不再标注收敛域。特别说明，不再标注收敛域。凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉氏变换。我们称这类函数为凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉氏变换。我们称这类函数为指指数阶函数数阶函数。即指数阶函数均可以用乘以一个。即指数阶函数均可以用乘以一个 的方法将其分散性压下去。的方法将其分散性压下去。凡指数阶函数都有拉氏变换。凡指数阶函数都有拉氏变换。14本讲稿第十四页，共七十四页由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换由此，可导出一些常用的函
11、数的拉氏变换1、指数信号、指数信号(这里这里 无任何限制无任何限制)三、常用信号的拉氏变换三、常用信号的拉氏变换15本讲稿第十五页，共七十四页(b)单边正弦信号单边正弦信号16本讲稿第十六页，共七十四页(c)单边余弦信号单边余弦信号17本讲稿第十七页，共七十四页(d)单边衰减或增长的正弦信号单边衰减或增长的正弦信号即即18本讲稿第十八页，共七十四页 2、t的正幂信号的正幂信号 (n为正整数为正整数)由定义由定义：对上式进行分部积分对上式进行分部积分，令令可见：可见：19本讲稿第十九页，共七十四页依次类推依次类推：特别是特别是n=1时，有时，有3、冲激函数、冲激函数根据冲激函数作为广义函数的定义
12、根据冲激函数作为广义函数的定义20本讲稿第二十页，共七十四页小结：小结：(拉氏变换有三类情况拉氏变换有三类情况)第一类：增长的指数信号第一类：增长的指数信号(如双曲函数等如双曲函数等)只有拉氏变换而无傅氏变换只有拉氏变换而无傅氏变换第二类：第二类：拉氏变换、付氏变换都存在，且拉氏变换、付氏变换都存在，且如衰减的指数信号：如衰减的指数信号：21本讲稿第二十一页，共七十四页第三类：第三类：拉氏变换拉氏变换,付氏变换都存在，但不满足第二类。付氏变换都存在，但不满足第二类。如如 的傅氏变换的傅氏变换拉氏变换拉氏变换22本讲稿第二十二页，共七十四页4.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 在实际应用
13、中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。换的一些基本性质来求取。拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似，只要把傅氏变换中的，只要把傅氏变换中的j用用s替代即可。替代即可。但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。质又有差别。23本讲稿第二十三页，共七十四页1.线性（线性（linearity）解解：例：例：求求 的拉氏变换的拉氏变换24本讲稿第二十四
14、页，共七十四页2.原函数（时域）微分原函数（时域）微分主要用于研究具有初始条件的微分方程。主要用于研究具有初始条件的微分方程。若若f(t)为有始函数为有始函数，则，则25本讲稿第二十五页，共七十四页例例26本讲稿第二十六页，共七十四页由于由于f(0-)不同，所求导数的拉氏变换不同。不同，所求导数的拉氏变换不同。27本讲稿第二十七页，共七十四页3.原函数原函数(时域时域)积分积分(integration in the time domain)则则28本讲稿第二十八页，共七十四页解：解：（1）列写微分方程）列写微分方程例例4-4 图示电路，在图示电路，在t=0时开关时开关S闭合，求输出电压闭合，求
15、输出电压vc(t)（2）将微分方程两边取拉氏变换，得）将微分方程两边取拉氏变换，得（3）求）求 的拉氏逆变换的拉氏逆变换29本讲稿第二十九页，共七十四页4 延时特性延时特性(time delay)若若则则30本讲稿第三十页，共七十四页31本讲稿第三十一页，共七十四页32本讲稿第三十二页，共七十四页33本讲稿第三十三页，共七十四页例：例：求图示锯齿波求图示锯齿波 f(t)的拉氏变换的拉氏变换解：解：根据时移性，有根据时移性，有所以：所以：34本讲稿第三十四页，共七十四页 利用时移性可以求利用时移性可以求(单边单边)周期信号的拉氏变换：设周期信号的拉氏变换：设f1(t)表示第一个周期的函数，表示第
16、一个周期的函数，则有则有35本讲稿第三十五页，共七十四页抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换抽样序列抽样序列抽样序列的拉氏变换抽样序列的拉氏变换时域抽样信号时域抽样信号抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换36本讲稿第三十六页，共七十四页5.s域平移特性域平移特性(shifting in s-domain)与傅氏变换比较：与傅氏变换比较：这里，这里，s0 可以是实数，也可以是虚数或复数。可以是实数，也可以是虚数或复数。37本讲稿第三十七页，共七十四页例例 38本讲稿第三十八页，共七十四页6 尺度变换特性尺度变换特性(scaling)解法一：解法一：例例:4-739本讲稿第三十九页，共七十四页解法
17、二：解法二：先尺度：先尺度：再延迟：再延迟：例例:40本讲稿第四十页，共七十四页7 初值定理初值定理(initial-value theorem)注意：注意：设设 且且 存在存在(F(s)为真分式为真分式)则则41本讲稿第四十一页，共七十四页 例例.给定给定求初值求初值初值定理条件初值定理条件:必须存在必须存在,时域中意味着时域中意味着 本身不能包含冲激。因为本身不能包含冲激。因为 的存在的存在,不影响不影响 的值的值,可把可把 移去后再应用初值定理移去后再应用初值定理,即只取真分式。即只取真分式。42本讲稿第四十二页，共七十四页例：例：已知已知求：求：解：解：如果不用长除法，而直接用如果不用
18、长除法，而直接用 则将得到则将得到 的错误结论。的错误结论。43本讲稿第四十三页，共七十四页8.终值定理终值定理(expiration-value theorem)条件是条件是 存在，这相当于存在，这相当于 的的极点都在复频域极点都在复频域S平面的左半平面，并平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话，且如果在虚轴上有极点的话，只能在原点处有单极点。只能在原点处有单极点。其极点其极点 s=在在 s 平面的右半平面，不能平面的右半平面，不能用终值定理。否则会得到用终值定理。否则会得到 的错误结果。的错误结果。44本讲稿第四十四页，共七十四页例如例如：（在虚轴上）（在虚轴上）所以，所以，f(t)的
19、终值不存在。的终值不存在。例例：已知：已知 ，试求，试求 的终值。的终值。解解：因为：因为 F(s)的极点为的极点为 s=0，-1和和-2，满足终值定理的条件。所以有，满足终值定理的条件。所以有求终值首先判断极点位置求终值首先判断极点位置!45本讲稿第四十五页，共七十四页9 卷积定理（卷积定理（convolution theorem）时域卷积定理时域卷积定理若若（4-40）则则复频域卷积定理复频域卷积定理其中：其中：若若（4-41）则则46本讲稿第四十六页，共七十四页例例 已知已知求求解：解：47本讲稿第四十七页，共七十四页10 复频域微分复频域微分(differentiation in s-
20、domain)设：设：则：则：证明证明:48本讲稿第四十八页，共七十四页11.复频域积分复频域积分(integration in s-domain)证明证明:设：设：则：则：49本讲稿第四十九页，共七十四页例：求函数例：求函数 的拉氏变换的拉氏变换法一法一.按定义式求积分按定义式求积分t211050本讲稿第五十页，共七十四页法二法二.利用线性叠加和时移定理利用线性叠加和时移定理t211051本讲稿第五十一页，共七十四页t-1211(2)0(1)(1)t法三法三.利用微分积分性质。利用微分积分性质。t211052本讲稿第五十二页，共七十四页求单边拉氏变换求单边拉氏变换.53本讲稿第五十三页，共七
21、十四页4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯反变换的常用方法：拉普拉斯反变换的常用方法：查表法查表法部分分式展开法部分分式展开法围线积分法围线积分法留数法留数法利用拉普拉斯变换的性质利用拉普拉斯变换的性质 54本讲稿第五十四页，共七十四页一、一、简单的拉普拉斯反变换简单的拉普拉斯反变换 直接应用典型信号的拉氏变换对（表直接应用典型信号的拉氏变换对（表4-1）及拉氏变换的性质（表）及拉氏变换的性质（表4-2）得）得到。到。55本讲稿第五十五页，共七十四页例例:例例:56本讲稿第五十六页，共七十四页解：解：频域微分频域微分:例：例：57本讲稿第五十七页，共七十四页常见的拉氏变换式一般形式为常
22、见的拉氏变换式一般形式为:如果如果 A(s)的阶次高于的阶次高于 B(s)的阶次的阶次,可以用长除法将可以用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之化成多项式与真分式之和，例如和，例如 多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。二、二、部分分式展开法部分分式展开法58本讲稿第五十八页，共七十四页1、极点为实数，无重根、极点为实数，无重根(mn)式中，系数式中，系数ai和和bi都为实数，都为实数，m和和n是正整数是正整数，pi为为 的极点的极点.59
23、本讲稿第五十九页，共七十四页例：求下列函数的逆变换例：求下列函数的逆变换解：解：将将F(s)展开成部分分式形式展开成部分分式形式分别求分别求K1,K2,K360本讲稿第六十页，共七十四页对于对于m n的情况的情况61本讲稿第六十一页，共七十四页2 2、包含共轭复数极点、包含共轭复数极点设：设：则则 其中：其中：由待定系数法求出。由待定系数法求出。其中：其中：62本讲稿第六十二页，共七十四页例：例：求下列函数的逆变换求下列函数的逆变换解解：63本讲稿第六十三页，共七十四页上两式的分子应相等，即上两式的分子应相等，即解之得：解之得：64本讲稿第六十四页，共七十四页65本讲稿第六十五页，共七十四页例
24、：求下示函数的逆变换例：求下示函数的逆变换66本讲稿第六十六页，共七十四页67本讲稿第六十七页，共七十四页3 3、有多重极点、有多重极点例：求例：求 函数的逆变换函数的逆变换解：解：设设则则68本讲稿第六十八页，共七十四页所以有所以有逆变换为逆变换为 69本讲稿第六十九页，共七十四页例例：对应项系数相等对应项系数相等法法70本讲稿第七十页，共七十四页解解:现在只剩下现在只剩下K2了，这样可令了，这样可令s为任意一个方便的值，如为任意一个方便的值，如s=0,得：得：上式两边同乘以上式两边同乘以s，并令，并令 ，则等式变为：，则等式变为：例例 71本讲稿第七十一页，共七十四页三、留数法三、留数法若若 为为 k 阶极点，则阶极点，则若若 为为 一一 阶极点，则阶极点，则72本讲稿第七十二页，共七十四页例例:求下列函数的拉氏反变换：求下列函数的拉氏反变换：解：解：四、利用拉普拉斯变换的性质四、利用拉普拉斯变换的性质73本讲稿第七十三页，共七十四页解：解：74本讲稿第七十四页，共七十四页