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1、精品_精品资料_坐标系与参数方程学问点1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx设点 Px,y是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换:yy00的作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下, 点 Px,y对应到点P x, y , 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换.2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如下列图, 在平面内取一个定点 O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个
2、角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 , 这样就建立了一个极坐标系 .注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系就不行 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为 ; 以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M的极角 , 记为 . 有序数对 , 叫做点 M的极坐标, 记作 M , .一般的 , 不作特殊说明时 , 我们认为0,可取任意实数 .特
3、殊的 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 0, R. 和直角坐标不同 , 平面内一个点的极坐标有很多种表示.假如规定0,02, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯独的极坐标, 表示 ;同时 , 极坐标 , 表示的点也是唯独确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 x, y , 极 坐 标 是, 0, 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标 x, y极坐标 ,2x2互化公式xycossiny2tanyxx0在一般情形下 , 由 tan
4、确定角时 , 可依据点 M 所在的象限最小正角 .4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径r 02为 r 的圆圆心为 r ,0 , 半径2r cos为 r 的圆22圆 心 为 r , , 半2径为 r 的圆2r sin01 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如下列图 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过极点 , 倾斜角为1R或R的直线20和0过点 a,0 , 与极轴cosa垂直的直线22过 点 a,2 , 与 极sina 0轴平行的直线注:由于平面上 点的极 坐标的表示 形式不唯一,即,
5、2, 都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯独性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满意极 坐 标 方 程 即 可 .例 如 对 于 极 坐 标 方 程, 点 M ,44 可 以 表 示 为,442或,442或-, 544 等多种形式 , 其中 , 只有 ,44 的极坐标满意方程.二、参数方程1. 参数方程的概念一般的 , 在平面直角坐标系中, 假如曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数 t 的函数xyf t gt , 并且对于 t 的每一个答应值, 由方程组所确定的点M x, y 都在这条曲线上 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
6、那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x, y的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.2. 参数方程和一般方程的互化(1) 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式, 一般的可以通过消去参数而从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数方程得到一般方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假如知道变数x, y 中的一个与参数 t 的关系 , 例如x f t , 把它代入一般方程 , 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资
7、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出另一个变数与参数的关系y gt , 那么xf t 就是曲线的参数方程, 在参数方程与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程的互化中 , 必需使ygtx, y 的取值范畴保持一样 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 一般方程化为参数方程,参数方程的形式不肯定唯独.应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当的设参数, 假如选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3. 圆的参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下列图,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置M 0 动身,按逆时针方向在圆O
8、 上作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_匀速圆周运动,设M x, y ,就x r cosy r sin 为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中的几何意义是OM 0 转过的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_度.圆心为 a, b ,半径为 r 的圆的一般方程是 xa2 yb 2r 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
9、 - 欢迎下载精品_精品资料_它的参数方程为：x ary brcos sin 为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 椭圆的参数方程以坐标原点 O 为中心, 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2y2a2b 21ab0, 其参可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数方程为x a cosy bsin 为参数 ,其中参数称为离心角. 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2x2xb
10、cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程是221ab ab0,其参数方程为yasin 为参数 , 其中参数仍为离心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角,通常规定参数的范畴为 0 , 2）.注： 椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外（即在0 到 2的范畴内） ,在其他任何一点,两个角的数值都不相等.但当02 时,相应的也有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,在其他象限内类似.25. 双曲线的参数方程以坐标原点
11、 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为x2y2221aab0, b0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其参数方程为x asecy b tan 为参数,其中0,2且,3.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 yx1a0, b0,其 参 数 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x b coty a csc 为参数,其中
12、0,2e且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上参数都是双曲线上任意一点的离心角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 抛物线的参数方程以 坐 标 原 点 为 顶 点 , 开 口 向 右 的 抛 物 线y22 px p0 的 参 数 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 pt 2y 2 ptt为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 直线的参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经过点M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线 l 的一般方程是2yy
13、0tan xx0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0t cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而过 M 0 x0, y0 ,倾斜角为的直线 l 的参数方程为yy0t sint为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点M 0 x0 , y0 ,倾斜角为的直线 l 的参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0tcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为yy0tsint为参数 ,其中t 表示直线 l 上以定点M 0 为起点,任一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M x, y为终点的有向线段M 0 M 的数量, 当点 M 在 M 0 上方时, t 0.当点 M 在 M 0 下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方时, t 0.当点 M 与 M 0 重合时, t =0.我们也可以把参数t 懂得为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载