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1、文档 幂函数复习 一、知识要点 1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0 上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 二、典型例题及对应习题 1、幂函数的概念、解析式、定义域、值域 1若幂函数 y=f（x）的图象过点（5，），则为（）A B
2、C D1 2设 2，1，1，2，3，则使幂函数 y=xa为奇函数且在（0，+）上单调递减的 a 个数为（）A1 B2 C3 D4 3已知函数 f（x）=xk（k 为常数，kQ），在下列函数图象中，不是函数 y=f（x）的图象是（）A B C D 4已知函数 f（x）=（m2m1）x5m3是幂函数且是（0，+）上的增函数，则 m 的值为（）A2 B1 C1 或 2 D0 5已知点（a，）在幂函数 f（x）=（a26a+10）xb的图象上，则函数 f（x）是（）A奇函数 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数 2、幂函数的图像 6幂函数 y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数 y=f
3、（x）的图象是（）文档 A B C D 9幂函数 y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（）Amnp Bmpn Cnpm Dpnm 10函数 f（x）=1 的图象大致是（）A B C D 3、幂函数的图像及其与指数的关系 11函数 y=x3和图象满足（）A关于原点对称 B关于 x 轴对称 C关于 y 轴对称 D关于直线 y=x 对称 12已知点在幂函数 f（x）的图象上，则 f（x）是（）A奇函数 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数 13若 0 xy1，则（）A3y3x Bx0.5y0.5 Clogx3logy3 Dlog0.5xlog0.5y 14已知幂函
4、数 y=（a22a2）xa在实数集 R 上单调，那么实数 a=（）A一切实数 B3 或1 C1 D3 15函数 y=的单调递增区间是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）4、幂函数的性质 16幂函数 f（x）=（m24m+4）x在（0，+）为减函数，则 m 的值为（）A1 或 3 B1 C3 D2 文档 17若四个幂函数 y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如图，则 a、b、c、d 的大小关系是（）Adcba Babcd Cdcab Dabdc 18 幂函数 y=（m2m1），当 x（0，+）时为减函数，则实数 m 的值为（）Am=2 Bm=1 Cm=1 或
5、2 Dm 19若幂函数 f（x）=（m2m1）x1m是偶函数，则实数 m=（）A1 B2 C3 D1 或 2 5、幂函数的单调性、奇偶性及其应用 20已知10，则（）A B C D 21若 a=0.5，b=0.5，c=0.5，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Babc Cacb Dabc 22若，则 a、b、c 的大小关系是（）Aabc Bcab Cbca Dbac 23函数 y=在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是（）A4 B3 C2 D1 24设 a1，若对于任意的 xa，2a，都有 ya，a2满足方程 logax+logay=3，这时 a的取值集合为（）Aa|1a2 Ba
6、|a2 Ca|2a3 D2，3 25使不等式成立的实数 a 的范围是 6、幂函数的实际应用 26已知函数 f（x）=（mZ）为偶函数，且 f（3）f（5）文档（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 g（x）=logaf（x）ax（a0 且 a1）在区间2，3上为增函数，求实数 a 的取值范围 27已知函数是幂函数且在（0，+）上为减函数，函数在区间0，1上的最大值为 2，试求实数 m，a 的值 28已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在（0，+）上是减函数（1）求 m 的值；文档（2）求满足的 a 的取值范围 29已知幂函数在区间（0，+）上是单调增函数，且为偶函数 （1）求函数 f（x）的
7、解析式；（2）设函数，若 g（x）0 对任意 x1，1恒成立，求实数 q的取值范围 30已知幂函数（mZ）的图象关于 y 轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1）求 m 的值和函数 f（x）的解析式 文档（2）解关于 x 的不等式 f（x+2）f（12x）文档 2017 年 09 月 15 日 dragon 的高中数学幂函数复习 参考答案与试题解析 一选择题（共 24 小题）1若幂函数 y=f（x）的图象过点（5，），则为（）A B C D1【解答】解：幂函数 y=f（x）的图象过点（5，），设 f（x）=x，5=，解得=1 f（x）=x1=f（）=f（）=（）1=，故选 C 2设 2，1，1
8、，2，3，则使幂函数 y=xa为奇函数且在（0，+）上单调递减的 a 个数为（）A1 B2 C3 D4【解答】解：幂函数 y=x2为偶函数且在（0，+）上单调递减；幂函数 y=x1为奇函数且在（0，+）上单调递减；幂函数 y=x为奇函数且在（0，+）上单调递增；幂函数 y=x 为奇函数且在（0，+）上单调递增；幂函数 y=x2为偶函数且在（0，+）上单调递增；幂函数 y=x3为奇函数且在（0，+）上单调递增 综上可得，符合条件的函数只有一个 故选：A 文档 3已知函数 f（x）=xk（k 为常数，kQ），在下列函数图象中，不是函数 y=f（x）的图象是（）A B C D【解答】解：函数 f（x
9、）=xk（k 为常数，kQ）为幂函数，图象不过第四象限，所以 C 中函数图象，不是函数 y=f（x）的图象 故选：C 4已知函数 f（x）=（m2m1）x5m3是幂函数且是（0，+）上的增函数，则 m 的值为（）A2 B1 C1 或 2 D0【解答】解：因为函数 f（x）=（m2m1）x5m3是幂函数，所以 m2m1=1，即 m2m2=0，解得 m=2 或 m=1 又因为幂函数在（0，+），所以5m30，即 m，所以 m=1 故选 B 5已知点（a，）在幂函数 f（x）=（a26a+10）xb的图象上，则函数 f（x）是（）A奇函数 B偶函数 文档 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数【解答
10、】解：幂函数 f（x）=（a26a+10）xb的图象经过点（a，），a26a+10=1 且 ab=，解得 a=3，b=1；f（x）=x1在定义域（，0）（0，+）的奇函数 故选：A 6幂函数 y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数 y=f（x）的图象是（）A B C D【解答】解：设幂函数的解析式为 y=xa，幂函数 y=f（x）的图象过点（4，2），2=4a，解得 a=，其定义域为0，+），且是增函数，当 0 x1 时，其图象在直线 y=x 的上方对照选项 故选 C 7函数 y=的图象是（）文档 A B C D【解答】解：函数 y=的定义域为0，+）所求图象在第一象限，可排除A、C，再根
11、据函数 y=的图象横过（4，2），可排除 B，故选 D 8函数的图象是（）A B C D【解答】解：因为函数的定义域是 0，+），所以图象位于y 轴右侧，排除选项C、D；又函数在0，+）上单调递增，所以排除选项 B 故选A 9幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（）文档 Amnp Bmpn Cnpm Dpnm【解答】解：在第一象限作出幂函数 y=xm，y=xn，y=xp的图象 在（0，1）内取同一值 x0，作直线 x=x0，与各图象有交点 则“点低指数大”，如图，知 0p1，1m0，n1，npm 故选：C 10函数 f（x）=1 的图象大致是（）A B C文档 D
12、【解答】解：因为0，所以 f（x）在0，+）上递增，排除 B；当 x=0 时，f（0）=1，即 f（x）的图象过点（0，1），排除 C、D；故选 A 11函数 y=x3和图象满足（）A关于原点对称 B关于 x 轴对称 C关于 y 轴对称 D关于直线 y=x 对称【解答】解：由得到 x=y3，所以这两个函数互为反函数，根据反函数图象的性质可知函数 y=x3和的图象关于直线 y=x 对称 故选 D 12已知点在幂函数 f（x）的图象上，则 f（x）是（）A奇函数 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数【解答】解：设幂函数为 f（x）=x，点在幂函数 f（x）的图象上，f（）=（），即，即
13、=1，f（x）=为奇函数，故选：A 文档 13若 0 xy1，则（）A3y3x Bx0.5y0.5 Clogx3logy3 Dlog0.5xlog0.5y【解答】解：因为：0 xy1，y=3x为增函数，则 3y3x，故 A 错误，因为：0 xy1，y=x0.5为增函数，则 x0.5x0.5，故 B 正确，因为：0 xy1 则 logx3logy3，故 C 错误，因为：0 xy1，log0.5x 为减函数，则 log0.5xlog0.5y，故 D 错误，故选：D 14已知幂函数 y=（a22a2）xa在实数集 R 上单调，那么实数 a=（）A一切实数 B3 或1 C1 D3【解答】解：由幂函数的
14、定义及其单调性可得：a22a2=1，a0，解得 a=3 a=3 故选：D 15函数 y=的单调递增区间是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）【解答】解：设 u=x22x，在（，1）上为增函数，在（1，+）为减函数，因为函数 y=为减函数，所以 f（x）的单调递增区间（1，+，），故选：D 16幂函数 f（x）=（m24m+4）x在（0，+）为减函数，则 m 的值为（）A1 或 3 B1 C3 D2【解答】解：为幂函数 文档 m24m+4=1，解得 m=3 或 m=1 由当 x（0，+）时为减函数，则 m26m+80，解得 2m4 m=3，故选：C 17若四个幂函数 y=xa，y=
15、xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如图，则 a、b、c、d 的大小关系是（）Adcba Babcd Cdcab Dabdc【解答】解：幂函数 a=2，b=，c=，d=1 的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以 abcd 故选 B 18幂函数 y=（m2m1），当 x（0，+）时为减函数，则实数 m的值为（）Am=2 Bm=1 Cm=1 或 2 Dm【解答】解：y=（m2m1）为幂函数，m2m1=1，即 m2m2=0 解得：m=2 或 m=1 当 m=2 时，m22m3=3，y=x3在（0，+）上为减函数；当 m=1
16、时，m22m3=0，y=x0=1（x0）在（0，+）上为常数函数（舍去），文档 使幂函数 y=（m2m1）为（0，+）上的减函数的实数 m 的值为2 故选 A 19若幂函数 f（x）=（m2m1）x1m是偶函数，则实数 m=（）A1 B2 C3 D1 或 2【解答】解：幂函数 f（x）=（m2m1）x1m是偶函数，解得 m=1 故选：A 20已知10，则（）A B C D【解答】解：10，故函数 y=xa在（0，+）上是减函数，0.2，故，故选：A 21若 a=0.5，b=0.5，c=0.5，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Babc Cacb Dabc【解答】解：构造函数f（x）=0
17、.5x，因为函数 f（x）=0.5x，为单调递减函数 且，所以，即，文档 所以 abc 故选 B 22若，则 a、b、c 的大小关系是（）Aabc Bcab Cbca Dbac【解答】解：在第一象限内是增函数，是减函数，所以 bac 故选 D 23函数 y=在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是（）A4 B3 C2 D1【解答】解：函数 y=xm1在第二象限内单调递增，当 m=1 时，y=x2在第二象限内单调递增，1 是最大的负整数，m 的最大负整数是1，故选：D 24 设 a1，若对于任意的 xa，2a，都有 ya，a2满足方程 logax+logay=3，这时 a 的取值集合为（）A
18、a|1a2 Ba|a2 Ca|2a3 D2，3【解答】解：由 logax+logay=3，可得 loga（xy）=3，得，在a，2a上单调递减，文档 所以，故a2 故选 B 二填空题（共 1 小题）25使不等式成立的实数 a 的范围是（，1）（，）【解答】解：函数 y=为奇函数，且在（，0）和（0，+）上均为减函数 故不等式可化为 0a+132a或 a+1032a或 a+132a0 不等式无解 解得 a1 解得a 故实数 a 的范围是（，1）（，）故答案为：（，1）（，）三解答题（共 5 小题）26已知函数 f（x）=（mZ）为偶函数，且 f（3）f（5）（1）求函数 f（x）的解析式；（2）
19、若 g（x）=logaf（x）ax（a0 且 a1）在区间2，3上为增函数，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）为偶函数，2m2+m+3 为偶数，又 f（3）f（5），即有：1，2m2+m+30，1m，又 mZ，m=0 或 m=1 文档 当 m=0 时，2m2+m+3=3 为奇数（舍去），当 m=1 时，2m2+m+3=2 为偶数，符合题意 m=1，f（x）=x2（2）由（1）知：g（x）=logaf（x）ax=loga（x2ax）（a0 且 a1）在区间2，3上为增函数 令 u（x）=x2ax，y=logau；当 a1 时，y=logau 为增函数，只需 u（x）=x2ax 在区
20、间2，3上为增函数 即：1a2 当 0a1 时，y=logau 为减函数，只需 u（x）=x2ax 在区间2，3上为减函数 即：a，综上可知：a 的取值范围为：（1，2）27已知函数是幂函数且在（0，+）上为减函数，函数在区间0，1上的最大值为 2，试求实数 m，a 的值【解答】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有 解得 m=1 5 当，0，1是 f（x）的单调递减区间，a=60，a=67 当，文档 解得 a=2（舍）或 a=3（舍）9，0，1为 f（x）的单调递增区间，解得11 综合可知12 28已知幂函数的图象关于 y 轴对称，且在（0，+）上是减函数（1）求 m 的值；（2）求满足
21、的 a 的取值范围【解答】解：（1）函数在（0，+）上递减，m22m30 即1m3，又 mN*m=1 或 2，又函数图象关于 y 轴对称，m22m3 为偶数，故 m=1 为所求（2）函数在（，0），（0，+）上均为减函数 等价于 a+132a0 或 0a+132a 或 a+1032a，解得 故 a 的取值范围为 29已知幂函数在区间（0，+）上是单调增函数，且为偶函数（1）求函数 f（x）的解析式；（2）设函数，若 g（x）0 对任意 x1，1恒成立，求实数 q 的取值范围【解答】解：（1）f（x）在区间（0，+）上是单调增函数，m2+2m+30 即 m22m30 文档 1m3 又mZm=0，
22、1，2 而 m=0，2 时，f（x）=x3不是偶函数，m=1 时，f（x）=x4是偶函数 f（x）=x4（2）由 f（x）=x4知 g（x）=2x28x+q1，g（x）0 对任意 x1，1恒成立g（x）min0，x1，1 又 g（x）=2x28x+q1=2（x2）2+q9 g（x）在1，1上单调递减，于是 g（x）min=g（1）=q7 q70，q7 故实数 q 的取值范围是（7，+）30已知幂函数（mZ）的图象关于 y 轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1）求 m 的值和函数 f（x）的解析式（2）解关于 x 的不等式 f（x+2）f（12x）【解答】解：（1）幂函数（mZ）的图象关于 y 轴对称，且在区间（0，+）为减函数，所以，m24m0，解得 0m4，因为 mZ，所以 m=2；函数的解析式为：f（x）=x4（2）不等式 f（x+2）f（12x），函数是偶函数，在区间（0，+）为减函数，所以|12x|x+2|，解得，又因为 12x0，x+20 所以，